MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfmet 24823
Description: Relate complex function continuity to metric space continuity. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmet.1 𝐢 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))
cncfmet.2 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
cncfmet.3 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
cncfmet.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cncfmet ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem cncfmet
Dummy variables 𝑀 𝑓 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
2 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
3 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑀 ∈ 𝐴)
4 cncfmet.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐢 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))
54oveqi 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯𝐢𝑀) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑀)
6 ovres 7582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑀) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀))
75, 6eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀))
87ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀))
9 ssel2 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
10 ssel2 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
11 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
1211cnmetdval 24681 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)))
139, 10, 12syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)))
148, 13eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)))
151, 2, 1, 3, 14syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)))
1615breq1d 5153 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 ↔ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧))
17 ffvelcdm 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
1817ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
19 ffvelcdm 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘€) ∈ 𝐡)
2019ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘€) ∈ 𝐡)
21 cncfmet.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
2221oveqi 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) = ((π‘“β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))(π‘“β€˜π‘€))
23 ovres 7582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ (π‘“β€˜π‘€) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))(π‘“β€˜π‘€)) = ((π‘“β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(π‘“β€˜π‘€)))
2422, 23eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ (π‘“β€˜π‘€) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) = ((π‘“β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(π‘“β€˜π‘€)))
2518, 20, 24syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) = ((π‘“β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(π‘“β€˜π‘€)))
26 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
2726, 18sseldd 3980 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2826, 20sseldd 3980 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘€) ∈ β„‚)
2911cnmetdval 24681 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (π‘“β€˜π‘€) ∈ β„‚) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(π‘“β€˜π‘€)) = (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))))
3027, 28, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(π‘“β€˜π‘€)) = (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))))
3125, 30eqtrd 2768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) = (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))))
3231breq1d 5153 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦 ↔ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦))
3316, 32imbi12d 344 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3433anassrs 467 . . . . . . . 8 (((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3534ralbidva 3171 . . . . . . 7 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3635rexbidv 3174 . . . . . 6 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3736ralbidv 3173 . . . . 5 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3837ralbidva 3171 . . . 4 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3938pm5.32da 578 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ ((𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦)) ↔ (𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦))))
40 cnxmet 24683 . . . . . 6 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
41 xmetres2 24261 . . . . . 6 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (∞Metβ€˜π΄))
4240, 41mpan 689 . . . . 5 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (∞Metβ€˜π΄))
434, 42eqeltrid 2833 . . . 4 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π΄))
44 xmetres2 24261 . . . . . 6 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
4540, 44mpan 689 . . . . 5 (𝐡 βŠ† β„‚ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
4621, 45eqeltrid 2833 . . . 4 (𝐡 βŠ† β„‚ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
47 cncfmet.3 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
48 cncfmet.4 . . . . 5 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
4947, 48metcn 24446 . . . 4 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π΄) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅)) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦))))
5043, 46, 49syl2an 595 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦))))
51 elcncf 24803 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐡) ↔ (𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦))))
5239, 50, 513bitr4rd 312 . 2 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐡) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
5352eqrdv 2726 1 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3057  βˆƒwrex 3066   βŠ† wss 3945   class class class wbr 5143   Γ— cxp 5671   β†Ύ cres 5675   ∘ ccom 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7415  β„‚cc 11131   < clt 11273   βˆ’ cmin 11469  β„+crp 13001  abscabs 15208  βˆžMetcxmet 21258  MetOpencmopn 21263   Cn ccn 23122  β€“cnβ†’ccncf 24790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-topgen 17419  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-mopn 21269  df-top 22790  df-topon 22807  df-bases 22843  df-cn 23125  df-cnp 23126  df-cncf 24792
This theorem is referenced by:  cncfcn  24824  evthicc  25382  cncfres  37233
  Copyright terms: Public domain W3C validator