MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoi2 24751
Description: The operator norm is a bound on the growth of a vector under the action of the operator. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoi2.z 0 = (0g𝑆)
Assertion
Ref Expression
nmoi2 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ (𝑁𝐹))

Proof of Theorem nmoi2
StepHypRef Expression
1 simpl2 1193 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
2 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
3 nmoi.2 . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑆)
4 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
53, 4ghmf 19238 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
62, 5syl 17 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
7 simprl 771 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → 𝑋𝑉)
86, 7ffvelcdmd 7105 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
9 nmoi.4 . . . . . 6 𝑀 = (norm‘𝑇)
104, 9nmcl 24629 . . . . 5 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
111, 8, 10syl2anc 584 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
1211rexrd 11311 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ*)
13 nmofval.1 . . . . . 6 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
1413nmocl 24741 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
1514adantr 480 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
16 nmoi.3 . . . . . . . 8 𝐿 = (norm‘𝑆)
17 nmoi2.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑆)
183, 16, 17nmrpcl 24633 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
19183expb 1121 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
20193ad2antl1 1186 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
2120rpxrd 13078 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ*)
2215, 21xmulcld 13344 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) ∈ ℝ*)
2320rpreccld 13087 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ+)
2423rpxrd 13078 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ*)
2523rpge0d 13081 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → 0 ≤ (1 / (𝐿𝑋)))
2624, 25jca 511 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿𝑋))))
2713, 3, 16, 9nmoix 24750 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)))
2827adantrr 717 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)))
29 xlemul1a 13330 . . 3 ((((𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) ∈ ℝ* ∧ ((1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿𝑋)))) ∧ (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋))) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) ≤ (((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))))
3012, 22, 26, 28, 29syl31anc 1375 . 2 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) ≤ (((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))))
3123rpred 13077 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ)
32 rexmul 13313 . . . 4 (((𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = ((𝑀‘(𝐹𝑋)) · (1 / (𝐿𝑋))))
3311, 31, 32syl2anc 584 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = ((𝑀‘(𝐹𝑋)) · (1 / (𝐿𝑋))))
3411recnd 11289 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℂ)
3520rpcnd 13079 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝐿𝑋) ∈ ℂ)
3620rpne0d 13082 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝐿𝑋) ≠ 0)
3734, 35, 36divrecd 12046 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) = ((𝑀‘(𝐹𝑋)) · (1 / (𝐿𝑋))))
3833, 37eqtr4d 2780 . 2 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)))
39 xmulass 13329 . . . 4 (((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐿𝑋) ∈ ℝ* ∧ (1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ*) → (((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = ((𝑁𝐹) ·e ((𝐿𝑋) ·e (1 / (𝐿𝑋)))))
4015, 21, 24, 39syl3anc 1373 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = ((𝑁𝐹) ·e ((𝐿𝑋) ·e (1 / (𝐿𝑋)))))
4120rpred 13077 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ)
42 rexmul 13313 . . . . . 6 (((𝐿𝑋) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ) → ((𝐿𝑋) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = ((𝐿𝑋) · (1 / (𝐿𝑋))))
4341, 31, 42syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝐿𝑋) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = ((𝐿𝑋) · (1 / (𝐿𝑋))))
4435, 36recidd 12038 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝐿𝑋) · (1 / (𝐿𝑋))) = 1)
4543, 44eqtrd 2777 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝐿𝑋) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = 1)
4645oveq2d 7447 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑁𝐹) ·e ((𝐿𝑋) ·e (1 / (𝐿𝑋)))) = ((𝑁𝐹) ·e 1))
47 xmulrid 13321 . . . 4 ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* → ((𝑁𝐹) ·e 1) = (𝑁𝐹))
4815, 47syl 17 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑁𝐹) ·e 1) = (𝑁𝐹))
4940, 46, 483eqtrd 2781 . 2 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = (𝑁𝐹))
5030, 38, 493brtr3d 5174 1 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ (𝑁𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  *cxr 11294  cle 11296   / cdiv 11920  +crp 13034   ·e cxmu 13153  Basecbs 17247  0gc0g 17484   GrpHom cghm 19230  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590   normOp cnmo 24726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-ghm 19231  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nmo 24729  df-nghm 24730
This theorem is referenced by:  nmoleub  24752
  Copyright terms: Public domain W3C validator