Theorem iitopon 24750

Description: The unit interval is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iitopon	⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))

Proof of Theorem iitopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnxmet 24640	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2		unitssre 13479	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
3		ax-resscn 11166	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4	2, 3	sstri 3986	. . 3 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
5		xmetres2 24218	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1)))
6	1, 4, 5	mp2an 689	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1))
7		df-ii 24748	. . 3 ⊢ II = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))
8	7	mopntopon 24296	. 2 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1)) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
9	6, 8	ax-mp 5	1 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))

Syntax hints:   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943   × cxp 5667   ↾ cres 5671   ∘ ccom 5673  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   − cmin 11445  [,]cicc 13330  abscabs 15185  ∞Metcxmet 21221  TopOnctopon 22763  IIcii 24746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-icc 13334  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-topgen 17396  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-top 22747  df-topon 22764  df-bases 22800  df-ii 24748

This theorem is referenced by:  iitop  24751  iiuni  24752  icchmeo  24816  icchmeoOLD  24817  htpycom  24853  htpyid  24854  htpyco1  24855  htpyco2  24856  htpycc  24857  phtpycn  24860  phtpy01  24862  isphtpy2d  24864  phtpycom  24865  phtpyid  24866  phtpyco2  24867  phtpycc  24868  reparphti  24874  reparphtiOLD  24875  pcocn  24895  pcohtpylem  24897  pcoptcl  24899  pcopt  24900  pcopt2  24901  pcoass  24902  pcorevcl  24903  pcorevlem  24904  pi1xfrf  24931  pi1xfr  24933  pi1xfrcnvlem  24934  pi1xfrcnv  24935  pi1cof  24937  pi1coghm  24939  xrge0pluscn  33450  ptpconn  34752  indispconn  34753  connpconn  34754  txsconnlem  34759  txsconn  34760  cvxsconn  34762  cvmliftlem8  34811  cvmlift2lem2  34823  cvmlift2lem3  34824  cvmlift2lem6  34827  cvmlift2lem9  34830  cvmlift2lem11  34832  cvmlift2lem12  34833  cvmliftphtlem  34836  cvmlift3lem6  34843  cvmlift3lem9  34846