Theorem nmoi2 25054

Description: The operator norm is a bound on the growth of a vector under the action of the operator. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoi2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
nmoi2	⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹))

Proof of Theorem nmoi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
2		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
3		nmoi.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
4		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
5	3, 4	ghmf 19439	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
6	2, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
7		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	6, 7	ffvelcdmd 7085	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
9		nmoi.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
10	4, 9	nmcl 24940	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
11	1, 8, 10	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
12	11	rexrd 11362	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ*)
13		nmofval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
14	13	nmocl 25044	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
16		nmoi.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
17		nmoi2.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
18	3, 16, 17	nmrpcl 24944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
19	18	3expb 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
20	19	3ad2antl1 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
21	20	rpxrd 13168	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ*)
22	15, 21	xmulcld 13435	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ*)
23	20	rpreccld 13177	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ+)
24	23	rpxrd 13168	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ*)
25	23	rpge0d 13171	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝑋)))
26	24, 25	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝑋))))
27	13, 3, 16, 9	nmoix 25053	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)))
28	27	adantrr 730	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)))
29		xlemul1a 13421	. . 3 ⊢ ((((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ ((1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝑋)))) ∧ (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋))) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) ≤ (((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))))
30	12, 22, 26, 28, 29	syl31anc 1400	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) ≤ (((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))))
31	23	rpred 13167	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ)
32		rexmul 13404	. . . 4 ⊢ (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) · (1 / (𝐿‘𝑋))))
33	11, 31, 32	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) · (1 / (𝐿‘𝑋))))
34	11	recnd 11340	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℂ)
35	20	rpcnd 13169	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℂ)
36	20	rpne0d 13172	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ≠ 0)
37	34, 35, 36	divrecd 12099	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) = ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) · (1 / (𝐿‘𝑋))))
38	33, 37	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)))
39		xmulass 13420	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ*) → (((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝑁‘𝐹) ·e ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋)))))
40	15, 21, 24, 39	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝑁‘𝐹) ·e ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋)))))
41	20	rpred 13167	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ)
42		rexmul 13404	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ) → ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝐿‘𝑋) · (1 / (𝐿‘𝑋))))
43	41, 31, 42	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝐿‘𝑋) · (1 / (𝐿‘𝑋))))
44	35, 36	recidd 12091	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝐿‘𝑋) · (1 / (𝐿‘𝑋))) = 1)
45	43, 44	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = 1)
46	45	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑁‘𝐹) ·e ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋)))) = ((𝑁‘𝐹) ·e 1))
47		xmulrid 13412	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* → ((𝑁‘𝐹) ·e 1) = (𝑁‘𝐹))
48	15, 47	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑁‘𝐹) ·e 1) = (𝑁‘𝐹))
49	40, 46, 48	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = (𝑁‘𝐹))
50	30, 38, 49	3brtr3d 5135	1 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   · cmul 11208  ℝ^*cxr 11345   ≤ cle 11347   / cdiv 11976  ℝ⁺crp 13123   ·_e cxmu 13243  Basecbs 17392  0_gc0g 17615   GrpHom cghm 19432  normcnm 24900  NrmGrpcngp 24901   normOp cnmo 25029

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ico 13485  df-0g 17617  df-topgen 17619  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-ghm 19433  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-xms 24644  df-ms 24645  df-nm 24906  df-ngp 24907  df-nmo 25032  df-nghm 25033

This theorem is used by:  nmoleub  25055