MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfmet 24170
Description: Relate complex function continuity to metric space continuity. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmet.1 𝐶 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
cncfmet.2 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
cncfmet.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
cncfmet.4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
cncfmet ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem cncfmet
Dummy variables 𝑤 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → 𝑥𝐴)
3 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → 𝑤𝐴)
4 cncfmet.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
54oveqi 7342 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐶𝑤) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑤)
6 ovres 7492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑤𝐴) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
75, 6eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐴𝑤𝐴) → (𝑥𝐶𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
87ad2ant2l 743 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤𝐴)) → (𝑥𝐶𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
9 ssel2 3926 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
10 ssel2 3926 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℂ)
11 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
1211cnmetdval 24032 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑥𝑤)))
139, 10, 12syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤𝐴)) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑥𝑤)))
148, 13eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤𝐴)) → (𝑥𝐶𝑤) = (abs‘(𝑥𝑤)))
151, 2, 1, 3, 14syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → (𝑥𝐶𝑤) = (abs‘(𝑥𝑤)))
1615breq1d 5099 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧))
17 ffvelcdm 7009 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
1817ad2ant2lr 745 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
19 ffvelcdm 7009 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴𝐵𝑤𝐴) → (𝑓𝑤) ∈ 𝐵)
2019ad2ant2l 743 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → (𝑓𝑤) ∈ 𝐵)
21 cncfmet.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
2221oveqi 7342 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) = ((𝑓𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))(𝑓𝑤))
23 ovres 7492 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝐵) → ((𝑓𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))(𝑓𝑤)) = ((𝑓𝑥)(abs ∘ − )(𝑓𝑤)))
2422, 23eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝐵) → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) = ((𝑓𝑥)(abs ∘ − )(𝑓𝑤)))
2518, 20, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) = ((𝑓𝑥)(abs ∘ − )(𝑓𝑤)))
26 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
2726, 18sseldd 3932 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
2826, 20sseldd 3932 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → (𝑓𝑤) ∈ ℂ)
2911cnmetdval 24032 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑓𝑤) ∈ ℂ) → ((𝑓𝑥)(abs ∘ − )(𝑓𝑤)) = (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))))
3027, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → ((𝑓𝑥)(abs ∘ − )(𝑓𝑤)) = (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))))
3125, 30eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) = (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))))
3231breq1d 5099 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → (((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦))
3316, 32imbi12d 344 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → (((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦)))
3433anassrs 468 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑤𝐴) → (((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦)))
3534ralbidva 3168 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑤𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦)))
3635rexbidv 3171 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦)))
3736ralbidv 3170 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦)))
3837ralbidva 3168 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦)))
3938pm5.32da 579 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦)) ↔ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦))))
40 cnxmet 24034 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
41 xmetres2 23612 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
4240, 41mpan 687 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
434, 42eqeltrid 2841 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝐴))
44 xmetres2 23612 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
4540, 44mpan 687 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
4621, 45eqeltrid 2841 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℂ → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
47 cncfmet.3 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
48 cncfmet.4 . . . . 5 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
4947, 48metcn 23797 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦))))
5043, 46, 49syl2an 596 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦))))
51 elcncf 24150 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦))))
5239, 50, 513bitr4rd 311 . 2 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
5352eqrdv 2734 1 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  wrex 3070  wss 3897   class class class wbr 5089   × cxp 5612  cres 5616  ccom 5618  wf 6469  cfv 6473  (class class class)co 7329  cc 10962   < clt 11102  cmin 11298  +crp 12823  abscabs 15036  ∞Metcxmet 20680  MetOpencmopn 20685   Cn ccn 22473  cnccncf 24137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-map 8680  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-sup 9291  df-inf 9292  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-q 12782  df-rp 12824  df-xneg 12941  df-xadd 12942  df-xmul 12943  df-seq 13815  df-exp 13876  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-topgen 17243  df-psmet 20687  df-xmet 20688  df-met 20689  df-bl 20690  df-mopn 20691  df-top 22141  df-topon 22158  df-bases 22194  df-cn 22476  df-cnp 22477  df-cncf 24139
This theorem is referenced by:  cncfcn  24171  evthicc  24721  cncfres  36021
  Copyright terms: Public domain W3C validator