Theorem mod2eq1n2dvds 16305

Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mod2eq1n2dvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeo 12604	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
2		zre 12517	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		2rp 12936	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
4		mod0 13824	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
5	2, 3, 4	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
6	5	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 mod 2) = 0)
7		eqeq1 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 0 → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ 0 = 1))
8		0ne1 12241	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≠ 1
9		eqneqall 2941	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
10	8, 9	mpi 20	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
11	7, 10	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 0 → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
12	6, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
13	12	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
14		peano2zm 12559	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
15		zcn 12518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16		xp1d2m1eqxm1d2 12420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
18	17	eleq1d 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
19	18	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
20	14, 19	mpan9 506	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21		oveq2 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
23	22	oveq1d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
24		peano2zm 12559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
26		2cnd 12248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
27		2ne0 12274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
29	25, 26, 28	divcan2d 11922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((𝑁 − 1) / 2)) = (𝑁 − 1))
30	29	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
31		npcan1 11564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
32	15, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
33	30, 32	eqtrd 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
34	33	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
35	23, 34	eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
36	20, 35	rspcedeq1vd 3569	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
37	36	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
38	37	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
39	13, 38	jaoi 858	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
40	1, 39	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
41		oveq1 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
42	41	eqcoms 2743	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
43		2cnd 12248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
44		zcn 12518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
45	43, 44	mulcomd 11155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) = (𝑛 · 2))
46	45	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) mod 2) = ((𝑛 · 2) mod 2))
47		mulmod0 13825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · 2) mod 2) = 0)
48	3, 47	mpan2 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) mod 2) = 0)
49	46, 48	eqtrd 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) mod 2) = 0)
50	49	oveq1d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) mod 2) + 1) = (0 + 1))
51		0p1e1 12287	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
52	50, 51	eqtrdi 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) mod 2) + 1) = 1)
53	52	oveq1d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (1 mod 2))
54		2z 12548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
56		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
57	55, 56	zmulcld 12628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
58	57	zred 12622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
59		1red 11134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
60	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
61		modaddmod 13860	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
62	58, 59, 60, 61	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
63		2re 12244	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
64		1lt2 12336	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
65	63, 64	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2)
66		1mod 13851	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (1 mod 2) = 1)
67	65, 66	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1 mod 2) = 1)
68	53, 62, 67	3eqtr3d 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) mod 2) = 1)
69	68	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) mod 2) = 1)
70	42, 69	sylan9eqr 2792	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (𝑁 mod 2) = 1)
71	70	rexlimdva2 3138	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 mod 2) = 1))
72	40, 71	impbid 212	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
73		odd2np1 16299	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
74	72, 73	bitr4d 282	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  ∃wrex 3059   class class class wbr 5074  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032   < clt 11168   − cmin 11366   / cdiv 11796  2c2 12225  ℤcz 12513  ℝ⁺crp 12931   mod cmo 13817   ∥ cdvds 16210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-sup 9344  df-inf 9345  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fl 13740  df-mod 13818  df-dvds 16211

This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  27352  2lgslem3c1  27353  ex-mod  30507  dig2nn1st  49069  0dig2nn0o  49077  dig2bits  49078