Theorem mod2eq1n2dvds 16316

Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mod2eq1n2dvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeo 12615	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
2		zre 12528	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		2rp 12947	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
4		mod0 13835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
5	2, 3, 4	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
6	5	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 mod 2) = 0)
7		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 0 → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ 0 = 1))
8		0ne1 12252	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≠ 1
9		eqneqall 2944	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
10	8, 9	mpi 20	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
11	7, 10	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 0 → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
12	6, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
13	12	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
14		peano2zm 12570	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
15		zcn 12529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16		xp1d2m1eqxm1d2 12431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
18	17	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
19	18	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
20	14, 19	mpan9 506	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21		oveq2 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
23	22	oveq1d 7382	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
24		peano2zm 12570	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
26		2cnd 12259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
27		2ne0 12285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
29	25, 26, 28	divcan2d 11933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((𝑁 − 1) / 2)) = (𝑁 − 1))
30	29	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
31		npcan1 11575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
32	15, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
33	30, 32	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
34	33	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
35	23, 34	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
36	20, 35	rspcedeq1vd 3572	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
37	36	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
38	37	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
39	13, 38	jaoi 858	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
40	1, 39	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
41		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
42	41	eqcoms 2745	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
43		2cnd 12259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
44		zcn 12529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
45	43, 44	mulcomd 11166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) = (𝑛 · 2))
46	45	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) mod 2) = ((𝑛 · 2) mod 2))
47		mulmod0 13836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · 2) mod 2) = 0)
48	3, 47	mpan2 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) mod 2) = 0)
49	46, 48	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) mod 2) = 0)
50	49	oveq1d 7382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) mod 2) + 1) = (0 + 1))
51		0p1e1 12298	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
52	50, 51	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) mod 2) + 1) = 1)
53	52	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (1 mod 2))
54		2z 12559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
56		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
57	55, 56	zmulcld 12639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
58	57	zred 12633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
59		1red 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
60	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
61		modaddmod 13871	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
62	58, 59, 60, 61	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
63		2re 12255	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
64		1lt2 12347	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
65	63, 64	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2)
66		1mod 13862	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (1 mod 2) = 1)
67	65, 66	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1 mod 2) = 1)
68	53, 62, 67	3eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) mod 2) = 1)
69	68	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) mod 2) = 1)
70	42, 69	sylan9eqr 2794	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (𝑁 mod 2) = 1)
71	70	rexlimdva2 3141	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 mod 2) = 1))
72	40, 71	impbid 212	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
73		odd2np1 16310	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
74	72, 73	bitr4d 282	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   − cmin 11377   / cdiv 11807  2c2 12236  ℤcz 12524  ℝ⁺crp 12942   mod cmo 13828   ∥ cdvds 16221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fl 13751  df-mod 13829  df-dvds 16222

This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  27364  2lgslem3c1  27365  ex-mod  30519  dig2nn1st  49075  0dig2nn0o  49083  dig2bits  49084