Theorem iitopon 25205

Description: The unit interval is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iitopon	⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))

Proof of Theorem iitopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnxmet 25096	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2		unitsscn 13634	. . 3 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
3		xmetres2 24685	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1)))
4	1, 2, 3	mp2an 705	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1))
5		df-ii 25203	. . 3 ⊢ II = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))
6	5	mopntopon 24763	. 2 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1)) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
7	4, 6	ax-mp 5	1 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   × cxp 5648   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203  1c1 11204   − cmin 11544  [,]cicc 13482  abscabs 15406  ∞Metcxmet 21668  TopOnctopon 23233  IIcii 25201

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-icc 13486  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-topgen 17619  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-top 23217  df-topon 23234  df-bases 23269  df-ii 25203

This theorem is used by:  iitop  25206  iiuni  25207  icchmeo  25267  htpycom  25302  htpyid  25303  htpyco1  25304  htpyco2  25305  htpycc  25306  phtpycn  25309  phtpy01  25311  isphtpy2d  25313  phtpycom  25314  phtpyid  25315  phtpyco2  25316  phtpycc  25317  reparphti  25323  pcocn  25343  pcohtpylem  25345  pcoptcl  25347  pcopt  25348  pcopt2  25349  pcoass  25350  pcorevcl  25351  pcorevlem  25352  pi1xfrf  25379  pi1xfr  25381  pi1xfrcnvlem  25382  pi1xfrcnv  25383  pi1cof  25385  pi1coghm  25387  xrge0pluscn  34618  ptpconn  36084  indispconn  36085  connpconn  36086  txsconnlem  36091  txsconn  36092  cvxsconn  36094  cvmliftlem8  36143  cvmlift2lem2  36155  cvmlift2lem3  36156  cvmlift2lem6  36159  cvmlift2lem9  36162  cvmlift2lem11  36164  cvmlift2lem12  36165  cvmliftphtlem  36168  cvmlift3lem6  36175  cvmlift3lem9  36178