MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iitopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iitopon 24188
Description: The unit interval is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iitopon II ∈ (TopOn‘(0[,]1))

Proof of Theorem iitopon
StepHypRef Expression
1 cnxmet 24082 . . 3 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2 unitssre 13370 . . . 4 (0[,]1) ⊆ ℝ
3 ax-resscn 11066 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
42, 3sstri 3951 . . 3 (0[,]1) ⊆ ℂ
5 xmetres2 23660 . . 3 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1)))
61, 4, 5mp2an 690 . 2 ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1))
7 df-ii 24186 . . 3 II = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))
87mopntopon 23738 . 2 (((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1)) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
96, 8ax-mp 5 1 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2106  wss 3908   × cxp 5629  cres 5633  ccom 5635  cfv 6493  (class class class)co 7351  cc 11007  cr 11008  0cc0 11009  1c1 11010  cmin 11343  [,]cicc 13221  abscabs 15073  ∞Metcxmet 20728  TopOnctopon 22205  IIcii 24184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-icc 13225  df-seq 13861  df-exp 13922  df-cj 14938  df-re 14939  df-im 14940  df-sqrt 15074  df-abs 15075  df-topgen 17279  df-psmet 20735  df-xmet 20736  df-met 20737  df-bl 20738  df-mopn 20739  df-top 22189  df-topon 22206  df-bases 22242  df-ii 24186
This theorem is referenced by:  iitop  24189  iiuni  24190  icchmeo  24250  htpycom  24285  htpyid  24286  htpyco1  24287  htpyco2  24288  htpycc  24289  phtpycn  24292  phtpy01  24294  isphtpy2d  24296  phtpycom  24297  phtpyid  24298  phtpyco2  24299  phtpycc  24300  reparphti  24306  pcocn  24326  pcohtpylem  24328  pcoptcl  24330  pcopt  24331  pcopt2  24332  pcoass  24333  pcorevcl  24334  pcorevlem  24335  pi1xfrf  24362  pi1xfr  24364  pi1xfrcnvlem  24365  pi1xfrcnv  24366  pi1cof  24368  pi1coghm  24370  xrge0pluscn  32349  ptpconn  33655  indispconn  33656  connpconn  33657  txsconnlem  33662  txsconn  33663  cvxsconn  33665  cvmliftlem8  33714  cvmlift2lem2  33726  cvmlift2lem3  33727  cvmlift2lem6  33730  cvmlift2lem9  33733  cvmlift2lem11  33735  cvmlift2lem12  33736  cvmliftphtlem  33739  cvmlift3lem6  33746  cvmlift3lem9  33749
  Copyright terms: Public domain W3C validator