MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfmet 24753
Description: Relate complex function continuity to metric space continuity. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmet.1 𝐢 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))
cncfmet.2 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
cncfmet.3 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
cncfmet.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cncfmet ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem cncfmet
Dummy variables 𝑀 𝑓 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
2 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
3 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑀 ∈ 𝐴)
4 cncfmet.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐢 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))
54oveqi 7415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯𝐢𝑀) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑀)
6 ovres 7567 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑀) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀))
75, 6eqtrid 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀))
87ad2ant2l 743 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀))
9 ssel2 3970 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
10 ssel2 3970 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
11 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
1211cnmetdval 24611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)))
139, 10, 12syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)))
148, 13eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)))
151, 2, 1, 3, 14syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)))
1615breq1d 5149 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 ↔ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧))
17 ffvelcdm 7074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
1817ad2ant2lr 745 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
19 ffvelcdm 7074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘€) ∈ 𝐡)
2019ad2ant2l 743 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘€) ∈ 𝐡)
21 cncfmet.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
2221oveqi 7415 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) = ((π‘“β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))(π‘“β€˜π‘€))
23 ovres 7567 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ (π‘“β€˜π‘€) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))(π‘“β€˜π‘€)) = ((π‘“β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(π‘“β€˜π‘€)))
2422, 23eqtrid 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ (π‘“β€˜π‘€) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) = ((π‘“β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(π‘“β€˜π‘€)))
2518, 20, 24syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) = ((π‘“β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(π‘“β€˜π‘€)))
26 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
2726, 18sseldd 3976 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2826, 20sseldd 3976 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘€) ∈ β„‚)
2911cnmetdval 24611 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (π‘“β€˜π‘€) ∈ β„‚) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(π‘“β€˜π‘€)) = (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))))
3027, 28, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(π‘“β€˜π‘€)) = (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))))
3125, 30eqtrd 2764 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) = (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))))
3231breq1d 5149 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦 ↔ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦))
3316, 32imbi12d 344 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3433anassrs 467 . . . . . . . 8 (((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3534ralbidva 3167 . . . . . . 7 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3635rexbidv 3170 . . . . . 6 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3736ralbidv 3169 . . . . 5 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3837ralbidva 3167 . . . 4 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3938pm5.32da 578 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ ((𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦)) ↔ (𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦))))
40 cnxmet 24613 . . . . . 6 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
41 xmetres2 24191 . . . . . 6 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (∞Metβ€˜π΄))
4240, 41mpan 687 . . . . 5 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (∞Metβ€˜π΄))
434, 42eqeltrid 2829 . . . 4 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π΄))
44 xmetres2 24191 . . . . . 6 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
4540, 44mpan 687 . . . . 5 (𝐡 βŠ† β„‚ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
4621, 45eqeltrid 2829 . . . 4 (𝐡 βŠ† β„‚ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
47 cncfmet.3 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
48 cncfmet.4 . . . . 5 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
4947, 48metcn 24376 . . . 4 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π΄) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅)) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦))))
5043, 46, 49syl2an 595 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦))))
51 elcncf 24733 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐡) ↔ (𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦))))
5239, 50, 513bitr4rd 312 . 2 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐡) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
5352eqrdv 2722 1 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5139   Γ— cxp 5665   β†Ύ cres 5669   ∘ ccom 5671  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105   < clt 11246   βˆ’ cmin 11442  β„+crp 12972  abscabs 15179  βˆžMetcxmet 21215  MetOpencmopn 21220   Cn ccn 23052  β€“cnβ†’ccncf 24720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-seq 13965  df-exp 14026  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-topgen 17390  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-top 22720  df-topon 22737  df-bases 22773  df-cn 23055  df-cnp 23056  df-cncf 24722
This theorem is referenced by:  cncfcn  24754  evthicc  25312  cncfres  37127
  Copyright terms: Public domain W3C validator