Theorem cncfmet 23806

Description: Relate complex function continuity to metric space continuity. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmet.1	⊢ 𝐶 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
cncfmet.2	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
cncfmet.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
cncfmet.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cncfmet	⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem cncfmet

Dummy variables 𝑤 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
4		cncfmet.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
5	4	oveqi 7226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥𝐶𝑤) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑤)
6		ovres 7374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
7	5, 6	syl5eq 2790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑥𝐶𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
8	7	ad2ant2l 746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑥𝐶𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
9		ssel2 3895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
10		ssel2 3895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℂ)
11		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
12	11	cnmetdval 23668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑥 − 𝑤)))
13	9, 10, 12	syl2an 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑥 − 𝑤)))
14	8, 13	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑥𝐶𝑤) = (abs‘(𝑥 − 𝑤)))
15	1, 2, 1, 3, 14	syl22anc 839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑥𝐶𝑤) = (abs‘(𝑥 − 𝑤)))
16	15	breq1d 5063	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧))
17		ffvelrn 6902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
18	17	ad2ant2lr 748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
19		ffvelrn 6902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑤) ∈ 𝐵)
20	19	ad2ant2l 746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑓‘𝑤) ∈ 𝐵)
21		cncfmet.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
22	21	oveqi 7226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) = ((𝑓‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))(𝑓‘𝑤))
23		ovres 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ 𝐵) → ((𝑓‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))(𝑓‘𝑤)) = ((𝑓‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑓‘𝑤)))
24	22, 23	syl5eq 2790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ 𝐵) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) = ((𝑓‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑓‘𝑤)))
25	18, 20, 24	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) = ((𝑓‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑓‘𝑤)))
26		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
27	26, 18	sseldd 3902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℂ)
28	26, 20	sseldd 3902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑓‘𝑤) ∈ ℂ)
29	11	cnmetdval 23668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ ℂ) → ((𝑓‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑓‘𝑤)) = (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))))
30	27, 28, 29	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((𝑓‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑓‘𝑤)) = (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))))
31	25, 30	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) = (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))))
32	31	breq1d 5063	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦))
33	16, 32	imbi12d 348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
34	33	anassrs 471	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
35	34	ralbidva 3117	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
36	35	rexbidv 3216	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
37	36	ralbidv 3118	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
38	37	ralbidva 3117	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
39	38	pm5.32da 582	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦)) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦))))
40		cnxmet 23670	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
41		xmetres2 23259	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
42	40, 41	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
43	4, 42	eqeltrid 2842	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝐴))
44		xmetres2 23259	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
45	40, 44	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
46	21, 45	eqeltrid 2842	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ ℂ → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
47		cncfmet.3	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
48		cncfmet.4	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
49	47, 48	metcn 23441	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))))
50	43, 46, 49	syl2an 599	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))))
51		elcncf 23786	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦))))
52	39, 50, 51	3bitr4rd 315	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
53	52	eqrdv 2735	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053   × cxp 5549   ↾ cres 5553   ∘ ccom 5555  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727   < clt 10867   − cmin 11062  ℝ⁺crp 12586  abscabs 14797  ∞Metcxmet 20348  MetOpencmopn 20353   Cn ccn 22121  –cn→ccncf 23773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-topgen 16948  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-top 21791  df-topon 21808  df-bases 21843  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-cncf 23775

This theorem is referenced by:  cncfcn  23807  evthicc  24356  cncfres  35660