MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfmet 24920
Description: Relate complex function continuity to metric space continuity. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmet.1 𝐶 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
cncfmet.2 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
cncfmet.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
cncfmet.4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
cncfmet ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem cncfmet
Dummy variables 𝑤 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → 𝑥𝐴)
3 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → 𝑤𝐴)
4 cncfmet.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
54oveqi 7437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐶𝑤) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑤)
6 ovres 7592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑤𝐴) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
75, 6eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐴𝑤𝐴) → (𝑥𝐶𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
87ad2ant2l 744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤𝐴)) → (𝑥𝐶𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
9 ssel2 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
10 ssel2 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℂ)
11 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
1211cnmetdval 24778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑥𝑤)))
139, 10, 12syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤𝐴)) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑥𝑤)))
148, 13eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤𝐴)) → (𝑥𝐶𝑤) = (abs‘(𝑥𝑤)))
151, 2, 1, 3, 14syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → (𝑥𝐶𝑤) = (abs‘(𝑥𝑤)))
1615breq1d 5163 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧))
17 ffvelcdm 7095 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
1817ad2ant2lr 746 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
19 ffvelcdm 7095 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴𝐵𝑤𝐴) → (𝑓𝑤) ∈ 𝐵)
2019ad2ant2l 744 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → (𝑓𝑤) ∈ 𝐵)
21 cncfmet.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
2221oveqi 7437 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) = ((𝑓𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))(𝑓𝑤))
23 ovres 7592 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝐵) → ((𝑓𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))(𝑓𝑤)) = ((𝑓𝑥)(abs ∘ − )(𝑓𝑤)))
2422, 23eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝐵) → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) = ((𝑓𝑥)(abs ∘ − )(𝑓𝑤)))
2518, 20, 24syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) = ((𝑓𝑥)(abs ∘ − )(𝑓𝑤)))
26 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
2726, 18sseldd 3980 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
2826, 20sseldd 3980 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → (𝑓𝑤) ∈ ℂ)
2911cnmetdval 24778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑓𝑤) ∈ ℂ) → ((𝑓𝑥)(abs ∘ − )(𝑓𝑤)) = (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))))
3027, 28, 29syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → ((𝑓𝑥)(abs ∘ − )(𝑓𝑤)) = (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))))
3125, 30eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) = (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))))
3231breq1d 5163 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → (((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦))
3316, 32imbi12d 343 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → (((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦)))
3433anassrs 466 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑤𝐴) → (((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦)))
3534ralbidva 3166 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑤𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦)))
3635rexbidv 3169 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦)))
3736ralbidv 3168 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦)))
3837ralbidva 3166 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦)))
3938pm5.32da 577 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦)) ↔ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦))))
40 cnxmet 24780 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
41 xmetres2 24358 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
4240, 41mpan 688 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
434, 42eqeltrid 2830 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝐴))
44 xmetres2 24358 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
4540, 44mpan 688 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
4621, 45eqeltrid 2830 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℂ → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
47 cncfmet.3 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
48 cncfmet.4 . . . . 5 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
4947, 48metcn 24543 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦))))
5043, 46, 49syl2an 594 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦))))
51 elcncf 24900 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦))))
5239, 50, 513bitr4rd 311 . 2 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
5352eqrdv 2724 1 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wrex 3060  wss 3947   class class class wbr 5153   × cxp 5680  cres 5684  ccom 5686  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156   < clt 11298  cmin 11494  +crp 13028  abscabs 15239  ∞Metcxmet 21328  MetOpencmopn 21333   Cn ccn 23219  cnccncf 24887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-topgen 17458  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-top 22887  df-topon 22904  df-bases 22940  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-cncf 24889
This theorem is referenced by:  cncfcn  24921  evthicc  25479  cncfres  37466
  Copyright terms: Public domain W3C validator