MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfmet 24424
Description: Relate complex function continuity to metric space continuity. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmet.1 𝐢 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))
cncfmet.2 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
cncfmet.3 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
cncfmet.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cncfmet ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem cncfmet
Dummy variables 𝑀 𝑓 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
2 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
3 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑀 ∈ 𝐴)
4 cncfmet.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐢 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))
54oveqi 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯𝐢𝑀) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑀)
6 ovres 7572 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑀) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀))
75, 6eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀))
87ad2ant2l 744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀))
9 ssel2 3977 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
10 ssel2 3977 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
11 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
1211cnmetdval 24286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)))
139, 10, 12syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)))
148, 13eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)))
151, 2, 1, 3, 14syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)))
1615breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 ↔ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧))
17 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
1817ad2ant2lr 746 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
19 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘€) ∈ 𝐡)
2019ad2ant2l 744 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘€) ∈ 𝐡)
21 cncfmet.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
2221oveqi 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) = ((π‘“β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))(π‘“β€˜π‘€))
23 ovres 7572 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ (π‘“β€˜π‘€) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))(π‘“β€˜π‘€)) = ((π‘“β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(π‘“β€˜π‘€)))
2422, 23eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ (π‘“β€˜π‘€) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) = ((π‘“β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(π‘“β€˜π‘€)))
2518, 20, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) = ((π‘“β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(π‘“β€˜π‘€)))
26 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
2726, 18sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2826, 20sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘€) ∈ β„‚)
2911cnmetdval 24286 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (π‘“β€˜π‘€) ∈ β„‚) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(π‘“β€˜π‘€)) = (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))))
3027, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(π‘“β€˜π‘€)) = (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))))
3125, 30eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) = (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))))
3231breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦 ↔ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦))
3316, 32imbi12d 344 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3433anassrs 468 . . . . . . . 8 (((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3534ralbidva 3175 . . . . . . 7 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3635rexbidv 3178 . . . . . 6 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3736ralbidv 3177 . . . . 5 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3837ralbidva 3175 . . . 4 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3938pm5.32da 579 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ ((𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦)) ↔ (𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦))))
40 cnxmet 24288 . . . . . 6 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
41 xmetres2 23866 . . . . . 6 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (∞Metβ€˜π΄))
4240, 41mpan 688 . . . . 5 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (∞Metβ€˜π΄))
434, 42eqeltrid 2837 . . . 4 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π΄))
44 xmetres2 23866 . . . . . 6 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
4540, 44mpan 688 . . . . 5 (𝐡 βŠ† β„‚ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
4621, 45eqeltrid 2837 . . . 4 (𝐡 βŠ† β„‚ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
47 cncfmet.3 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
48 cncfmet.4 . . . . 5 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
4947, 48metcn 24051 . . . 4 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π΄) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅)) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦))))
5043, 46, 49syl2an 596 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦))))
51 elcncf 24404 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐡) ↔ (𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦))))
5239, 50, 513bitr4rd 311 . 2 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐡) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
5352eqrdv 2730 1 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107   < clt 11247   βˆ’ cmin 11443  β„+crp 12973  abscabs 15180  βˆžMetcxmet 20928  MetOpencmopn 20933   Cn ccn 22727  β€“cnβ†’ccncf 24391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-cncf 24393
This theorem is referenced by:  cncfcn  24425  evthicc  24975  cncfres  36628
  Copyright terms: Public domain W3C validator