Theorem mod2eq1n2dvds 16484

Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mod2eq1n2dvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeo 12754	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
2		zre 12666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		2rp 13094	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
4		mod0 13984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
5	2, 3, 4	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
6	5	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 mod 2) = 0)
7		eqeq1 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 0 → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ 0 = 1))
8		0ne1 12383	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≠ 1
9		eqneqall 2966	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
10	8, 9	mpi 21	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
11	7, 10	biimtrdi 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 0 → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
12	6, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
13	12	expcom 419	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
14		peano2zm 12708	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
15		zcn 12667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16		xp1d2m1eqxm1d2 12569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
18	17	eleq1d 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
19	18	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
20	14, 19	mpan9 516	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21		oveq2 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
23	22	oveq1d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
24		peano2zm 12708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
26		2cnd 12390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
27		2ne0 12418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
29	25, 26, 28	divcan2d 12064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((𝑁 − 1) / 2)) = (𝑁 − 1))
30	29	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
31		npcan1 11710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
32	15, 31	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
33	30, 32	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
34	33	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
35	23, 34	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
36	20, 35	rspcedeqvd 3583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
37	36	a1d 26	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
38	37	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
39	13, 38	jaoi 871	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
40	1, 39	mpcom 39	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
41		oveq1 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
42	41	eqcoms 2768	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
43		2cnd 12390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
44		zcn 12667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
45	43, 44	mulcomd 11301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) = (𝑛 · 2))
46	45	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) mod 2) = ((𝑛 · 2) mod 2))
47		mulmod0 13985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · 2) mod 2) = 0)
48	3, 47	mpan2 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) mod 2) = 0)
49	46, 48	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) mod 2) = 0)
50	49	oveq1d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) mod 2) + 1) = (0 + 1))
51		0p1e1 12432	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
52	50, 51	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) mod 2) + 1) = 1)
53	52	oveq1d 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (1 mod 2))
54		2z 12697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
56		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
57	55, 56	zmulcld 12778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
58	57	zred 12772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
59		1red 11280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
60	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
61		modaddmod 14020	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
62	58, 59, 60, 61	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
63		2re 12386	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
64		1lt2 12484	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
65	63, 64	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2)
66		1mod 14011	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (1 mod 2) = 1)
67	65, 66	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1 mod 2) = 1)
68	53, 62, 67	3eqtr3d 2803	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) mod 2) = 1)
69	68	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) mod 2) = 1)
70	42, 69	sylan9eqr 2817	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (𝑁 mod 2) = 1)
71	70	rexlimdva2 3165	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 mod 2) = 1))
72	40, 71	impbid 215	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
73		odd2np1 16478	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
74	72, 73	bitr4d 285	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  (class class class)co 7408  ℂcc 11169  ℝcr 11170  0cc0 11171  1c1 11172   + caddc 11174   · cmul 11176   < clt 11314   − cmin 11512   / cdiv 11942  2c2 12366  ℤcz 12662  ℝ⁺crp 13089   mod cmo 13977   ∥ cdvds 16389

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-rp 13090  df-fl 13900  df-mod 13978  df-dvds 16390

This theorem is used by:  2lgslem3b1  27691  2lgslem3c1  27692  ex-mod  30983  dig2nn1st  49639  0dig2nn0o  49647  dig2bits  49648