Theorem ledivmul 12021

Description: 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ledivmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem ledivmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 11112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
3	2	adantrr 718	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
5		lediv1 12010	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ (𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶)))
6	4, 5	syld3an2 1414	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ (𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶)))
7		recn 11117	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		recn 11117	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
10	9	ad2antrl 729	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
11		gt0ne0 11604	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ≠ 0)
13	8, 10, 12	divcan3d 11925	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
14	13	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
15	14	breq2d 5098	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵))
16	6, 15	bitr2d 280	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027   · cmul 11032   < clt 11168   ≤ cle 11169   / cdiv 11796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797

This theorem is referenced by:  ledivmul2  12024  rpnnen1lem3  12918  ledivmuld  13028  divelunit  13436  discr1  14190  faclbnd2  14242  01sqrexlem7  15199  o1fsum  15765  eftlub  16065  eflegeo  16077  4sqlem16  16920  iihalf2  24909  lebnumii  24942  ovolscalem1  25489  itg2mulclem  25722  abelthlem7  26419  pilem2  26433  sinhalfpilem  26443  sincosq1lem  26477  cxpaddle  26733  leibpi  26923  log2ublem1  26927  jensenlem2  26969  harmonicbnd4  26992  fsumfldivdiaglem  27170  bcmono  27259  lgsquadlem1  27362  rplogsumlem1  27466  rplogsumlem2  27467  dchrisum0lem2a  27499  mulogsumlem  27513  pntlemr  27584  unitdivcld  34066  cvmliftlem2  35489  snmlff  35532  sin2h  37942