Theorem nmoi2 24868

Description: The operator norm is a bound on the growth of a vector under the action of the operator. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoi2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
nmoi2	⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹))

Proof of Theorem nmoi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
2		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
3		nmoi.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
4		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
5	3, 4	ghmf 19291	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
6	2, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
7		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	6, 7	ffvelcdmd 7082	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
9		nmoi.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
10	4, 9	nmcl 24754	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
11	1, 8, 10	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
12	11	rexrd 11260	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ*)
13		nmofval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
14	13	nmocl 24858	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
15	14	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
16		nmoi.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
17		nmoi2.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
18	3, 16, 17	nmrpcl 24758	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
19	18	3expb 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
20	19	3ad2antl1 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
21	20	rpxrd 13062	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ*)
22	15, 21	xmulcld 13329	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ*)
23	20	rpreccld 13071	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ+)
24	23	rpxrd 13062	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ*)
25	23	rpge0d 13065	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝑋)))
26	24, 25	jca 520	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝑋))))
27	13, 3, 16, 9	nmoix 24867	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)))
28	27	adantrr 729	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)))
29		xlemul1a 13315	. . 3 ⊢ ((((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ ((1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝑋)))) ∧ (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋))) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) ≤ (((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))))
30	12, 22, 26, 28, 29	syl31anc 1400	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) ≤ (((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))))
31	23	rpred 13061	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ)
32		rexmul 13298	. . . 4 ⊢ (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) · (1 / (𝐿‘𝑋))))
33	11, 31, 32	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) · (1 / (𝐿‘𝑋))))
34	11	recnd 11238	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℂ)
35	20	rpcnd 13063	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℂ)
36	20	rpne0d 13066	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ≠ 0)
37	34, 35, 36	divrecd 11995	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) = ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) · (1 / (𝐿‘𝑋))))
38	33, 37	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)))
39		xmulass 13314	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ*) → (((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝑁‘𝐹) ·e ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋)))))
40	15, 21, 24, 39	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝑁‘𝐹) ·e ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋)))))
41	20	rpred 13061	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ)
42		rexmul 13298	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ) → ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝐿‘𝑋) · (1 / (𝐿‘𝑋))))
43	41, 31, 42	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝐿‘𝑋) · (1 / (𝐿‘𝑋))))
44	35, 36	recidd 11987	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝐿‘𝑋) · (1 / (𝐿‘𝑋))) = 1)
45	43, 44	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = 1)
46	45	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑁‘𝐹) ·e ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋)))) = ((𝑁‘𝐹) ·e 1))
47		xmulrid 13306	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* → ((𝑁‘𝐹) ·e 1) = (𝑁‘𝐹))
48	15, 47	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑁‘𝐹) ·e 1) = (𝑁‘𝐹))
49	40, 46, 48	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = (𝑁‘𝐹))
50	30, 38, 49	3brtr3d 5143	1 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   · cmul 11106  ℝ^*cxr 11243   ≤ cle 11245   / cdiv 11872  ℝ⁺crp 13017   ·_e cxmu 13137  Basecbs 17270  0_gc0g 17493   GrpHom cghm 19284  normcnm 24714  NrmGrpcngp 24715   normOp cnmo 24843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ico 13379  df-0g 17495  df-topgen 17497  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-ghm 19285  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-xms 24458  df-ms 24459  df-nm 24720  df-ngp 24721  df-nmo 24846  df-nghm 24847

This theorem is referenced by:  nmoleub  24869