MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem4b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem4b 30907
Description: Lemma for minveco 30913. The convergent point of the Cauchy sequence 𝐹 is a member of the base space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑌)
minveco.1 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem4b (𝜑 → ((⇝𝑡𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝜑,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑈(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑊(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem4b
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2 phnv 30843 . . . 4 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
4 minveco.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
5 elin 3979 . . . . 5 (𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
64, 5sylib 218 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
76simpld 494 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
8 minveco.x . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
9 minveco.y . . . 4 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
10 eqid 2735 . . . 4 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
118, 9, 10sspba 30756 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌𝑋)
123, 7, 11syl2anc 584 . 2 (𝜑𝑌𝑋)
13 minveco.d . . . . . . . 8 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
148, 13imsxmet 30721 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
153, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16 minveco.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
1716methaus 24549 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
1815, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Haus)
19 lmfun 23405 . . . . 5 (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡𝐽))
2018, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun (⇝𝑡𝐽))
21 minveco.m . . . . . 6 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
22 minveco.n . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑈)
23 minveco.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
24 minveco.r . . . . . 6 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
25 minveco.s . . . . . 6 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
26 minveco.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑌)
27 minveco.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
288, 21, 22, 9, 1, 4, 23, 13, 16, 24, 25, 26, 27minvecolem4a 30906 . . . . 5 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
29 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝐽t 𝑌) = (𝐽t 𝑌)
30 nnuz 12919 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
319fvexi 6921 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ V)
3316mopntop 24466 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
3415, 33syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Top)
35 xmetres2 24387 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
3615, 12, 35syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
37 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
3837mopntopon 24465 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌))
3936, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌))
40 lmcl 23321 . . . . . . . 8 (((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)) → ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ∈ 𝑌)
4139, 28, 40syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ∈ 𝑌)
42 1zzd 12646 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4329, 30, 32, 34, 41, 42, 26lmss 23322 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(𝐽t 𝑌))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
44 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
4544, 16, 37metrest 24553 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝐽t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
4615, 12, 45syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
4746fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝜑 → (⇝𝑡‘(𝐽t 𝑌)) = (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
4847breqd 5159 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(𝐽t 𝑌))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
4943, 48bitrd 279 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
5028, 49mpbird 257 . . . 4 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
51 funbrfv 6958 . . . 4 (Fun (⇝𝑡𝐽) → (𝐹(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) → ((⇝𝑡𝐽)‘𝐹) = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
5220, 50, 51sylc 65 . . 3 (𝜑 → ((⇝𝑡𝐽)‘𝐹) = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
5352, 41eqeltrd 2839 . 2 (𝜑 → ((⇝𝑡𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑌)
5412, 53sseldd 3996 1 (𝜑 → ((⇝𝑡𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5687  ran crn 5690  cres 5691  Fun wfun 6557  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  infcinf 9479  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  cexp 14099  t crest 17467  ∞Metcxmet 21367  MetOpencmopn 21372  Topctop 22915  TopOnctopon 22932  𝑡clm 23250  Hauscha 23332  NrmCVeccnv 30613  BaseSetcba 30615  𝑣 cnsb 30618  normCVcnmcv 30619  IndMetcims 30620  SubSpcss 30750  CPreHilOLDccphlo 30841  CBanccbn 30891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-ntr 23044  df-nei 23122  df-lm 23253  df-haus 23339  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-ssp 30751  df-ph 30842  df-cbn 30892
This theorem is referenced by:  minvecolem4  30909
  Copyright terms: Public domain W3C validator