Theorem nmoi2 23800

Description: The operator norm is a bound on the growth of a vector under the action of the operator. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoi2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
nmoi2	⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹))

Proof of Theorem nmoi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
2		simpl3 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
3		nmoi.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
4		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
5	3, 4	ghmf 18753	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
6	2, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
7		simprl 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	6, 7	ffvelrnd 6944	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
9		nmoi.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
10	4, 9	nmcl 23678	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
11	1, 8, 10	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
12	11	rexrd 10956	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ*)
13		nmofval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
14	13	nmocl 23790	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
16		nmoi.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
17		nmoi2.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
18	3, 16, 17	nmrpcl 23682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
19	18	3expb 1118	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
20	19	3ad2antl1 1183	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
21	20	rpxrd 12702	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ*)
22	15, 21	xmulcld 12965	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ*)
23	20	rpreccld 12711	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ+)
24	23	rpxrd 12702	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ*)
25	23	rpge0d 12705	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝑋)))
26	24, 25	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝑋))))
27	13, 3, 16, 9	nmoix 23799	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)))
28	27	adantrr 713	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)))
29		xlemul1a 12951	. . 3 ⊢ ((((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ ((1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝑋)))) ∧ (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋))) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) ≤ (((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))))
30	12, 22, 26, 28, 29	syl31anc 1371	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) ≤ (((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))))
31	23	rpred 12701	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ)
32		rexmul 12934	. . . 4 ⊢ (((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) · (1 / (𝐿‘𝑋))))
33	11, 31, 32	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) · (1 / (𝐿‘𝑋))))
34	11	recnd 10934	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℂ)
35	20	rpcnd 12703	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℂ)
36	20	rpne0d 12706	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ≠ 0)
37	34, 35, 36	divrecd 11684	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) = ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) · (1 / (𝐿‘𝑋))))
38	33, 37	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)))
39		xmulass 12950	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ*) → (((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝑁‘𝐹) ·e ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋)))))
40	15, 21, 24, 39	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝑁‘𝐹) ·e ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋)))))
41	20	rpred 12701	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ)
42		rexmul 12934	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐿‘𝑋)) ∈ ℝ) → ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝐿‘𝑋) · (1 / (𝐿‘𝑋))))
43	41, 31, 42	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = ((𝐿‘𝑋) · (1 / (𝐿‘𝑋))))
44	35, 36	recidd 11676	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝐿‘𝑋) · (1 / (𝐿‘𝑋))) = 1)
45	43, 44	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = 1)
46	45	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑁‘𝐹) ·e ((𝐿‘𝑋) ·e (1 / (𝐿‘𝑋)))) = ((𝑁‘𝐹) ·e 1))
47		xmulid1 12942	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* → ((𝑁‘𝐹) ·e 1) = (𝑁‘𝐹))
48	15, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑁‘𝐹) ·e 1) = (𝑁‘𝐹))
49	40, 46, 48	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) ·e (1 / (𝐿‘𝑋))) = (𝑁‘𝐹))
50	30, 38, 49	3brtr3d 5101	1 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) / (𝐿‘𝑋)) ≤ (𝑁‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807  ℝ^*cxr 10939   ≤ cle 10941   / cdiv 11562  ℝ⁺crp 12659   ·_e cxmu 12776  Basecbs 16840  0_gc0g 17067   GrpHom cghm 18746  normcnm 23638  NrmGrpcngp 23639   normOp cnmo 23775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ico 13014  df-0g 17069  df-topgen 17071  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-ghm 18747  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-xms 23381  df-ms 23382  df-nm 23644  df-ngp 23645  df-nmo 23778  df-nghm 23779

This theorem is referenced by:  nmoleub  23801