Theorem minvecolem4b 31537

Description: Lemma for minveco 31543. The convergent point of the Cauchy sequence 𝐹 is a member of the base space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
minveco.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
minvecolem4b	⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝜑,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦, 𝑛)   𝑈(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑊(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem4b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2		phnv 31473	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmCVec)
4		minveco.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
5		elin 4096	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
6	4, 5	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
7	6	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
8		minveco.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
9		minveco.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
11	8, 9, 10	sspba 31386	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
12	3, 7, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
13		minveco.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
14	8, 13	imsxmet 31351	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
15	3, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16		minveco.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
17	16	methaus 24894	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
18	15, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
19		lmfun 23754	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
20	18, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
21		minveco.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
22		minveco.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
23		minveco.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
24		minveco.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
25		minveco.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
26		minveco.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
27		minveco.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
28	8, 21, 22, 9, 1, 4, 23, 13, 16, 24, 25, 26, 27	minvecolem4a 31536	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
29		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑌) = (𝐽 ↾t 𝑌)
30		nnuz 13044	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
31	9	fvexi 6930	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
33	16	mopntop 24814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
34	15, 33	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
35		xmetres2 24735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
36	15, 12, 35	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
37		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
38	37	mopntopon 24813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌))
39	36, 38	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌))
40		lmcl 23670	. . . . . . . 8 ⊢ (((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)) → ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ∈ 𝑌)
41	39, 28, 40	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ∈ 𝑌)
42		1zzd 12767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
43	29, 30, 32, 34, 41, 42, 26	lmss 23671	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑌))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
44		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
45	44, 16, 37	metrest 24898	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
46	15, 12, 45	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
47	46	fveq2d 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑌)) = (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
48	47	breqd 5119	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑌))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
49	43, 48	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
50	28, 49	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
51		funbrfv 6964	. . . 4 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘𝐽) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
52	20, 50, 51	sylc 66	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
53	52, 41	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑌)
54	12, 53	sseldd 3914	1 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192   × cxp 5656  ran crn 5659   ↾ cres 5660  Fun wfun 6560  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  infcinf 9470  ℝcr 11238  1c1 11240   + caddc 11242   < clt 11382   ≤ cle 11383   / cdiv 12013  ℕcn 12375  2c2 12437  ↑cexp 14244   ↾_t crest 17641  ∞Metcxmet 21714  MetOpencmopn 21719  Topctop 23266  TopOnctopon 23283  ⇝_𝑡clm 23599  Hauscha 23681  NrmCVeccnv 31243  BaseSetcba 31245   −_𝑣 cnsb 31248  norm_CVcnmcv 31249  IndMetcims 31250  SubSpcss 31380  CPreHil_OLDccphlo 31471  CBanccbn 31521

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-rest 17643  df-topgen 17664  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-top 23267  df-topon 23284  df-bases 23319  df-ntr 23393  df-nei 23471  df-lm 23602  df-haus 23688  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-cfil 25631  df-cau 25632  df-cmet 25633  df-grpo 31152  df-gid 31153  df-ginv 31154  df-gdiv 31155  df-ablo 31204  df-vc 31218  df-nv 31251  df-va 31254  df-ba 31255  df-sm 31256  df-0v 31257  df-vs 31258  df-nmcv 31259  df-ims 31260  df-ssp 31381  df-ph 31472  df-cbn 31522

This theorem is used by:  minvecolem4  31539