Theorem iitopon 24856

Description: The unit interval is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iitopon	⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))

Proof of Theorem iitopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnxmet 24747	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2		unitssre 13443	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
3		ax-resscn 11086	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4	2, 3	sstri 3932	. . 3 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
5		xmetres2 24336	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1)))
6	1, 4, 5	mp2an 693	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1))
7		df-ii 24854	. . 3 ⊢ II = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))
8	7	mopntopon 24414	. 2 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1)) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
9	6, 8	ax-mp 5	1 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   × cxp 5622   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   − cmin 11368  [,]cicc 13292  abscabs 15187  ∞Metcxmet 21329  TopOnctopon 22885  IIcii 24852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-icc 13296  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-topgen 17397  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-top 22869  df-topon 22886  df-bases 22921  df-ii 24854

This theorem is referenced by:  iitop  24857  iiuni  24858  icchmeo  24918  htpycom  24953  htpyid  24954  htpyco1  24955  htpyco2  24956  htpycc  24957  phtpycn  24960  phtpy01  24962  isphtpy2d  24964  phtpycom  24965  phtpyid  24966  phtpyco2  24967  phtpycc  24968  reparphti  24974  pcocn  24994  pcohtpylem  24996  pcoptcl  24998  pcopt  24999  pcopt2  25000  pcoass  25001  pcorevcl  25002  pcorevlem  25003  pi1xfrf  25030  pi1xfr  25032  pi1xfrcnvlem  25033  pi1xfrcnv  25034  pi1cof  25036  pi1coghm  25038  xrge0pluscn  34100  ptpconn  35431  indispconn  35432  connpconn  35433  txsconnlem  35438  txsconn  35439  cvxsconn  35441  cvmliftlem8  35490  cvmlift2lem2  35502  cvmlift2lem3  35503  cvmlift2lem6  35506  cvmlift2lem9  35509  cvmlift2lem11  35511  cvmlift2lem12  35512  cvmliftphtlem  35515  cvmlift3lem6  35522  cvmlift3lem9  35525