MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod2eq1n2dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod2eq1n2dvds 16056
Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
mod2eq1n2dvds (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zeo 12406 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
2 zre 12323 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 2rp 12735 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
4 mod0 13596 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
52, 3, 4sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
65biimpar 478 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 mod 2) = 0)
7 eqeq1 2742 . . . . . . . 8 ((𝑁 mod 2) = 0 → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ 0 = 1))
8 0ne1 12044 . . . . . . . . 9 0 ≠ 1
9 eqneqall 2954 . . . . . . . . 9 (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
108, 9mpi 20 . . . . . . . 8 (0 = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
117, 10syl6bi 252 . . . . . . 7 ((𝑁 mod 2) = 0 → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
126, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
1312expcom 414 . . . . 5 ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
14 peano2zm 12363 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
15 zcn 12324 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16 xp1d2m1eqxm1d2 12227 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
1817eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
1918biimpd 228 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
2014, 19mpan9 507 . . . . . . . 8 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21 oveq2 7283 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
2221adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑁 − 1) / 2)))
2322oveq1d 7290 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
24 peano2zm 12363 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2524zcnd 12427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
26 2cnd 12051 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
27 2ne0 12077 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
2925, 26, 28divcan2d 11753 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((𝑁 − 1) / 2)) = (𝑁 − 1))
3029oveq1d 7290 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
31 npcan1 11400 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3215, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3330, 32eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
3433ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
3523, 34eqtrd 2778 . . . . . . . 8 (((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 = ((𝑁 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
3620, 35rspcedeq1vd 3566 . . . . . . 7 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
3736a1d 25 . . . . . 6 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
3837ex 413 . . . . 5 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
3913, 38jaoi 854 . . . 4 (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
401, 39mpcom 38 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
41 oveq1 7282 . . . . . 6 (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
4241eqcoms 2746 . . . . 5 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
43 2cnd 12051 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
44 zcn 12324 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
4543, 44mulcomd 10996 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) = (𝑛 · 2))
4645oveq1d 7290 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) mod 2) = ((𝑛 · 2) mod 2))
47 mulmod0 13597 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · 2) mod 2) = 0)
483, 47mpan2 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) mod 2) = 0)
4946, 48eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) mod 2) = 0)
5049oveq1d 7290 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) mod 2) + 1) = (0 + 1))
51 0p1e1 12095 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
5250, 51eqtrdi 2794 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) mod 2) + 1) = 1)
5352oveq1d 7290 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (1 mod 2))
54 2z 12352 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
56 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
5755, 56zmulcld 12432 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
5857zred 12426 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
59 1red 10976 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
603a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
61 modaddmod 13630 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
6258, 59, 60, 61syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) mod 2) + 1) mod 2) = (((2 · 𝑛) + 1) mod 2))
63 2re 12047 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
64 1lt2 12144 . . . . . . . . 9 1 < 2
6563, 64pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2)
66 1mod 13623 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (1 mod 2) = 1)
6765, 66mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → (1 mod 2) = 1)
6853, 62, 673eqtr3d 2786 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) mod 2) = 1)
6968adantl 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) mod 2) = 1)
7042, 69sylan9eqr 2800 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (𝑁 mod 2) = 1)
7170rexlimdva2 3216 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 mod 2) = 1))
7240, 71impbid 211 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
73 odd2np1 16050 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
7472, 73bitr4d 281 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009  cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  cz 12319  +crp 12730   mod cmo 13589  cdvds 15963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fl 13512  df-mod 13590  df-dvds 15964
This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  26549  2lgslem3c1  26550  ex-mod  28813  dig2nn1st  45951  0dig2nn0o  45959  dig2bits  45960
  Copyright terms: Public domain W3C validator