Theorem iitopon 25113

Description: The unit interval is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iitopon	⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))

Proof of Theorem iitopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnxmet 25004	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2		unitssre 13556	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
3		ax-resscn 11185	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4	2, 3	sstri 3943	. . 3 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
5		xmetres2 24593	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1)))
6	1, 4, 5	mp2an 705	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1))
7		df-ii 25111	. . 3 ⊢ II = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))
8	7	mopntopon 24671	. 2 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1)) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
9	6, 8	ax-mp 5	1 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902   × cxp 5657   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   − cmin 11469  [,]cicc 13405  abscabs 15325  ∞Metcxmet 21576  TopOnctopon 23141  IIcii 25109

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-icc 13409  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-topgen 17534  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-top 23125  df-topon 23142  df-bases 23177  df-ii 25111

This theorem is used by:  iitop  25114  iiuni  25115  icchmeo  25175  htpycom  25210  htpyid  25211  htpyco1  25212  htpyco2  25213  htpycc  25214  phtpycn  25217  phtpy01  25219  isphtpy2d  25221  phtpycom  25222  phtpyid  25223  phtpyco2  25224  phtpycc  25225  reparphti  25231  pcocn  25251  pcohtpylem  25253  pcoptcl  25255  pcopt  25256  pcopt2  25257  pcoass  25258  pcorevcl  25259  pcorevlem  25260  pi1xfrf  25287  pi1xfr  25289  pi1xfrcnvlem  25290  pi1xfrcnv  25291  pi1cof  25293  pi1coghm  25295  xrge0pluscn  34458  ptpconn  35820  indispconn  35821  connpconn  35822  txsconnlem  35827  txsconn  35828  cvxsconn  35830  cvmliftlem8  35879  cvmlift2lem2  35891  cvmlift2lem3  35892  cvmlift2lem6  35895  cvmlift2lem9  35898  cvmlift2lem11  35900  cvmlift2lem12  35901  cvmliftphtlem  35904  cvmlift3lem6  35911  cvmlift3lem9  35914