MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod2eq1n2dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod2eq1n2dvds 16315
Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
mod2eq1n2dvds (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†” ยฌ 2 โˆฅ ๐‘))

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zeo 12670 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โˆจ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
2 zre 12584 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3 2rp 13003 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„+
4 mod0 13865 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ mod 2) = 0 โ†” (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค))
52, 3, 4sylancl 585 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 0 โ†” (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค))
65biimpar 477 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ mod 2) = 0)
7 eqeq1 2731 . . . . . . . 8 ((๐‘ mod 2) = 0 โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†” 0 = 1))
8 0ne1 12305 . . . . . . . . 9 0 โ‰  1
9 eqneqall 2946 . . . . . . . . 9 (0 = 1 โ†’ (0 โ‰  1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
108, 9mpi 20 . . . . . . . 8 (0 = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)
117, 10biimtrdi 252 . . . . . . 7 ((๐‘ mod 2) = 0 โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
126, 11syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
1312expcom 413 . . . . 5 ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
14 peano2zm 12627 . . . . . . . . 9 (((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ + 1) / 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
15 zcn 12585 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
16 xp1d2m1eqxm1d2 12488 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘ + 1) / 2) โˆ’ 1) = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ + 1) / 2) โˆ’ 1) = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))
1817eleq1d 2813 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((((๐‘ + 1) / 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
1918biimpd 228 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((((๐‘ + 1) / 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
2014, 19mpan9 506 . . . . . . . 8 ((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
21 oveq2 7422 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
2221adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘› = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
2322oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘› = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1))
24 peano2zm 12627 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
2524zcnd 12689 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
26 2cnd 12312 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
27 2ne0 12338 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โ‰  0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โ‰  0)
2925, 26, 28divcan2d 12014 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘ โˆ’ 1))
3029oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = ((๐‘ โˆ’ 1) + 1))
31 npcan1 11661 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
3215, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
3330, 32eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = ๐‘)
3433ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘› = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = ๐‘)
3523, 34eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘› = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)
3620, 35rspcedeq1vd 3614 . . . . . . 7 ((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)
3736a1d 25 . . . . . 6 ((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
3837ex 412 . . . . 5 (((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
3913, 38jaoi 856 . . . 4 (((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โˆจ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
401, 39mpcom 38 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
41 oveq1 7421 . . . . . 6 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†’ (๐‘ mod 2) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) mod 2))
4241eqcoms 2735 . . . . 5 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘ mod 2) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) mod 2))
43 2cnd 12312 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
44 zcn 12585 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
4543, 44mulcomd 11257 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (๐‘› ยท 2))
4645oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘›) mod 2) = ((๐‘› ยท 2) mod 2))
47 mulmod0 13866 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘› ยท 2) mod 2) = 0)
483, 47mpan2 690 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘› ยท 2) mod 2) = 0)
4946, 48eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘›) mod 2) = 0)
5049oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) mod 2) + 1) = (0 + 1))
51 0p1e1 12356 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
5250, 51eqtrdi 2783 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) mod 2) + 1) = 1)
5352oveq1d 7429 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) mod 2) + 1) mod 2) = (1 mod 2))
54 2z 12616 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„ค
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
56 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
5755, 56zmulcld 12694 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
5857zred 12688 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„)
59 1red 11237 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
603a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
61 modaddmod 13899 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„+) โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) mod 2))
6258, 59, 60, 61syl3anc 1369 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) mod 2))
63 2re 12308 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
64 1lt2 12405 . . . . . . . . 9 1 < 2
6563, 64pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (2 โˆˆ โ„ โˆง 1 < 2)
66 1mod 13892 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 1 < 2) โ†’ (1 mod 2) = 1)
6765, 66mp1i 13 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (1 mod 2) = 1)
6853, 62, 673eqtr3d 2775 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) mod 2) = 1)
6968adantl 481 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) mod 2) = 1)
7042, 69sylan9eqr 2789 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘) โ†’ (๐‘ mod 2) = 1)
7170rexlimdva2 3152 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘ mod 2) = 1))
7240, 71impbid 211 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
73 odd2np1 16309 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
7472, 73bitr4d 282 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†” ยฌ 2 โˆฅ ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โˆƒwrex 3065   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   < clt 11270   โˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  2c2 12289  โ„คcz 12580  โ„+crp 12998   mod cmo 13858   โˆฅ cdvds 16222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fl 13781  df-mod 13859  df-dvds 16223
This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  27321  2lgslem3c1  27322  ex-mod  30246  dig2nn1st  47601  0dig2nn0o  47609  dig2bits  47610
  Copyright terms: Public domain W3C validator