Theorem mod2eq1n2dvds 15984

Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mod2eq1n2dvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeo 12336	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
2		zre 12253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		2rp 12664	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
4		mod0 13524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
5	2, 3, 4	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
6	5	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 mod 2) = 0)
7		eqeq1 2742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 0 → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ 0 = 1))
8		0ne1 11974	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≠ 1
9		eqneqall 2953	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
10	8, 9	mpi 20	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
11	7, 10	syl6bi 252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 0 → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
12	6, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
13	12	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
14		peano2zm 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
15		zcn 12254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16		xp1d2m1eqxm1d2 12157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
18	17	eleq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
19	18	biimpd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
20	14, 19	mpan9 506	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21		oveq2 7263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
23	22	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
24		peano2zm 12293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
26		2cnd 11981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
27		2ne0 12007	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
29	25, 26, 28	divcan2d 11683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((𝑁 − 1) / 2)) = (𝑁 − 1))
30	29	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
31		npcan1 11330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
32	15, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
33	30, 32	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
34	33	ad2antlr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
35	23, 34	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
36	20, 35	rspcedeq1vd 3558	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
37	36	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
38	37	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
39	13, 38	jaoi 853	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
40	1, 39	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
41		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
42	41	eqcoms 2746	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
43		2cnd 11981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
44		zcn 12254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
45	43, 44	mulcomd 10927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) = (𝑛 · 2))
46	45	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) mod 2) = ((𝑛 · 2) mod 2))
47		mulmod0 13525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · 2) mod 2) = 0)
48	3, 47	mpan2 687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) mod 2) = 0)
49	46, 48	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) mod 2) = 0)
50	49	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) mod 2) + 1) = (0 + 1))
51		0p1e1 12025	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
52	50, 51	eqtrdi 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) mod 2) + 1) = 1)
53	52	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (1 mod 2))
54		2z 12282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
56		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
57	55, 56	zmulcld 12361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
58	57	zred 12355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
59		1red 10907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
60	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
61		modaddmod 13558	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
62	58, 59, 60, 61	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
63		2re 11977	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
64		1lt2 12074	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
65	63, 64	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2)
66		1mod 13551	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (1 mod 2) = 1)
67	65, 66	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1 mod 2) = 1)
68	53, 62, 67	3eqtr3d 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) mod 2) = 1)
69	68	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) mod 2) = 1)
70	42, 69	sylan9eqr 2801	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (𝑁 mod 2) = 1)
71	70	rexlimdva2 3215	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 mod 2) = 1))
72	40, 71	impbid 211	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
73		odd2np1 15978	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
74	72, 73	bitr4d 281	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   − cmin 11135   / cdiv 11562  2c2 11958  ℤcz 12249  ℝ⁺crp 12659   mod cmo 13517   ∥ cdvds 15891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-mod 13518  df-dvds 15892

This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  26454  2lgslem3c1  26455  ex-mod  28714  dig2nn1st  45839  0dig2nn0o  45847  dig2bits  45848