Theorem minvecolem4b 30780

Description: Lemma for minveco 30786. The convergent point of the Cauchy sequence 𝐹 is a member of the base space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
minveco.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
minvecolem4b	⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝜑,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑈(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑊(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem4b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2		phnv 30716	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmCVec)
4		minveco.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
5		elin 3927	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
6	4, 5	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
7	6	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
8		minveco.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
9		minveco.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
10		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
11	8, 9, 10	sspba 30629	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
12	3, 7, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
13		minveco.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
14	8, 13	imsxmet 30594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
15	3, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16		minveco.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
17	16	methaus 24384	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
18	15, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
19		lmfun 23244	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
21		minveco.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
22		minveco.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
23		minveco.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
24		minveco.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
25		minveco.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
26		minveco.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
27		minveco.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
28	8, 21, 22, 9, 1, 4, 23, 13, 16, 24, 25, 26, 27	minvecolem4a 30779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
29		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑌) = (𝐽 ↾t 𝑌)
30		nnuz 12812	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
31	9	fvexi 6854	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
33	16	mopntop 24304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
34	15, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
35		xmetres2 24225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
36	15, 12, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
37		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
38	37	mopntopon 24303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌))
39	36, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌))
40		lmcl 23160	. . . . . . . 8 ⊢ (((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)) → ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ∈ 𝑌)
41	39, 28, 40	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ∈ 𝑌)
42		1zzd 12540	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
43	29, 30, 32, 34, 41, 42, 26	lmss 23161	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑌))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
44		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
45	44, 16, 37	metrest 24388	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
46	15, 12, 45	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
47	46	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑌)) = (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
48	47	breqd 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑌))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
49	43, 48	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
50	28, 49	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
51		funbrfv 6891	. . . 4 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘𝐽) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
52	20, 50, 51	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
53	52, 41	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑌)
54	12, 53	sseldd 3944	1 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   × cxp 5629  ran crn 5632   ↾ cres 5633  Fun wfun 6493  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  infcinf 9368  ℝcr 11043  1c1 11045   + caddc 11047   < clt 11184   ≤ cle 11185   / cdiv 11811  ℕcn 12162  2c2 12217  ↑cexp 14002   ↾_t crest 17359  ∞Metcxmet 21225  MetOpencmopn 21230  Topctop 22756  TopOnctopon 22773  ⇝_𝑡clm 23089  Hauscha 23171  NrmCVeccnv 30486  BaseSetcba 30488   −_𝑣 cnsb 30491  norm_CVcnmcv 30492  IndMetcims 30493  SubSpcss 30623  CPreHil_OLDccphlo 30714  CBanccbn 30764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-rest 17361  df-topgen 17382  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-top 22757  df-topon 22774  df-bases 22809  df-ntr 22883  df-nei 22961  df-lm 23092  df-haus 23178  df-fil 23709  df-fm 23801  df-flim 23802  df-flf 23803  df-cfil 25131  df-cau 25132  df-cmet 25133  df-grpo 30395  df-gid 30396  df-ginv 30397  df-gdiv 30398  df-ablo 30447  df-vc 30461  df-nv 30494  df-va 30497  df-ba 30498  df-sm 30499  df-0v 30500  df-vs 30501  df-nmcv 30502  df-ims 30503  df-ssp 30624  df-ph 30715  df-cbn 30765

This theorem is referenced by:  minvecolem4  30782