Theorem uspreg 24592

Description: If a uniform space is Hausdorff, it is regular. Proposition 3 of [BourbakiTop1] p. II.5. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
uspreg.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
uspreg	⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 ∈ Reg)

Proof of Theorem uspreg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (UnifSt‘𝑊) = (UnifSt‘𝑊)
3		uspreg.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
4	1, 2, 3	isusp 24580	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ UnifSp ↔ ((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝑊)) ∧ 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))))
5	4	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ UnifSp → 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)))
6	5	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)))
7	4	simplbi 502	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ UnifSp → (UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝑊)))
8		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 ∈ Haus)
9	6, 8	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Haus)
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))
11	10	utopreg 24571	. . 3 ⊢ (((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝑊)) ∧ (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Haus) → (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Reg)
12	7, 9, 11	syl2an2r 698	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Reg)
13	6, 12	eqeltrd 2860	1 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 ∈ Reg)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  TopOpenctopn 17592  Hauscha 23626  Regcreg 23627  UnifOncust 24519  unifTopcutop 24549  UnifStcuss 24572  UnifSpcusp 24573

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-1o 8476  df-2o 8477  df-map 8849  df-en 8974  df-fin 8977  df-fi 9403  df-topgen 17614  df-top 23212  df-topon 23229  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-reg 23634  df-tx 23881  df-ust 24520  df-utop 24550  df-usp 24576

This theorem is used by:  cnextucn  24621  rrhre  34653