Theorem uspreg 24260

Description: If a uniform space is Hausdorff, it is regular. Proposition 3 of [BourbakiTop1] p. II.5. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
uspreg.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
uspreg	⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 ∈ Reg)

Proof of Theorem uspreg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (UnifSt‘𝑊) = (UnifSt‘𝑊)
3		uspreg.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
4	1, 2, 3	isusp 24248	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ UnifSp ↔ ((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝑊)) ∧ 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))))
5	4	simprbi 499	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ UnifSp → 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)))
6	5	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)))
7	4	simplbi 498	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ UnifSp → (UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝑊)))
8		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 ∈ Haus)
9	6, 8	eqeltrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Haus)
10		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))
11	10	utopreg 24239	. . 3 ⊢ (((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝑊)) ∧ (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Haus) → (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Reg)
12	7, 9, 11	syl2an2r 692	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Reg)
13	6, 12	eqeltrd 2841	1 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 ∈ Reg)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6489  Basecbs 17174  TopOpenctopn 17379  Hauscha 23295  Regcreg 23296  UnifOncust 24187  unifTopcutop 24217  UnifStcuss 24240  UnifSpcusp 24241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-1o 8399  df-2o 8400  df-map 8769  df-en 8888  df-fin 8891  df-fi 9318  df-topgen 17401  df-top 22881  df-topon 22898  df-bases 22933  df-cld 23006  df-ntr 23007  df-cls 23008  df-nei 23085  df-cn 23214  df-cnp 23215  df-reg 23303  df-tx 23549  df-ust 24188  df-utop 24218  df-usp 24244

This theorem is referenced by:  cnextucn  24289  rrhre  34217