MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem4b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem4b 29862
Description: Lemma for minveco 29868. The convergent point of the cauchy sequence 𝐹 is a member of the base space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
minveco.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
minveco.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
minveco.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
minveco.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
minveco.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
minveco.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ)
minveco.1 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem4b (πœ‘ β†’ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   πœ‘,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,π‘ˆ   𝑦,π‘Š   𝑛,𝑋   𝑛,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   π‘ˆ(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   π‘Š(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem4b
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
2 phnv 29798 . . . 4 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
4 minveco.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
5 elin 3927 . . . . 5 (π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan) ↔ (π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Š ∈ CBan))
64, 5sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Š ∈ CBan))
76simpld 496 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ))
8 minveco.x . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
9 minveco.y . . . 4 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
10 eqid 2733 . . . 4 (SubSpβ€˜π‘ˆ) = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
118, 9, 10sspba 29711 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
123, 7, 11syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
13 minveco.d . . . . . . . 8 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
148, 13imsxmet 29676 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
153, 14syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
16 minveco.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
1716methaus 23892 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Haus)
1815, 17syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Haus)
19 lmfun 22748 . . . . 5 (𝐽 ∈ Haus β†’ Fun (β‡π‘‘β€˜π½))
2018, 19syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun (β‡π‘‘β€˜π½))
21 minveco.m . . . . . 6 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
22 minveco.n . . . . . 6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
23 minveco.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
24 minveco.r . . . . . 6 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
25 minveco.s . . . . . 6 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
26 minveco.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ)
27 minveco.1 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
288, 21, 22, 9, 1, 4, 23, 13, 16, 24, 25, 26, 27minvecolem4a 29861 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ))
29 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
30 nnuz 12811 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
319fvexi 6857 . . . . . . . 8 π‘Œ ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
3316mopntop 23809 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3415, 33syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
35 xmetres2 23730 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
3615, 12, 35syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
37 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
3837mopntopon 23808 . . . . . . . . 9 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
3936, 38syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
40 lmcl 22664 . . . . . . . 8 (((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ)) β†’ ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ) ∈ π‘Œ)
4139, 28, 40syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ) ∈ π‘Œ)
42 1zzd 12539 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
4329, 30, 32, 34, 41, 42, 26lmss 22665 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ) ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ)))
44 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
4544, 16, 37metrest 23896 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
4615, 12, 45syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
4746fveq2d 6847 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β‡π‘‘β€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ)) = (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
4847breqd 5117 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ) ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ)))
4943, 48bitrd 279 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ) ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ)))
5028, 49mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ))
51 funbrfv 6894 . . . 4 (Fun (β‡π‘‘β€˜π½) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ) β†’ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) = ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ)))
5220, 50, 51sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) = ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ))
5352, 41eqeltrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ π‘Œ)
5412, 53sseldd 3946 1 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636  Fun wfun 6491  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  infcinf 9382  β„cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194   ≀ cle 11195   / cdiv 11817  β„•cn 12158  2c2 12213  β†‘cexp 13973   β†Ύt crest 17307  βˆžMetcxmet 20797  MetOpencmopn 20802  Topctop 22258  TopOnctopon 22275  β‡π‘‘clm 22593  Hauscha 22675  NrmCVeccnv 29568  BaseSetcba 29570   βˆ’π‘£ cnsb 29573  normCVcnmcv 29574  IndMetcims 29575  SubSpcss 29705  CPreHilOLDccphlo 29796  CBanccbn 29846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-rest 17309  df-topgen 17330  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-ntr 22387  df-nei 22465  df-lm 22596  df-haus 22682  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585  df-ssp 29706  df-ph 29797  df-cbn 29847
This theorem is referenced by:  minvecolem4  29864
  Copyright terms: Public domain W3C validator