Theorem cncfmet 23199

Description: Relate complex function continuity to metric space continuity. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmet.1	⊢ 𝐶 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
cncfmet.2	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
cncfmet.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
cncfmet.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cncfmet	⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem cncfmet

Dummy variables 𝑤 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2		simprl 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3		simprr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
4		cncfmet.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
5	4	oveqi 7029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥𝐶𝑤) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑤)
6		ovres 7170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
7	5, 6	syl5eq 2843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑥𝐶𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
8	7	ad2ant2l 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑥𝐶𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
9		ssel2 3884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
10		ssel2 3884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℂ)
11		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
12	11	cnmetdval 23062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑥 − 𝑤)))
13	9, 10, 12	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑥 − 𝑤)))
14	8, 13	eqtrd 2831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑥𝐶𝑤) = (abs‘(𝑥 − 𝑤)))
15	1, 2, 1, 3, 14	syl22anc 835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑥𝐶𝑤) = (abs‘(𝑥 − 𝑤)))
16	15	breq1d 4972	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧))
17		ffvelrn 6714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
18	17	ad2ant2lr 744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
19		ffvelrn 6714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑤) ∈ 𝐵)
20	19	ad2ant2l 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑓‘𝑤) ∈ 𝐵)
21		cncfmet.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
22	21	oveqi 7029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) = ((𝑓‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))(𝑓‘𝑤))
23		ovres 7170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ 𝐵) → ((𝑓‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))(𝑓‘𝑤)) = ((𝑓‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑓‘𝑤)))
24	22, 23	syl5eq 2843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ 𝐵) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) = ((𝑓‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑓‘𝑤)))
25	18, 20, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) = ((𝑓‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑓‘𝑤)))
26		simpllr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
27	26, 18	sseldd 3890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℂ)
28	26, 20	sseldd 3890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑓‘𝑤) ∈ ℂ)
29	11	cnmetdval 23062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ ℂ) → ((𝑓‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑓‘𝑤)) = (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))))
30	27, 28, 29	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((𝑓‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑓‘𝑤)) = (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))))
31	25, 30	eqtrd 2831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) = (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))))
32	31	breq1d 4972	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦))
33	16, 32	imbi12d 346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
34	33	anassrs 468	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
35	34	ralbidva 3163	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
36	35	rexbidv 3260	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
37	36	ralbidv 3164	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
38	37	ralbidva 3163	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
39	38	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦)) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦))))
40		cnxmet 23064	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
41		xmetres2 22654	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
42	40, 41	mpan 686	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
43	4, 42	syl5eqel 2887	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝐴))
44		xmetres2 22654	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
45	40, 44	mpan 686	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
46	21, 45	syl5eqel 2887	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ ℂ → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
47		cncfmet.3	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
48		cncfmet.4	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
49	47, 48	metcn 22836	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))))
50	43, 46, 49	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))))
51		elcncf 23180	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦))))
52	39, 50, 51	3bitr4rd 313	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
53	52	eqrdv 2793	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105  ∃wrex 3106   ⊆ wss 3859   class class class wbr 4962   × cxp 5441   ↾ cres 5445   ∘ ccom 5447  ⟶wf 6221  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  ℂcc 10381   < clt 10521   − cmin 10717  ℝ⁺crp 12239  abscabs 14427  ∞Metcxmet 20212  MetOpencmopn 20217   Cn ccn 21516  –cn→ccncf 23167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-topgen 16546  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-top 21186  df-topon 21203  df-bases 21238  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-cncf 23169

This theorem is referenced by:  cncfcn  23200  evthicc  23743  cncfres  34575