Theorem tustps 24410

Description: A constructed uniform space is a topological space. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
tuslem.k	⊢ 𝐾 = (toUnifSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
tustps	⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝐾 ∈ TopSp)

Proof of Theorem tustps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		utoptopon 24374	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (unifTop‘𝑈) ∈ (TopOn‘𝑋))
2		tuslem.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (toUnifSp‘𝑈)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (unifTop‘𝑈) = (unifTop‘𝑈)
4	2, 3	tustopn 24408	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (unifTop‘𝑈) = (TopOpen‘𝐾))
5	2	tusbas 24405	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
6	5	fveq2d 6887	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (TopOn‘𝑋) = (TopOn‘(Base‘𝐾)))
7	1, 4, 6	3eltr3d 2877	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (TopOpen‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)))
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9		eqid 2763	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
10	8, 9	istps 23072	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)))
11	7, 10	sylibr 237	1 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝐾 ∈ TopSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  Basecbs 17270  TopOpenctopn 17475  TopOnctopon 23048  TopSpctps 23070  UnifOncust 24338  unifTopcutop 24368  toUnifSpctus 24393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-tset 17330  df-unif 17334  df-rest 17476  df-topn 17477  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-ust 24339  df-utop 24369  df-tus 24396

This theorem is referenced by: (None)