MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod2eq1n2dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod2eq1n2dvds 15445
Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
mod2eq1n2dvds (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zeo 11791 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
2 zre 11708 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 2rp 12117 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
4 mod0 12970 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
52, 3, 4sylancl 582 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
65biimpar 471 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 mod 2) = 0)
7 eqeq1 2829 . . . . . . . 8 ((𝑁 mod 2) = 0 → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ 0 = 1))
8 0ne1 11422 . . . . . . . . 9 0 ≠ 1
9 eqneqall 3010 . . . . . . . . 9 (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
108, 9mpi 20 . . . . . . . 8 (0 = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
117, 10syl6bi 245 . . . . . . 7 ((𝑁 mod 2) = 0 → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
126, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
1312expcom 404 . . . . 5 ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
14 peano2zm 11748 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
15 zcn 11709 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16 xp1d2m1eqxm1d2 11612 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
1817eleq1d 2891 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
1918biimpd 221 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
2014, 19mpan9 504 . . . . . . . 8 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21 oveq2 6913 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
2221adantl 475 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
2322oveq1d 6920 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
24 peano2zm 11748 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2524zcnd 11811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
26 2cnd 11429 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
27 2ne0 11462 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
2925, 26, 28divcan2d 11129 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((𝑁 − 1) / 2)) = (𝑁 − 1))
3029oveq1d 6920 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
31 npcan1 10779 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3215, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3330, 32eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
3433ad2antlr 720 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
3523, 34eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
3620, 35rspcedeq1vd 3535 . . . . . . 7 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
3736a1d 25 . . . . . 6 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
3837ex 403 . . . . 5 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
3913, 38jaoi 890 . . . 4 (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
401, 39mpcom 38 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
41 oveq1 6912 . . . . . 6 (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
4241eqcoms 2833 . . . . 5 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
43 2cnd 11429 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
44 zcn 11709 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
4543, 44mulcomd 10378 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) = (𝑛 · 2))
4645oveq1d 6920 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) mod 2) = ((𝑛 · 2) mod 2))
47 mulmod0 12971 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · 2) mod 2) = 0)
483, 47mpan2 684 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) mod 2) = 0)
4946, 48eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) mod 2) = 0)
5049oveq1d 6920 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) mod 2) + 1) = (0 + 1))
51 0p1e1 11480 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
5250, 51syl6eq 2877 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) mod 2) + 1) = 1)
5352oveq1d 6920 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (1 mod 2))
54 2z 11737 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
56 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
5755, 56zmulcld 11816 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
5857zred 11810 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
59 1red 10357 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
603a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
61 modaddmod 13004 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
6258, 59, 60, 61syl3anc 1496 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
63 2re 11425 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
64 1lt2 11529 . . . . . . . . 9 1 < 2
6563, 64pm3.2i 464 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2)
66 1mod 12997 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (1 mod 2) = 1)
6765, 66mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → (1 mod 2) = 1)
6853, 62, 673eqtr3d 2869 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) mod 2) = 1)
6968adantl 475 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) mod 2) = 1)
7042, 69sylan9eqr 2883 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (𝑁 mod 2) = 1)
7170rexlimdva2 3243 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 mod 2) = 1))
7240, 71impbid 204 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
73 odd2np1 15439 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
7472, 73bitr4d 274 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 880   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2999  wrex 3118   class class class wbr 4873  (class class class)co 6905  cc 10250  cr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   · cmul 10257   < clt 10391  cmin 10585   / cdiv 11009  2c2 11406  cz 11704  +crp 12112   mod cmo 12963  cdvds 15357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-fl 12888  df-mod 12964  df-dvds 15358
This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  25539  2lgslem3c1  25540  ex-mod  27864  dig2nn1st  43246  0dig2nn0o  43254  dig2bits  43255
  Copyright terms: Public domain W3C validator