Theorem minvecolem4b 31492

Description: Lemma for minveco 31498. The convergent point of the Cauchy sequence 𝐹 is a member of the base space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
minveco.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
minvecolem4b	⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝜑,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦, 𝑛)   𝑈(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑊(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem4b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2		phnv 31428	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmCVec)
4		minveco.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
5		elin 4095	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
6	4, 5	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
7	6	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
8		minveco.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
9		minveco.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
11	8, 9, 10	sspba 31341	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
12	3, 7, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
13		minveco.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
14	8, 13	imsxmet 31306	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
15	3, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16		minveco.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
17	16	methaus 24851	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
18	15, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
19		lmfun 23711	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
20	18, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
21		minveco.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
22		minveco.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
23		minveco.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
24		minveco.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
25		minveco.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
26		minveco.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
27		minveco.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
28	8, 21, 22, 9, 1, 4, 23, 13, 16, 24, 25, 26, 27	minvecolem4a 31491	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
29		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑌) = (𝐽 ↾t 𝑌)
30		nnuz 13014	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
31	9	fvexi 6907	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
33	16	mopntop 24771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
34	15, 33	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
35		xmetres2 24692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
36	15, 12, 35	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
37		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
38	37	mopntopon 24770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌))
39	36, 38	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌))
40		lmcl 23627	. . . . . . . 8 ⊢ (((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)) → ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ∈ 𝑌)
41	39, 28, 40	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ∈ 𝑌)
42		1zzd 12737	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
43	29, 30, 32, 34, 41, 42, 26	lmss 23628	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑌))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
44		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
45	44, 16, 37	metrest 24855	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
46	15, 12, 45	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
47	46	fveq2d 6897	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑌)) = (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
48	47	breqd 5116	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑌))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
49	43, 48	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
50	28, 49	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
51		funbrfv 6941	. . . 4 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘𝐽) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
52	20, 50, 51	sylc 66	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
53	52, 41	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑌)
54	12, 53	sseldd 3913	1 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453   ⊆ wss 3899   ∩ cin 4091   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   × cxp 5652  ran crn 5655   ↾ cres 5656  Fun wfun 6540  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  infcinf 9443  ℝcr 11209  1c1 11211   + caddc 11213   < clt 11353   ≤ cle 11354   / cdiv 11983  ℕcn 12345  2c2 12407  ↑cexp 14214   ↾_t crest 17603  ∞Metcxmet 21675  MetOpencmopn 21680  Topctop 23223  TopOnctopon 23240  ⇝_𝑡clm 23556  Hauscha 23638  NrmCVeccnv 31198  BaseSetcba 31200   −_𝑣 cnsb 31203  norm_CVcnmcv 31204  IndMetcims 31205  SubSpcss 31335  CPreHil_OLDccphlo 31426  CBanccbn 31476

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288  ax-addf 11289  ax-mulf 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-map 8860  df-pm 8861  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9413  df-sup 9444  df-inf 9445  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-q 13086  df-rp 13131  df-xneg 13251  df-xadd 13252  df-xmul 13253  df-ico 13492  df-icc 13493  df-fl 13942  df-seq 14155  df-exp 14215  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-rest 17605  df-topgen 17626  df-psmet 21682  df-xmet 21683  df-met 21684  df-bl 21685  df-mopn 21686  df-fbas 21687  df-fg 21688  df-top 23224  df-topon 23241  df-bases 23276  df-ntr 23350  df-nei 23428  df-lm 23559  df-haus 23645  df-fil 24177  df-fm 24269  df-flim 24270  df-flf 24271  df-cfil 25588  df-cau 25589  df-cmet 25590  df-grpo 31107  df-gid 31108  df-ginv 31109  df-gdiv 31110  df-ablo 31159  df-vc 31173  df-nv 31206  df-va 31209  df-ba 31210  df-sm 31211  df-0v 31212  df-vs 31213  df-nmcv 31214  df-ims 31215  df-ssp 31336  df-ph 31427  df-cbn 31477

This theorem is used by:  minvecolem4  31494