MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod2eq1n2dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod2eq1n2dvds 16163
Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
mod2eq1n2dvds (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†” ยฌ 2 โˆฅ ๐‘))

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zeo 12519 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โˆจ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
2 zre 12436 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3 2rp 12848 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„+
4 mod0 13709 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ mod 2) = 0 โ†” (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค))
52, 3, 4sylancl 586 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 0 โ†” (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค))
65biimpar 478 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ mod 2) = 0)
7 eqeq1 2741 . . . . . . . 8 ((๐‘ mod 2) = 0 โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†” 0 = 1))
8 0ne1 12157 . . . . . . . . 9 0 โ‰  1
9 eqneqall 2952 . . . . . . . . 9 (0 = 1 โ†’ (0 โ‰  1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
108, 9mpi 20 . . . . . . . 8 (0 = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)
117, 10syl6bi 252 . . . . . . 7 ((๐‘ mod 2) = 0 โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
126, 11syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
1312expcom 414 . . . . 5 ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
14 peano2zm 12476 . . . . . . . . 9 (((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ + 1) / 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
15 zcn 12437 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
16 xp1d2m1eqxm1d2 12340 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘ + 1) / 2) โˆ’ 1) = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ + 1) / 2) โˆ’ 1) = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))
1817eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((((๐‘ + 1) / 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
1918biimpd 228 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((((๐‘ + 1) / 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
2014, 19mpan9 507 . . . . . . . 8 ((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
21 oveq2 7357 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
2221adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘› = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
2322oveq1d 7364 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘› = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1))
24 peano2zm 12476 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
2524zcnd 12540 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
26 2cnd 12164 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
27 2ne0 12190 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โ‰  0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โ‰  0)
2925, 26, 28divcan2d 11866 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘ โˆ’ 1))
3029oveq1d 7364 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = ((๐‘ โˆ’ 1) + 1))
31 npcan1 11513 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
3215, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
3330, 32eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = ๐‘)
3433ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘› = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = ๐‘)
3523, 34eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘› = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)
3620, 35rspcedeq1vd 3584 . . . . . . 7 ((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)
3736a1d 25 . . . . . 6 ((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
3837ex 413 . . . . 5 (((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
3913, 38jaoi 855 . . . 4 (((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โˆจ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
401, 39mpcom 38 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
41 oveq1 7356 . . . . . 6 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†’ (๐‘ mod 2) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) mod 2))
4241eqcoms 2745 . . . . 5 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘ mod 2) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) mod 2))
43 2cnd 12164 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
44 zcn 12437 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
4543, 44mulcomd 11109 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (๐‘› ยท 2))
4645oveq1d 7364 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘›) mod 2) = ((๐‘› ยท 2) mod 2))
47 mulmod0 13710 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘› ยท 2) mod 2) = 0)
483, 47mpan2 689 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘› ยท 2) mod 2) = 0)
4946, 48eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘›) mod 2) = 0)
5049oveq1d 7364 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) mod 2) + 1) = (0 + 1))
51 0p1e1 12208 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
5250, 51eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) mod 2) + 1) = 1)
5352oveq1d 7364 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) mod 2) + 1) mod 2) = (1 mod 2))
54 2z 12465 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„ค
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
56 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
5755, 56zmulcld 12545 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
5857zred 12539 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„)
59 1red 11089 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
603a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
61 modaddmod 13743 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„+) โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) mod 2))
6258, 59, 60, 61syl3anc 1371 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) mod 2))
63 2re 12160 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
64 1lt2 12257 . . . . . . . . 9 1 < 2
6563, 64pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (2 โˆˆ โ„ โˆง 1 < 2)
66 1mod 13736 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 1 < 2) โ†’ (1 mod 2) = 1)
6765, 66mp1i 13 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (1 mod 2) = 1)
6853, 62, 673eqtr3d 2785 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) mod 2) = 1)
6968adantl 482 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) mod 2) = 1)
7042, 69sylan9eqr 2799 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘) โ†’ (๐‘ mod 2) = 1)
7170rexlimdva2 3152 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘ mod 2) = 1))
7240, 71impbid 211 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
73 odd2np1 16157 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
7472, 73bitr4d 281 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†” ยฌ 2 โˆฅ ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5103  (class class class)co 7349  โ„‚cc 10982  โ„cr 10983  0cc0 10984  1c1 10985   + caddc 10987   ยท cmul 10989   < clt 11122   โˆ’ cmin 11318   / cdiv 11745  2c2 12141  โ„คcz 12432  โ„+crp 12843   mod cmo 13702   โˆฅ cdvds 16070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-sup 9311  df-inf 9312  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-rp 12844  df-fl 13625  df-mod 13703  df-dvds 16071
This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  26671  2lgslem3c1  26672  ex-mod  29191  dig2nn1st  46440  0dig2nn0o  46448  dig2bits  46449
  Copyright terms: Public domain W3C validator