MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uspreg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uspreg 22312
Description: If a uniform space is Hausdorff, it is regular. Proposition 3 of [BourbakiTop1] p. II.5. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
uspreg.1 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
uspreg ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 ∈ Reg)

Proof of Theorem uspreg
StepHypRef Expression
1 eqid 2817 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2817 . . . . 5 (UnifSt‘𝑊) = (UnifSt‘𝑊)
3 uspreg.1 . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
41, 2, 3isusp 22299 . . . 4 (𝑊 ∈ UnifSp ↔ ((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝑊)) ∧ 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))))
54simprbi 486 . . 3 (𝑊 ∈ UnifSp → 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)))
65adantr 468 . 2 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)))
74simplbi 487 . . . 4 (𝑊 ∈ UnifSp → (UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝑊)))
87adantr 468 . . 3 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → (UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝑊)))
9 simpr 473 . . . 4 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 ∈ Haus)
106, 9eqeltrrd 2897 . . 3 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Haus)
11 eqid 2817 . . . 4 (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))
1211utopreg 22290 . . 3 (((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝑊)) ∧ (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Haus) → (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Reg)
138, 10, 12syl2anc 575 . 2 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Reg)
146, 13eqeltrd 2896 1 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 ∈ Reg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  cfv 6111  Basecbs 16088  TopOpenctopn 16307  Hauscha 21347  Regcreg 21348  UnifOncust 22237  unifTopcutop 22268  UnifStcuss 22291  UnifSpcusp 22292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-oadd 7810  df-er 7989  df-map 8104  df-en 8203  df-fin 8206  df-fi 8566  df-topgen 16329  df-top 20933  df-topon 20950  df-bases 20985  df-cld 21058  df-ntr 21059  df-cls 21060  df-nei 21137  df-cn 21266  df-cnp 21267  df-reg 21355  df-tx 21600  df-ust 22238  df-utop 22269  df-usp 22295
This theorem is referenced by:  cnextucn  22341  rrhre  30413
  Copyright terms: Public domain W3C validator