Theorem uspreg 24199

Description: If a uniform space is Hausdorff, it is regular. Proposition 3 of [BourbakiTop1] p. II.5. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
uspreg.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
uspreg	⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 ∈ Reg)

Proof of Theorem uspreg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (UnifSt‘𝑊) = (UnifSt‘𝑊)
3		uspreg.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
4	1, 2, 3	isusp 24186	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ UnifSp ↔ ((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝑊)) ∧ 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))))
5	4	simprbi 495	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ UnifSp → 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)))
6	5	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)))
7	4	simplbi 496	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ UnifSp → (UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝑊)))
8		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 ∈ Haus)
9	6, 8	eqeltrrd 2830	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Haus)
10		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))
11	10	utopreg 24177	. . 3 ⊢ (((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝑊)) ∧ (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Haus) → (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Reg)
12	7, 9, 11	syl2an2r 683	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Reg)
13	6, 12	eqeltrd 2829	1 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 ∈ Reg)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  Basecbs 17187  TopOpenctopn 17410  Hauscha 23232  Regcreg 23233  UnifOncust 24124  unifTopcutop 24155  UnifStcuss 24178  UnifSpcusp 24179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-fin 8974  df-fi 9442  df-topgen 17432  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-reg 23240  df-tx 23486  df-ust 24125  df-utop 24156  df-usp 24182

This theorem is referenced by:  cnextucn  24228  rrhre  33655