Theorem ledivmul 12146

Description: 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ledivmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem ledivmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 11244	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	ancoms 457	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
3	2	adantrr 715	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	3adant1 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
5		lediv1 12135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ (𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶)))
6	4, 5	syld3an2 1408	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ (𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶)))
7		recn 11249	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		recn 11249	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
10	9	ad2antrl 726	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
11		gt0ne0 11730	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
12	11	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ≠ 0)
13	8, 10, 12	divcan3d 12050	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
14	13	3adant1 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
15	14	breq2d 5166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵))
16	6, 15	bitr2d 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   ≠ wne 2933   class class class wbr 5154  (class class class)co 7427  ℂcc 11157  ℝcr 11158  0cc0 11159   · cmul 11164   < clt 11299   ≤ cle 11300   / cdiv 11922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5305  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3788  df-csb 3904  df-dif 3961  df-un 3963  df-in 3965  df-ss 3975  df-nul 4334  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4917  df-br 5155  df-opab 5217  df-mpt 5238  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7383  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-er 8738  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11497  df-neg 11498  df-div 11923

This theorem is referenced by:  ledivmul2  12149  rpnnen1lem3  13019  ledivmuld  13127  divelunit  13529  discr1  14262  faclbnd2  14314  01sqrexlem7  15266  o1fsum  15830  eftlub  16124  eflegeo  16136  4sqlem16  16975  iihalf2  24946  lebnumii  24983  ovolscalem1  25533  itg2mulclem  25767  abelthlem7  26465  pilem2  26479  sinhalfpilem  26488  sincosq1lem  26522  cxpaddle  26777  leibpi  26967  log2ublem1  26971  jensenlem2  27013  harmonicbnd4  27036  fsumfldivdiaglem  27214  bcmono  27303  lgsquadlem1  27406  rplogsumlem1  27510  rplogsumlem2  27511  dchrisum0lem2a  27543  mulogsumlem  27557  pntlemr  27628  unitdivcld  33792  cvmliftlem2  35199  snmlff  35242  sin2h  37396