Theorem nmoi2 24751

Description: The operator norm is a bound on the growth of a vector under the action of the operator. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoi2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
nmoi2	⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹))

Proof of Theorem nmoi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
2		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
3		nmoi.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
4		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
5	3, 4	ghmf 19238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
6	2, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
7		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	6, 7	ffvelcdmd 7105	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
9		nmoi.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
10	4, 9	nmcl 24629	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
11	1, 8, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
12	11	rexrd 11311	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ*)
13		nmofval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
14	13	nmocl 24741	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
16		nmoi.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
17		nmoi2.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
18	3, 16, 17	nmrpcl 24633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
19	18	3expb 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
20	19	3ad2antl1 1186	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
21	20	rpxrd 13078	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ*)
22	15, 21	xmulcld 13344	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ*)
23	20	rpreccld 13087	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ+)
24	23	rpxrd 13078	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ*)
25	23	rpge0d 13081	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝑋)))
26	24, 25	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝑋))))
27	13, 3, 16, 9	nmoix 24750	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)))
28	27	adantrr 717	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)))
29		xlemul1a 13330	. . 3 ⊢ ((((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ ((1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝑋)))) ∧ (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋))) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) ≤ (((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))))
30	12, 22, 26, 28, 29	syl31anc 1375	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) ≤ (((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))))
31	23	rpred 13077	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ)
32		rexmul 13313	. . . 4 ⊢ (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) · (1 / (𝐿‘𝑋))))
33	11, 31, 32	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) · (1 / (𝐿‘𝑋))))
34	11	recnd 11289	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℂ)
35	20	rpcnd 13079	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℂ)
36	20	rpne0d 13082	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ≠ 0)
37	34, 35, 36	divrecd 12046	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) = ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) · (1 / (𝐿‘𝑋))))
38	33, 37	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)))
39		xmulass 13329	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ*) → (((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝑁‘𝐹) ·e ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋)))))
40	15, 21, 24, 39	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝑁‘𝐹) ·e ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋)))))
41	20	rpred 13077	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ)
42		rexmul 13313	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ) → ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝐿‘𝑋) · (1 / (𝐿‘𝑋))))
43	41, 31, 42	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝐿‘𝑋) · (1 / (𝐿‘𝑋))))
44	35, 36	recidd 12038	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝐿‘𝑋) · (1 / (𝐿‘𝑋))) = 1)
45	43, 44	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = 1)
46	45	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑁‘𝐹) ·e ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋)))) = ((𝑁‘𝐹) ·e 1))
47		xmulrid 13321	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* → ((𝑁‘𝐹) ·e 1) = (𝑁‘𝐹))
48	15, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑁‘𝐹) ·e 1) = (𝑁‘𝐹))
49	40, 46, 48	3eqtrd 2781	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = (𝑁‘𝐹))
50	30, 38, 49	3brtr3d 5174	1 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  ℝ^*cxr 11294   ≤ cle 11296   / cdiv 11920  ℝ⁺crp 13034   ·_e cxmu 13153  Basecbs 17247  0_gc0g 17484   GrpHom cghm 19230  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590   normOp cnmo 24726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-ghm 19231  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nmo 24729  df-nghm 24730

This theorem is referenced by:  nmoleub  24752