MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem4b Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem minvecolem4b 30118
Description: Lemma for minveco 30124. The convergent point of the cauchy sequence 𝐹 is a member of the base space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
minveco.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
minveco.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
minveco.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
minveco.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
minveco.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
minveco.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ)
minveco.1 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem4b (πœ‘ β†’ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   πœ‘,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,π‘ˆ   𝑦,π‘Š   𝑛,𝑋   𝑛,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   π‘ˆ(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   π‘Š(𝑛)   𝑋(𝑦)
Proof of Theorem minvecolem4b
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
2 phnv 30054 . . . 4 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
4 minveco.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
5 elin 3963 . . . . 5 (π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan) ↔ (π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Š ∈ CBan))
64, 5sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Š ∈ CBan))
76simpld 495 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ))
8 minveco.x . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
9 minveco.y . . . 4 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
10 eqid 2732 . . . 4 (SubSpβ€˜π‘ˆ) = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
118, 9, 10sspba 29967 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
123, 7, 11syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
13 minveco.d . . . . . . . 8 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
148, 13imsxmet 29932 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
153, 14syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
16 minveco.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
1716methaus 24020 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Haus)
1815, 17syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Haus)
19 lmfun 22876 . . . . 5 (𝐽 ∈ Haus β†’ Fun (β‡π‘‘β€˜π½))
2018, 19syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun (β‡π‘‘β€˜π½))
21 minveco.m . . . . . 6 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
22 minveco.n . . . . . 6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
23 minveco.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
24 minveco.r . . . . . 6 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
25 minveco.s . . . . . 6 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
26 minveco.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ)
27 minveco.1 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
288, 21, 22, 9, 1, 4, 23, 13, 16, 24, 25, 26, 27minvecolem4a 30117 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ))
29 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
30 nnuz 12861 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
319fvexi 6902 . . . . . . . 8 π‘Œ ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
3316mopntop 23937 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3415, 33syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
35 xmetres2 23858 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
3615, 12, 35syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
37 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
3837mopntopon 23936 . . . . . . . . 9 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
3936, 38syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
40 lmcl 22792 . . . . . . . 8 (((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ)) β†’ ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ) ∈ π‘Œ)
4139, 28, 40syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ) ∈ π‘Œ)
42 1zzd 12589 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
4329, 30, 32, 34, 41, 42, 26lmss 22793 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ) ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ)))
44 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
4544, 16, 37metrest 24024 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
4615, 12, 45syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
4746fveq2d 6892 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β‡π‘‘β€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ)) = (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
4847breqd 5158 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ) ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ)))
4943, 48bitrd 278 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ) ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ)))
5028, 49mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ))
51 funbrfv 6939 . . . 4 (Fun (β‡π‘‘β€˜π½) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ) β†’ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) = ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ)))
5220, 50, 51sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) = ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ))
5352, 41eqeltrd 2833 . 2 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ π‘Œ)
5412, 53sseldd 3982 1 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677  Fun wfun 6534  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  infcinf 9432  β„cr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   ≀ cle 11245   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  β†‘cexp 14023   β†Ύt crest 17362  βˆžMetcxmet 20921  MetOpencmopn 20926  Topctop 22386  TopOnctopon 22403  β‡π‘‘clm 22721  Hauscha 22803  NrmCVeccnv 29824  BaseSetcba 29826   βˆ’π‘£ cnsb 29829  normCVcnmcv 29830  IndMetcims 29831  SubSpcss 29961  CPreHilOLDccphlo 30052  CBanccbn 30102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-ntr 22515  df-nei 22593  df-lm 22724  df-haus 22810  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-cfil 24763  df-cau 24764  df-cmet 24765  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-ssp 29962  df-ph 30053  df-cbn 30103
This theorem is referenced by:  minvecolem4  30120
  Copyright terms: Public domain W3C validator