MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod2eq1n2dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod2eq1n2dvds 16384
Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
mod2eq1n2dvds (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zeo 12704 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
2 zre 12617 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 2rp 13039 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
4 mod0 13916 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
52, 3, 4sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
65biimpar 477 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 mod 2) = 0)
7 eqeq1 2741 . . . . . . . 8 ((𝑁 mod 2) = 0 → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ 0 = 1))
8 0ne1 12337 . . . . . . . . 9 0 ≠ 1
9 eqneqall 2951 . . . . . . . . 9 (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
108, 9mpi 20 . . . . . . . 8 (0 = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
117, 10biimtrdi 253 . . . . . . 7 ((𝑁 mod 2) = 0 → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
126, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
1312expcom 413 . . . . 5 ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
14 peano2zm 12660 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
15 zcn 12618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16 xp1d2m1eqxm1d2 12520 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
1817eleq1d 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
1918biimpd 229 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
2014, 19mpan9 506 . . . . . . . 8 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
2221adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
2322oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
24 peano2zm 12660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2524zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
26 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
27 2ne0 12370 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
2925, 26, 28divcan2d 12045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((𝑁 − 1) / 2)) = (𝑁 − 1))
3029oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
31 npcan1 11688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3215, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3330, 32eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
3433ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
3523, 34eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
3620, 35rspcedeq1vd 3629 . . . . . . 7 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
3736a1d 25 . . . . . 6 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
3837ex 412 . . . . 5 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
3913, 38jaoi 858 . . . 4 (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
401, 39mpcom 38 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
41 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
4241eqcoms 2745 . . . . 5 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
43 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
44 zcn 12618 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
4543, 44mulcomd 11282 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) = (𝑛 · 2))
4645oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) mod 2) = ((𝑛 · 2) mod 2))
47 mulmod0 13917 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · 2) mod 2) = 0)
483, 47mpan2 691 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) mod 2) = 0)
4946, 48eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) mod 2) = 0)
5049oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) mod 2) + 1) = (0 + 1))
51 0p1e1 12388 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
5250, 51eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) mod 2) + 1) = 1)
5352oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (1 mod 2))
54 2z 12649 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
56 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
5755, 56zmulcld 12728 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
5857zred 12722 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
59 1red 11262 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
603a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
61 modaddmod 13950 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
6258, 59, 60, 61syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
63 2re 12340 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
64 1lt2 12437 . . . . . . . . 9 1 < 2
6563, 64pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2)
66 1mod 13943 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (1 mod 2) = 1)
6765, 66mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → (1 mod 2) = 1)
6853, 62, 673eqtr3d 2785 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) mod 2) = 1)
6968adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) mod 2) = 1)
7042, 69sylan9eqr 2799 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (𝑁 mod 2) = 1)
7170rexlimdva2 3157 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 mod 2) = 1))
7240, 71impbid 212 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
73 odd2np1 16378 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
7472, 73bitr4d 282 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  cz 12613  +crp 13034   mod cmo 13909  cdvds 16290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-dvds 16291
This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  27445  2lgslem3c1  27446  ex-mod  30468  dig2nn1st  48526  0dig2nn0o  48534  dig2bits  48535
  Copyright terms: Public domain W3C validator