MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoi2 24094
Description: The operator norm is a bound on the growth of a vector under the action of the operator. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoi2.z 0 = (0g𝑆)
Assertion
Ref Expression
nmoi2 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ (𝑁𝐹))

Proof of Theorem nmoi2
StepHypRef Expression
1 simpl2 1192 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
2 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
3 nmoi.2 . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑆)
4 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
53, 4ghmf 19012 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
62, 5syl 17 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
7 simprl 769 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → 𝑋𝑉)
86, 7ffvelcdmd 7036 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
9 nmoi.4 . . . . . 6 𝑀 = (norm‘𝑇)
104, 9nmcl 23972 . . . . 5 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
111, 8, 10syl2anc 584 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
1211rexrd 11205 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ*)
13 nmofval.1 . . . . . 6 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
1413nmocl 24084 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
1514adantr 481 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
16 nmoi.3 . . . . . . . 8 𝐿 = (norm‘𝑆)
17 nmoi2.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑆)
183, 16, 17nmrpcl 23976 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
19183expb 1120 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
20193ad2antl1 1185 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
2120rpxrd 12958 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ*)
2215, 21xmulcld 13221 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) ∈ ℝ*)
2320rpreccld 12967 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ+)
2423rpxrd 12958 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ*)
2523rpge0d 12961 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → 0 ≤ (1 / (𝐿𝑋)))
2624, 25jca 512 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿𝑋))))
2713, 3, 16, 9nmoix 24093 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)))
2827adantrr 715 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)))
29 xlemul1a 13207 . . 3 ((((𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) ∈ ℝ* ∧ ((1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿𝑋)))) ∧ (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋))) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) ≤ (((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))))
3012, 22, 26, 28, 29syl31anc 1373 . 2 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) ≤ (((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))))
3123rpred 12957 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ)
32 rexmul 13190 . . . 4 (((𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = ((𝑀‘(𝐹𝑋)) · (1 / (𝐿𝑋))))
3311, 31, 32syl2anc 584 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = ((𝑀‘(𝐹𝑋)) · (1 / (𝐿𝑋))))
3411recnd 11183 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℂ)
3520rpcnd 12959 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝐿𝑋) ∈ ℂ)
3620rpne0d 12962 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝐿𝑋) ≠ 0)
3734, 35, 36divrecd 11934 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) = ((𝑀‘(𝐹𝑋)) · (1 / (𝐿𝑋))))
3833, 37eqtr4d 2779 . 2 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)))
39 xmulass 13206 . . . 4 (((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐿𝑋) ∈ ℝ* ∧ (1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ*) → (((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = ((𝑁𝐹) ·e ((𝐿𝑋) ·e (1 / (𝐿𝑋)))))
4015, 21, 24, 39syl3anc 1371 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = ((𝑁𝐹) ·e ((𝐿𝑋) ·e (1 / (𝐿𝑋)))))
4120rpred 12957 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ)
42 rexmul 13190 . . . . . 6 (((𝐿𝑋) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ) → ((𝐿𝑋) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = ((𝐿𝑋) · (1 / (𝐿𝑋))))
4341, 31, 42syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝐿𝑋) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = ((𝐿𝑋) · (1 / (𝐿𝑋))))
4435, 36recidd 11926 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝐿𝑋) · (1 / (𝐿𝑋))) = 1)
4543, 44eqtrd 2776 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝐿𝑋) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = 1)
4645oveq2d 7373 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑁𝐹) ·e ((𝐿𝑋) ·e (1 / (𝐿𝑋)))) = ((𝑁𝐹) ·e 1))
47 xmulid1 13198 . . . 4 ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* → ((𝑁𝐹) ·e 1) = (𝑁𝐹))
4815, 47syl 17 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑁𝐹) ·e 1) = (𝑁𝐹))
4940, 46, 483eqtrd 2780 . 2 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = (𝑁𝐹))
5030, 38, 493brtr3d 5136 1 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ (𝑁𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  *cxr 11188  cle 11190   / cdiv 11812  +crp 12915   ·e cxmu 13032  Basecbs 17083  0gc0g 17321   GrpHom cghm 19005  normcnm 23932  NrmGrpcngp 23933   normOp cnmo 24069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-0g 17323  df-topgen 17325  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-ghm 19006  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-xms 23673  df-ms 23674  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nmo 24072  df-nghm 24073
This theorem is referenced by:  nmoleub  24095
  Copyright terms: Public domain W3C validator