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Theorem nno 15592
Description: An alternate characterization of an odd integer greater than 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
nno ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nno
StepHypRef Expression
1 eluz2b3 12135 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
2 nnnn0 11714 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 nn0o1gt2 15591 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
42, 3sylan 572 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
5 eqneqall 2973 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
65a1d 25 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
7 nn0z 11817 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
8 peano2zm 11837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
109ad2antlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
11 2cn 11514 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
1211mulid2i 10444 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 · 2) = 2
13 nnre 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1413ltp1d 11370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
1514adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
16 2re 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
17 peano2nn 11452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1817nnred 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
19 lttr 10516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → ((2 < 𝑁𝑁 < (𝑁 + 1)) → 2 < (𝑁 + 1)))
2016, 13, 18, 19mp3an2i 1446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 < 𝑁𝑁 < (𝑁 + 1)) → 2 < (𝑁 + 1)))
2120expdimp 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 < (𝑁 + 1) → 2 < (𝑁 + 1)))
2215, 21mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 2 < (𝑁 + 1))
2312, 22syl5eqbr 4961 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 · 2) < (𝑁 + 1))
24 1red 10439 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
2518adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
26 2rp 12208 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 2 ∈ ℝ+)
2824, 25, 27ltmuldivd 12294 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((1 · 2) < (𝑁 + 1) ↔ 1 < ((𝑁 + 1) / 2)))
2923, 28mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < ((𝑁 + 1) / 2))
3018rehalfcld 11693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ)
3130adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ)
3224, 31posdifd 11027 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 < ((𝑁 + 1) / 2) ↔ 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1)))
3329, 32mpbid 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1))
3433adantlr 703 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1))
35 elnnz 11802 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1)))
3610, 34, 35sylanbrc 575 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ)
37 nncn 11447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
38 xp1d2m1eqxm1d2 11700 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
4039eleq1d 2845 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
4140adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
4241adantr 473 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
4336, 42mpbid 224 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
4443a1d 25 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
4544expcom 406 . . . . . 6 (2 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
466, 45jaoi 844 . . . . 5 ((𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
474, 46mpcom 38 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
4847impancom 444 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
491, 48sylbi 209 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
5049imp 398 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  wo 834   = wceq 1508  wcel 2051  wne 2962   class class class wbr 4926  cfv 6186  (class class class)co 6975  cc 10332  cr 10333  0cc0 10334  1c1 10335   + caddc 10337   · cmul 10339   < clt 10473  cmin 10669   / cdiv 11097  cn 11438  2c2 11494  0cn0 11706  cz 11792  cuz 12057  +crp 12203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-4 11504  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-rp 12204
This theorem is referenced by:  nn0o  15593  gausslemma2dlem0b  25651  blennngt2o2  44050  dignn0flhalf  44076
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