Theorem iitopon 24846

Description: The unit interval is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iitopon	⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))

Proof of Theorem iitopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnxmet 24737	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2		unitssre 13452	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
3		ax-resscn 11095	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4	2, 3	sstri 3931	. . 3 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
5		xmetres2 24326	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1)))
6	1, 4, 5	mp2an 693	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1))
7		df-ii 24844	. . 3 ⊢ II = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))
8	7	mopntopon 24404	. 2 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1)) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
9	6, 8	ax-mp 5	1 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889   × cxp 5629   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   − cmin 11377  [,]cicc 13301  abscabs 15196  ∞Metcxmet 21337  TopOnctopon 22875  IIcii 24842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-icc 13305  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-topgen 17406  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-top 22859  df-topon 22876  df-bases 22911  df-ii 24844

This theorem is referenced by:  iitop  24847  iiuni  24848  icchmeo  24908  htpycom  24943  htpyid  24944  htpyco1  24945  htpyco2  24946  htpycc  24947  phtpycn  24950  phtpy01  24952  isphtpy2d  24954  phtpycom  24955  phtpyid  24956  phtpyco2  24957  phtpycc  24958  reparphti  24964  pcocn  24984  pcohtpylem  24986  pcoptcl  24988  pcopt  24989  pcopt2  24990  pcoass  24991  pcorevcl  24992  pcorevlem  24993  pi1xfrf  25020  pi1xfr  25022  pi1xfrcnvlem  25023  pi1xfrcnv  25024  pi1cof  25026  pi1coghm  25028  xrge0pluscn  34084  ptpconn  35415  indispconn  35416  connpconn  35417  txsconnlem  35422  txsconn  35423  cvxsconn  35425  cvmliftlem8  35474  cvmlift2lem2  35486  cvmlift2lem3  35487  cvmlift2lem6  35490  cvmlift2lem9  35493  cvmlift2lem11  35495  cvmlift2lem12  35496  cvmliftphtlem  35499  cvmlift3lem6  35506  cvmlift3lem9  35509