MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfmet 24295
Description: Relate complex function continuity to metric space continuity. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmet.1 𝐢 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))
cncfmet.2 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
cncfmet.3 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
cncfmet.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cncfmet ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem cncfmet
Dummy variables 𝑀 𝑓 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
2 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
3 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑀 ∈ 𝐴)
4 cncfmet.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐢 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))
54oveqi 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯𝐢𝑀) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑀)
6 ovres 7524 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑀) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀))
75, 6eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀))
87ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀))
9 ssel2 3943 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
10 ssel2 3943 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
11 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
1211cnmetdval 24157 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)))
139, 10, 12syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑀) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)))
148, 13eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)))
151, 2, 1, 3, 14syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)))
1615breq1d 5119 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 ↔ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧))
17 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
1817ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
19 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘€) ∈ 𝐡)
2019ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘€) ∈ 𝐡)
21 cncfmet.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
2221oveqi 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) = ((π‘“β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))(π‘“β€˜π‘€))
23 ovres 7524 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ (π‘“β€˜π‘€) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))(π‘“β€˜π‘€)) = ((π‘“β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(π‘“β€˜π‘€)))
2422, 23eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ (π‘“β€˜π‘€) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) = ((π‘“β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(π‘“β€˜π‘€)))
2518, 20, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) = ((π‘“β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(π‘“β€˜π‘€)))
26 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
2726, 18sseldd 3949 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2826, 20sseldd 3949 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘“β€˜π‘€) ∈ β„‚)
2911cnmetdval 24157 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (π‘“β€˜π‘€) ∈ β„‚) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(π‘“β€˜π‘€)) = (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))))
3027, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)(abs ∘ βˆ’ )(π‘“β€˜π‘€)) = (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))))
3125, 30eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) = (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))))
3231breq1d 5119 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦 ↔ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦))
3316, 32imbi12d 345 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3433anassrs 469 . . . . . . . 8 (((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3534ralbidva 3169 . . . . . . 7 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3635rexbidv 3172 . . . . . 6 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3736ralbidv 3171 . . . . 5 ((((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3837ralbidva 3169 . . . 4 (((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ 𝑓:𝐴⟢𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦)))
3938pm5.32da 580 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ ((𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦)) ↔ (𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦))))
40 cnxmet 24159 . . . . . 6 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
41 xmetres2 23737 . . . . . 6 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (∞Metβ€˜π΄))
4240, 41mpan 689 . . . . 5 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (∞Metβ€˜π΄))
434, 42eqeltrid 2838 . . . 4 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π΄))
44 xmetres2 23737 . . . . . 6 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
4540, 44mpan 689 . . . . 5 (𝐡 βŠ† β„‚ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
4621, 45eqeltrid 2838 . . . 4 (𝐡 βŠ† β„‚ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
47 cncfmet.3 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
48 cncfmet.4 . . . . 5 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
4947, 48metcn 23922 . . . 4 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π΄) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅)) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦))))
5043, 46, 49syl2an 597 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐷(π‘“β€˜π‘€)) < 𝑦))))
51 elcncf 24275 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐡) ↔ (𝑓:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑀)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘“β€˜π‘€))) < 𝑦))))
5239, 50, 513bitr4rd 312 . 2 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐡) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
5352eqrdv 2731 1 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→𝐡) = (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057   < clt 11197   βˆ’ cmin 11393  β„+crp 12923  abscabs 15128  βˆžMetcxmet 20804  MetOpencmopn 20809   Cn ccn 22598  β€“cnβ†’ccncf 24262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-cncf 24264
This theorem is referenced by:  cncfcn  24296  evthicc  24846  cncfres  36274
  Copyright terms: Public domain W3C validator