MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod2eq1n2dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod2eq1n2dvds 16164
Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
mod2eq1n2dvds (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†” ยฌ 2 โˆฅ ๐‘))

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zeo 12520 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โˆจ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
2 zre 12437 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3 2rp 12849 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„+
4 mod0 13710 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ mod 2) = 0 โ†” (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค))
52, 3, 4sylancl 587 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 0 โ†” (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค))
65biimpar 479 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ mod 2) = 0)
7 eqeq1 2742 . . . . . . . 8 ((๐‘ mod 2) = 0 โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†” 0 = 1))
8 0ne1 12158 . . . . . . . . 9 0 โ‰  1
9 eqneqall 2953 . . . . . . . . 9 (0 = 1 โ†’ (0 โ‰  1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
108, 9mpi 20 . . . . . . . 8 (0 = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)
117, 10syl6bi 253 . . . . . . 7 ((๐‘ mod 2) = 0 โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
126, 11syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
1312expcom 415 . . . . 5 ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
14 peano2zm 12477 . . . . . . . . 9 (((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ + 1) / 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
15 zcn 12438 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
16 xp1d2m1eqxm1d2 12341 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘ + 1) / 2) โˆ’ 1) = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ + 1) / 2) โˆ’ 1) = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))
1817eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((((๐‘ + 1) / 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
1918biimpd 228 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((((๐‘ + 1) / 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
2014, 19mpan9 508 . . . . . . . 8 ((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
21 oveq2 7358 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
2221adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘› = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
2322oveq1d 7365 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘› = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1))
24 peano2zm 12477 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
2524zcnd 12541 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
26 2cnd 12165 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
27 2ne0 12191 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โ‰  0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โ‰  0)
2925, 26, 28divcan2d 11867 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘ โˆ’ 1))
3029oveq1d 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = ((๐‘ โˆ’ 1) + 1))
31 npcan1 11514 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
3215, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
3330, 32eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = ๐‘)
3433ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘› = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = ๐‘)
3523, 34eqtrd 2778 . . . . . . . 8 (((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘› = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)
3620, 35rspcedeq1vd 3585 . . . . . . 7 ((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)
3736a1d 25 . . . . . 6 ((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
3837ex 414 . . . . 5 (((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
3913, 38jaoi 856 . . . 4 (((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โˆจ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
401, 39mpcom 38 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
41 oveq1 7357 . . . . . 6 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†’ (๐‘ mod 2) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) mod 2))
4241eqcoms 2746 . . . . 5 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘ mod 2) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) mod 2))
43 2cnd 12165 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
44 zcn 12438 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
4543, 44mulcomd 11110 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (๐‘› ยท 2))
4645oveq1d 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘›) mod 2) = ((๐‘› ยท 2) mod 2))
47 mulmod0 13711 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘› ยท 2) mod 2) = 0)
483, 47mpan2 690 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘› ยท 2) mod 2) = 0)
4946, 48eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘›) mod 2) = 0)
5049oveq1d 7365 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) mod 2) + 1) = (0 + 1))
51 0p1e1 12209 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
5250, 51eqtrdi 2794 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) mod 2) + 1) = 1)
5352oveq1d 7365 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) mod 2) + 1) mod 2) = (1 mod 2))
54 2z 12466 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„ค
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
56 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
5755, 56zmulcld 12546 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
5857zred 12540 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„)
59 1red 11090 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
603a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
61 modaddmod 13744 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„+) โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) mod 2))
6258, 59, 60, 61syl3anc 1372 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) mod 2))
63 2re 12161 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
64 1lt2 12258 . . . . . . . . 9 1 < 2
6563, 64pm3.2i 472 . . . . . . . 8 (2 โˆˆ โ„ โˆง 1 < 2)
66 1mod 13737 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 1 < 2) โ†’ (1 mod 2) = 1)
6765, 66mp1i 13 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (1 mod 2) = 1)
6853, 62, 673eqtr3d 2786 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) mod 2) = 1)
6968adantl 483 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) mod 2) = 1)
7042, 69sylan9eqr 2800 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘) โ†’ (๐‘ mod 2) = 1)
7170rexlimdva2 3153 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘ mod 2) = 1))
7240, 71impbid 211 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
73 odd2np1 16158 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
7472, 73bitr4d 282 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†” ยฌ 2 โˆฅ ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2942  โˆƒwrex 3072   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983  โ„cr 10984  0cc0 10985  1c1 10986   + caddc 10988   ยท cmul 10990   < clt 11123   โˆ’ cmin 11319   / cdiv 11746  2c2 12142  โ„คcz 12433  โ„+crp 12844   mod cmo 13703   โˆฅ cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-rp 12845  df-fl 13626  df-mod 13704  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  26671  2lgslem3c1  26672  ex-mod  29179  dig2nn1st  46391  0dig2nn0o  46399  dig2bits  46400
  Copyright terms: Public domain W3C validator