Theorem iitopon 24788

Description: The unit interval is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iitopon	⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))

Proof of Theorem iitopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnxmet 24676	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2		unitssre 13420	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
3		ax-resscn 11085	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4	2, 3	sstri 3947	. . 3 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
5		xmetres2 24265	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1)))
6	1, 4, 5	mp2an 692	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1))
7		df-ii 24786	. . 3 ⊢ II = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))
8	7	mopntopon 24343	. 2 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1)) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
9	6, 8	ax-mp 5	1 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905   × cxp 5621   ↾ cres 5625   ∘ ccom 5627  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   − cmin 11365  [,]cicc 13269  abscabs 15159  ∞Metcxmet 21264  TopOnctopon 22813  IIcii 24784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-icc 13273  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-topgen 17365  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22797  df-topon 22814  df-bases 22849  df-ii 24786

This theorem is referenced by:  iitop  24789  iiuni  24790  icchmeo  24854  icchmeoOLD  24855  htpycom  24891  htpyid  24892  htpyco1  24893  htpyco2  24894  htpycc  24895  phtpycn  24898  phtpy01  24900  isphtpy2d  24902  phtpycom  24903  phtpyid  24904  phtpyco2  24905  phtpycc  24906  reparphti  24912  reparphtiOLD  24913  pcocn  24933  pcohtpylem  24935  pcoptcl  24937  pcopt  24938  pcopt2  24939  pcoass  24940  pcorevcl  24941  pcorevlem  24942  pi1xfrf  24969  pi1xfr  24971  pi1xfrcnvlem  24972  pi1xfrcnv  24973  pi1cof  24975  pi1coghm  24977  xrge0pluscn  33906  ptpconn  35205  indispconn  35206  connpconn  35207  txsconnlem  35212  txsconn  35213  cvxsconn  35215  cvmliftlem8  35264  cvmlift2lem2  35276  cvmlift2lem3  35277  cvmlift2lem6  35280  cvmlift2lem9  35283  cvmlift2lem11  35285  cvmlift2lem12  35286  cvmliftphtlem  35289  cvmlift3lem6  35296  cvmlift3lem9  35299