Theorem mod2eq1n2dvds 16290

Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mod2eq1n2dvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeo 12648	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
2		zre 12562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		2rp 12979	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
4		mod0 13841	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
5	2, 3, 4	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
6	5	biimpar 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 mod 2) = 0)
7		eqeq1 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 0 → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ 0 = 1))
8		0ne1 12283	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≠ 1
9		eqneqall 2952	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
10	8, 9	mpi 20	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
11	7, 10	syl6bi 253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 0 → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
12	6, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
13	12	expcom 415	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
14		peano2zm 12605	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
15		zcn 12563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16		xp1d2m1eqxm1d2 12466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
18	17	eleq1d 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
19	18	biimpd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
20	14, 19	mpan9 508	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21		oveq2 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
22	21	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
23	22	oveq1d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
24		peano2zm 12605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
26		2cnd 12290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
27		2ne0 12316	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
29	25, 26, 28	divcan2d 11992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((𝑁 − 1) / 2)) = (𝑁 − 1))
30	29	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
31		npcan1 11639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
32	15, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
33	30, 32	eqtrd 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
34	33	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
35	23, 34	eqtrd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
36	20, 35	rspcedeq1vd 3619	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
37	36	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
38	37	ex 414	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
39	13, 38	jaoi 856	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
40	1, 39	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
41		oveq1 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
42	41	eqcoms 2741	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
43		2cnd 12290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
44		zcn 12563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
45	43, 44	mulcomd 11235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) = (𝑛 · 2))
46	45	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) mod 2) = ((𝑛 · 2) mod 2))
47		mulmod0 13842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · 2) mod 2) = 0)
48	3, 47	mpan2 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) mod 2) = 0)
49	46, 48	eqtrd 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) mod 2) = 0)
50	49	oveq1d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) mod 2) + 1) = (0 + 1))
51		0p1e1 12334	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
52	50, 51	eqtrdi 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) mod 2) + 1) = 1)
53	52	oveq1d 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (1 mod 2))
54		2z 12594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
56		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
57	55, 56	zmulcld 12672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
58	57	zred 12666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
59		1red 11215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
60	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
61		modaddmod 13875	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
62	58, 59, 60, 61	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
63		2re 12286	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
64		1lt2 12383	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
65	63, 64	pm3.2i 472	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2)
66		1mod 13868	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (1 mod 2) = 1)
67	65, 66	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1 mod 2) = 1)
68	53, 62, 67	3eqtr3d 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) mod 2) = 1)
69	68	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) mod 2) = 1)
70	42, 69	sylan9eqr 2795	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (𝑁 mod 2) = 1)
71	70	rexlimdva2 3158	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 mod 2) = 1))
72	40, 71	impbid 211	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
73		odd2np1 16284	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
74	72, 73	bitr4d 282	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   < clt 11248   − cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  ℤcz 12558  ℝ⁺crp 12974   mod cmo 13834   ∥ cdvds 16197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-mod 13835  df-dvds 16198

This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  26904  2lgslem3c1  26905  ex-mod  29702  dig2nn1st  47291  0dig2nn0o  47299  dig2bits  47300