Theorem uspreg 24215

Description: If a uniform space is Hausdorff, it is regular. Proposition 3 of [BourbakiTop1] p. II.5. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
uspreg.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
uspreg	⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 ∈ Reg)

Proof of Theorem uspreg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (UnifSt‘𝑊) = (UnifSt‘𝑊)
3		uspreg.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
4	1, 2, 3	isusp 24203	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ UnifSp ↔ ((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝑊)) ∧ 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))))
5	4	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ UnifSp → 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)))
7	4	simplbi 497	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ UnifSp → (UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝑊)))
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 ∈ Haus)
9	6, 8	eqeltrrd 2835	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Haus)
10		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))
11	10	utopreg 24194	. . 3 ⊢ (((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝑊)) ∧ (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Haus) → (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Reg)
12	7, 9, 11	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Reg)
13	6, 12	eqeltrd 2834	1 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 ∈ Reg)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  Basecbs 17134  TopOpenctopn 17339  Hauscha 23250  Regcreg 23251  UnifOncust 24142  unifTopcutop 24172  UnifStcuss 24195  UnifSpcusp 24196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-1o 8395  df-2o 8396  df-map 8763  df-en 8882  df-fin 8885  df-fi 9312  df-topgen 17361  df-top 22836  df-topon 22853  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-reg 23258  df-tx 23504  df-ust 24143  df-utop 24173  df-usp 24199

This theorem is referenced by:  cnextucn  24244  rrhre  34127