MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nno Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nno 16364
Description: An alternate characterization of an odd integer greater than 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
nno ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nno
StepHypRef Expression
1 eluz2b3 12942 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
2 nnnn0 12515 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 nn0o1gt2 16363 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
42, 3sylan 578 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
5 eqneqall 2947 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
65a1d 25 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
7 nn0z 12619 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
8 peano2zm 12641 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
109ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
11 2cn 12323 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
1211mullidi 11255 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 · 2) = 2
13 nnre 12255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1413ltp1d 12180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
1514adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
16 2re 12322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
17 peano2nn 12260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1817nnred 12263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
19 lttr 11326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → ((2 < 𝑁𝑁 < (𝑁 + 1)) → 2 < (𝑁 + 1)))
2016, 13, 18, 19mp3an2i 1462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 < 𝑁𝑁 < (𝑁 + 1)) → 2 < (𝑁 + 1)))
2120expdimp 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 < (𝑁 + 1) → 2 < (𝑁 + 1)))
2215, 21mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 2 < (𝑁 + 1))
2312, 22eqbrtrid 5185 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 · 2) < (𝑁 + 1))
24 1red 11251 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
2518adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
26 2rp 13017 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 2 ∈ ℝ+)
2824, 25, 27ltmuldivd 13101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((1 · 2) < (𝑁 + 1) ↔ 1 < ((𝑁 + 1) / 2)))
2923, 28mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < ((𝑁 + 1) / 2))
3018rehalfcld 12495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ)
3130adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ)
3224, 31posdifd 11837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 < ((𝑁 + 1) / 2) ↔ 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1)))
3329, 32mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1))
3433adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1))
35 elnnz 12604 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1)))
3610, 34, 35sylanbrc 581 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ)
37 nncn 12256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
38 xp1d2m1eqxm1d2 12502 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
4039eleq1d 2813 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
4140adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
4241adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
4336, 42mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
4443a1d 25 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
4544expcom 412 . . . . . 6 (2 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
466, 45jaoi 855 . . . . 5 ((𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
474, 46mpcom 38 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
4847impancom 450 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
491, 48sylbi 216 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
5049imp 405 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2936   class class class wbr 5150  cfv 6551  (class class class)co 7424  cc 11142  cr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   · cmul 11149   < clt 11284  cmin 11480   / cdiv 11907  cn 12248  2c2 12303  0cn0 12508  cz 12594  cuz 12858  +crp 13012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013
This theorem is referenced by:  nn0o  16365  gausslemma2dlem0b  27308  blennngt2o2  47716  dignn0flhalf  47742
  Copyright terms: Public domain W3C validator