MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem4b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem4b 29820
Description: Lemma for minveco 29826. The convergent point of the cauchy sequence 𝐹 is a member of the base space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑌)
minveco.1 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem4b (𝜑 → ((⇝𝑡𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝜑,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑈(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑊(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem4b
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2 phnv 29756 . . . 4 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
4 minveco.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
5 elin 3926 . . . . 5 (𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
64, 5sylib 217 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
76simpld 495 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
8 minveco.x . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
9 minveco.y . . . 4 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
10 eqid 2736 . . . 4 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
118, 9, 10sspba 29669 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌𝑋)
123, 7, 11syl2anc 584 . 2 (𝜑𝑌𝑋)
13 minveco.d . . . . . . . 8 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
148, 13imsxmet 29634 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
153, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16 minveco.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
1716methaus 23876 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
1815, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Haus)
19 lmfun 22732 . . . . 5 (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡𝐽))
2018, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun (⇝𝑡𝐽))
21 minveco.m . . . . . 6 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
22 minveco.n . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑈)
23 minveco.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
24 minveco.r . . . . . 6 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
25 minveco.s . . . . . 6 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
26 minveco.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑌)
27 minveco.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
288, 21, 22, 9, 1, 4, 23, 13, 16, 24, 25, 26, 27minvecolem4a 29819 . . . . 5 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
29 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝐽t 𝑌) = (𝐽t 𝑌)
30 nnuz 12806 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
319fvexi 6856 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ V)
3316mopntop 23793 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
3415, 33syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Top)
35 xmetres2 23714 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
3615, 12, 35syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
37 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
3837mopntopon 23792 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌))
3936, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌))
40 lmcl 22648 . . . . . . . 8 (((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)) → ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ∈ 𝑌)
4139, 28, 40syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ∈ 𝑌)
42 1zzd 12534 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4329, 30, 32, 34, 41, 42, 26lmss 22649 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(𝐽t 𝑌))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
44 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
4544, 16, 37metrest 23880 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝐽t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
4615, 12, 45syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
4746fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → (⇝𝑡‘(𝐽t 𝑌)) = (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
4847breqd 5116 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(𝐽t 𝑌))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
4943, 48bitrd 278 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
5028, 49mpbird 256 . . . 4 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
51 funbrfv 6893 . . . 4 (Fun (⇝𝑡𝐽) → (𝐹(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) → ((⇝𝑡𝐽)‘𝐹) = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
5220, 50, 51sylc 65 . . 3 (𝜑 → ((⇝𝑡𝐽)‘𝐹) = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
5352, 41eqeltrd 2838 . 2 (𝜑 → ((⇝𝑡𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑌)
5412, 53sseldd 3945 1 (𝜑 → ((⇝𝑡𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  ran crn 5634  cres 5635  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  cexp 13967  t crest 17302  ∞Metcxmet 20781  MetOpencmopn 20786  Topctop 22242  TopOnctopon 22259  𝑡clm 22577  Hauscha 22659  NrmCVeccnv 29526  BaseSetcba 29528  𝑣 cnsb 29531  normCVcnmcv 29532  IndMetcims 29533  SubSpcss 29663  CPreHilOLDccphlo 29754  CBanccbn 29804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-ntr 22371  df-nei 22449  df-lm 22580  df-haus 22666  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-cfil 24619  df-cau 24620  df-cmet 24621  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-ssp 29664  df-ph 29755  df-cbn 29805
This theorem is referenced by:  minvecolem4  29822
  Copyright terms: Public domain W3C validator