Theorem cncfmet 24920

Description: Relate complex function continuity to metric space continuity. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmet.1	⊢ 𝐶 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
cncfmet.2	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
cncfmet.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
cncfmet.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cncfmet	⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem cncfmet

Dummy variables 𝑤 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2		simprl 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3		simprr 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
4		cncfmet.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
5	4	oveqi 7437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥𝐶𝑤) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑤)
6		ovres 7592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
7	5, 6	eqtrid 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑥𝐶𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
8	7	ad2ant2l 744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑥𝐶𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
9		ssel2 3974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
10		ssel2 3974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℂ)
11		eqid 2726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
12	11	cnmetdval 24778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑥 − 𝑤)))
13	9, 10, 12	syl2an 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑥 − 𝑤)))
14	8, 13	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑥𝐶𝑤) = (abs‘(𝑥 − 𝑤)))
15	1, 2, 1, 3, 14	syl22anc 837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑥𝐶𝑤) = (abs‘(𝑥 − 𝑤)))
16	15	breq1d 5163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧))
17		ffvelcdm 7095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
18	17	ad2ant2lr 746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
19		ffvelcdm 7095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑤) ∈ 𝐵)
20	19	ad2ant2l 744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑓‘𝑤) ∈ 𝐵)
21		cncfmet.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
22	21	oveqi 7437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) = ((𝑓‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))(𝑓‘𝑤))
23		ovres 7592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ 𝐵) → ((𝑓‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))(𝑓‘𝑤)) = ((𝑓‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑓‘𝑤)))
24	22, 23	eqtrid 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ 𝐵) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) = ((𝑓‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑓‘𝑤)))
25	18, 20, 24	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) = ((𝑓‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑓‘𝑤)))
26		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
27	26, 18	sseldd 3980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℂ)
28	26, 20	sseldd 3980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑓‘𝑤) ∈ ℂ)
29	11	cnmetdval 24778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ ℂ) → ((𝑓‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑓‘𝑤)) = (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))))
30	27, 28, 29	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((𝑓‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑓‘𝑤)) = (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))))
31	25, 30	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) = (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))))
32	31	breq1d 5163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦))
33	16, 32	imbi12d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
34	33	anassrs 466	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
35	34	ralbidva 3166	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
36	35	rexbidv 3169	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
37	36	ralbidv 3168	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
38	37	ralbidva 3166	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
39	38	pm5.32da 577	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦)) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦))))
40		cnxmet 24780	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
41		xmetres2 24358	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
42	40, 41	mpan 688	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
43	4, 42	eqeltrid 2830	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝐴))
44		xmetres2 24358	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
45	40, 44	mpan 688	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
46	21, 45	eqeltrid 2830	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ ℂ → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
47		cncfmet.3	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
48		cncfmet.4	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
49	47, 48	metcn 24543	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))))
50	43, 46, 49	syl2an 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))))
51		elcncf 24900	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦))))
52	39, 50, 51	3bitr4rd 311	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
53	52	eqrdv 2724	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5153   × cxp 5680   ↾ cres 5684   ∘ ccom 5686  ⟶wf 6550  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℂcc 11156   < clt 11298   − cmin 11494  ℝ⁺crp 13028  abscabs 15239  ∞Metcxmet 21328  MetOpencmopn 21333   Cn ccn 23219  –cn→ccncf 24887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-topgen 17458  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-top 22887  df-topon 22904  df-bases 22940  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-cncf 24889

This theorem is referenced by:  cncfcn  24921  evthicc  25479  cncfres  37466