MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ledivmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ledivmul 12130
Description: 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
ledivmul ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต)))

Proof of Theorem ledivmul
StepHypRef Expression
1 remulcl 11233 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
21ancoms 457 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
32adantrr 715 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
433adant1 1127 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
5 lediv1 12119 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต) โ†” (๐ด / ๐ถ) โ‰ค ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ)))
64, 5syld3an2 1408 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต) โ†” (๐ด / ๐ถ) โ‰ค ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ)))
7 recn 11238 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
87adantr 479 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9 recn 11238 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
109ad2antrl 726 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
11 gt0ne0 11719 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
1211adantl 480 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
138, 10, 12divcan3d 12035 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต)
14133adant1 1127 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต)
1514breq2d 5164 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) โ‰ค ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) โ†” (๐ด / ๐ถ) โ‰ค ๐ต))
166, 15bitr2d 279 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  โ„cr 11147  0cc0 11148   ยท cmul 11153   < clt 11288   โ‰ค cle 11289   / cdiv 11911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912
This theorem is referenced by:  ledivmul2  12133  rpnnen1lem3  13003  ledivmuld  13111  divelunit  13513  discr1  14243  faclbnd2  14292  01sqrexlem7  15237  o1fsum  15801  eftlub  16095  eflegeo  16107  4sqlem16  16938  iihalf2  24883  lebnumii  24920  ovolscalem1  25470  itg2mulclem  25704  abelthlem7  26403  pilem2  26417  sinhalfpilem  26426  sincosq1lem  26460  cxpaddle  26715  leibpi  26902  log2ublem1  26906  jensenlem2  26948  harmonicbnd4  26971  fsumfldivdiaglem  27149  bcmono  27238  lgsquadlem1  27341  rplogsumlem1  27445  rplogsumlem2  27446  dchrisum0lem2a  27478  mulogsumlem  27492  pntlemr  27563  unitdivcld  33543  cvmliftlem2  34937  snmlff  34980  sin2h  37124
  Copyright terms: Public domain W3C validator