Theorem iitopon 24828

Description: The unit interval is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iitopon	⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))

Proof of Theorem iitopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnxmet 24716	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2		unitssre 13415	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
3		ax-resscn 11083	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4	2, 3	sstri 3943	. . 3 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
5		xmetres2 24305	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1)))
6	1, 4, 5	mp2an 692	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1))
7		df-ii 24826	. . 3 ⊢ II = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))
8	7	mopntopon 24383	. 2 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1)) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
9	6, 8	ax-mp 5	1 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901   × cxp 5622   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   − cmin 11364  [,]cicc 13264  abscabs 15157  ∞Metcxmet 21294  TopOnctopon 22854  IIcii 24824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-icc 13268  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-topgen 17363  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-top 22838  df-topon 22855  df-bases 22890  df-ii 24826

This theorem is referenced by:  iitop  24829  iiuni  24830  icchmeo  24894  icchmeoOLD  24895  htpycom  24931  htpyid  24932  htpyco1  24933  htpyco2  24934  htpycc  24935  phtpycn  24938  phtpy01  24940  isphtpy2d  24942  phtpycom  24943  phtpyid  24944  phtpyco2  24945  phtpycc  24946  reparphti  24952  reparphtiOLD  24953  pcocn  24973  pcohtpylem  24975  pcoptcl  24977  pcopt  24978  pcopt2  24979  pcoass  24980  pcorevcl  24981  pcorevlem  24982  pi1xfrf  25009  pi1xfr  25011  pi1xfrcnvlem  25012  pi1xfrcnv  25013  pi1cof  25015  pi1coghm  25017  xrge0pluscn  34097  ptpconn  35427  indispconn  35428  connpconn  35429  txsconnlem  35434  txsconn  35435  cvxsconn  35437  cvmliftlem8  35486  cvmlift2lem2  35498  cvmlift2lem3  35499  cvmlift2lem6  35502  cvmlift2lem9  35505  cvmlift2lem11  35507  cvmlift2lem12  35508  cvmliftphtlem  35511  cvmlift3lem6  35518  cvmlift3lem9  35521