Theorem zob 15816

Description: Alternate characterizations of an odd number. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zob	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))

Proof of Theorem zob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 12118	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
2		peano2z 12116	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) + 1) ∈ ℤ)
3		peano2z 12116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5	4	halfcld 11973	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℂ)
6		npcan1 11155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℂ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) + 1) = ((𝑁 + 1) / 2))
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) + 1) = ((𝑁 + 1) / 2))
8	7	eqcomd 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) = ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) + 1))
9	8	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) + 1) ∈ ℤ))
10	2, 9	syl5ibr 249	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
11	1, 10	impbid2 229	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ))
12		zcn 12079	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
13		xp1d2m1eqxm1d2 11982	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
15	14	eleq1d 2818	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
16	11, 15	bitrd 282	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7182  ℂcc 10625  1c1 10628   + caddc 10630   − cmin 10960   / cdiv 11387  2c2 11783  ℤcz 12074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-n0 11989  df-z 12075

This theorem is referenced by:  oddm1d2  15817  oddm1div2z  44667  isodd2  44668  zofldiv2  45458  dignn0flhalflem2  45543  nn0sumshdiglemB  45547