Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod2eq1n2dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod2eq1n2dvds 15688
 Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
mod2eq1n2dvds (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zeo 12060 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
2 zre 11977 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 2rp 12386 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
4 mod0 13236 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
52, 3, 4sylancl 588 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
65biimpar 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 mod 2) = 0)
7 eqeq1 2823 . . . . . . . 8 ((𝑁 mod 2) = 0 → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ 0 = 1))
8 0ne1 11700 . . . . . . . . 9 0 ≠ 1
9 eqneqall 3025 . . . . . . . . 9 (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
108, 9mpi 20 . . . . . . . 8 (0 = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
117, 10syl6bi 255 . . . . . . 7 ((𝑁 mod 2) = 0 → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
126, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
1312expcom 416 . . . . 5 ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
14 peano2zm 12017 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
15 zcn 11978 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16 xp1d2m1eqxm1d2 11883 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
1817eleq1d 2895 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
1918biimpd 231 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
2014, 19mpan9 509 . . . . . . . 8 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21 oveq2 7156 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
2221adantl 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
2322oveq1d 7163 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
24 peano2zm 12017 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2524zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
26 2cnd 11707 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
27 2ne0 11733 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
2925, 26, 28divcan2d 11410 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((𝑁 − 1) / 2)) = (𝑁 − 1))
3029oveq1d 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
31 npcan1 11057 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3215, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3330, 32eqtrd 2854 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
3433ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
3523, 34eqtrd 2854 . . . . . . . 8 (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
3620, 35rspcedeq1vd 3627 . . . . . . 7 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
3736a1d 25 . . . . . 6 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
3837ex 415 . . . . 5 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
3913, 38jaoi 853 . . . 4 (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
401, 39mpcom 38 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
41 oveq1 7155 . . . . . 6 (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
4241eqcoms 2827 . . . . 5 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
43 2cnd 11707 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
44 zcn 11978 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
4543, 44mulcomd 10654 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) = (𝑛 · 2))
4645oveq1d 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) mod 2) = ((𝑛 · 2) mod 2))
47 mulmod0 13237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · 2) mod 2) = 0)
483, 47mpan2 689 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) mod 2) = 0)
4946, 48eqtrd 2854 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) mod 2) = 0)
5049oveq1d 7163 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) mod 2) + 1) = (0 + 1))
51 0p1e1 11751 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
5250, 51syl6eq 2870 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) mod 2) + 1) = 1)
5352oveq1d 7163 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (1 mod 2))
54 2z 12006 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
56 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
5755, 56zmulcld 12085 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
5857zred 12079 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
59 1red 10634 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
603a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
61 modaddmod 13270 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
6258, 59, 60, 61syl3anc 1365 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
63 2re 11703 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
64 1lt2 11800 . . . . . . . . 9 1 < 2
6563, 64pm3.2i 473 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2)
66 1mod 13263 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (1 mod 2) = 1)
6765, 66mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → (1 mod 2) = 1)
6853, 62, 673eqtr3d 2862 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) mod 2) = 1)
6968adantl 484 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) mod 2) = 1)
7042, 69sylan9eqr 2876 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (𝑁 mod 2) = 1)
7170rexlimdva2 3285 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 mod 2) = 1))
7240, 71impbid 214 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
73 odd2np1 15682 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
7472, 73bitr4d 284 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3014  ∃wrex 3137   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667   − cmin 10862   / cdiv 11289  2c2 11684  ℤcz 11973  ℝ+crp 12381   mod cmo 13229   ∥ cdvds 15599 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fl 13154  df-mod 13230  df-dvds 15600 This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  25969  2lgslem3c1  25970  ex-mod  28220  dig2nn1st  44650  0dig2nn0o  44658  dig2bits  44659
 Copyright terms: Public domain W3C validator