Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dignn0flhalflem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dignn0flhalflem1 47301
Description: Lemma 1 for dignn0flhalf 47304. (Contributed by AV, 7-Jun-2012.)
Assertion
Ref Expression
dignn0flhalflem1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด / (2โ†‘๐‘)) โˆ’ 1)) < (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (2โ†‘๐‘))))

Proof of Theorem dignn0flhalflem1
StepHypRef Expression
1 zre 12562 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
213ad2ant1 1134 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3 2rp 12979 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„+
43a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
5 nnz 12579 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
64, 5rpexpcld 14210 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„+)
76rpred 13016 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
873ad2ant3 1136 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
92, 8resubcld 11642 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
1063ad2ant3 1136 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„+)
119, 10modcld 13840 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) mod (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
129, 11resubcld 11642 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) mod (2โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„)
13 peano2zm 12605 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
1413zred 12666 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
15143ad2ant1 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1615, 10modcld 13840 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
1715, 16resubcld 11642 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„)
18 1red 11215 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
1918, 16readdcld 11243 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 + ((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„)
208, 11readdcld 11243 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘๐‘) + ((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) mod (2โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„)
21 2nn 12285 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„•
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
23 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2422, 23nnexpcld 14208 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„•)
2524anim2i 618 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„•))
26253adant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„•))
27 m1modmmod 47207 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘)) โˆ’ (๐ด mod (2โ†‘๐‘))) = if((๐ด mod (2โ†‘๐‘)) = 0, ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1), -1))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘)) โˆ’ (๐ด mod (2โ†‘๐‘))) = if((๐ด mod (2โ†‘๐‘)) = 0, ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1), -1))
29 nnz 12579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
31 zcn 12563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
32 xp1d2m1eqxm1d2 12466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐ด + 1) / 2) โˆ’ 1) = ((๐ด โˆ’ 1) / 2))
3332eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / 2) = (((๐ด + 1) / 2) โˆ’ 1))
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / 2) = (((๐ด + 1) / 2) โˆ’ 1))
3534adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / 2) = (((๐ด + 1) / 2) โˆ’ 1))
3635eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†” (((๐ด + 1) / 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค))
37 peano2z 12603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด + 1) / 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ ((((๐ด + 1) / 2) โˆ’ 1) + 1) โˆˆ โ„ค)
3831adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
39 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4038, 39addcld 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„‚)
4140halfcld 12457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด + 1) / 2) โˆˆ โ„‚)
4241, 39npcand 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐ด + 1) / 2) โˆ’ 1) + 1) = ((๐ด + 1) / 2))
4342eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((((๐ด + 1) / 2) โˆ’ 1) + 1) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐ด + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
4437, 43imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐ด + 1) / 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ด + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
4536, 44sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ด + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
46 mod0 13841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod (2โ†‘๐‘)) = 0 โ†” (๐ด / (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ค))
471, 6, 46syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด mod (2โ†‘๐‘)) = 0 โ†” (๐ด / (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ค))
4822nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
49 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
50 zexpcl 14042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
5148, 49, 50syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
5251adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
5352adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด / (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
54 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด / (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ค)
5553, 54zmulcld 12672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด / (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด / (2โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„ค)
5655ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ค โ†’ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด / (2โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„ค))
575adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
5857zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5939negcld 11558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
6058, 39negsubd 11577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ + -1) = (๐‘ โˆ’ 1))
6160eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) = (๐‘ + -1))
6258, 59, 61mvrladdd 11627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘) = -1)
6362oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘)) = (2โ†‘-1))
64 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
65 2ne0 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 โ‰  0
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โ‰  0)
67 1zzd 12593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
685, 67zsubcld 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
6968, 5jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
7069adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
71 expsub 14076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (2โ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘)) = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / (2โ†‘๐‘)))
7264, 66, 70, 71syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘((๐‘ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘)) = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / (2โ†‘๐‘)))
73 expn1 14037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 โˆˆ โ„‚ โ†’ (2โ†‘-1) = (1 / 2))
7464, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘-1) = (1 / 2))
7563, 72, 743eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / (2โ†‘๐‘)) = (1 / 2))
7675oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / (2โ†‘๐‘))) = (๐ด ยท (1 / 2)))
77 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
7877, 49expcld 14111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
7978adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
803a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
8180, 57rpexpcld 14210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„+)
8281rpcnne0d 13025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘๐‘) โ‰  0))
83 div12 11894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘๐‘) โ‰  0)) โ†’ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด / (2โ†‘๐‘))) = (๐ด ยท ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / (2โ†‘๐‘))))
8479, 38, 82, 83syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด / (2โ†‘๐‘))) = (๐ด ยท ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / (2โ†‘๐‘))))
8538, 64, 66divrecd 11993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / 2) = (๐ด ยท (1 / 2)))
8676, 84, 853eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด / (2โ†‘๐‘))) = (๐ด / 2))
8786eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด / (2โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„ค โ†” (๐ด / 2) โˆˆ โ„ค))
8856, 87sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„ค))
8947, 88sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด mod (2โ†‘๐‘)) = 0 โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„ค))
90 zeo2 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ยฌ ((๐ด + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
9190adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ยฌ ((๐ด + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
9289, 91sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด mod (2โ†‘๐‘)) = 0 โ†’ ยฌ ((๐ด + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
9392necon2ad 2956 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด mod (2โ†‘๐‘)) โ‰  0))
9430, 45, 933syld 60 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด mod (2โ†‘๐‘)) โ‰  0))
9594ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด mod (2โ†‘๐‘)) โ‰  0)))
9695com23 86 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด mod (2โ†‘๐‘)) โ‰  0)))
97963imp 1112 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด mod (2โ†‘๐‘)) โ‰  0)
9897neneqd 2946 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ (๐ด mod (2โ†‘๐‘)) = 0)
9998iffalsed 4540 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ if((๐ด mod (2โ†‘๐‘)) = 0, ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1), -1) = -1)
10028, 99eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘)) โˆ’ (๐ด mod (2โ†‘๐‘))) = -1)
101 neg1lt0 12329 . . . . . . . . . 10 -1 < 0
102 2re 12286 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„
103 1lt2 12383 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
104 expgt1 14066 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง 1 < 2) โ†’ 1 < (2โ†‘๐‘))
105102, 103, 104mp3an13 1453 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 < (2โ†‘๐‘))
106 1red 11215 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
107106, 7posdifd 11801 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 < (2โ†‘๐‘) โ†” 0 < ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))
108105, 107mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))
109106renegcld 11641 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -1 โˆˆ โ„)
110 0red 11217 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โˆˆ โ„)
1117, 106resubcld 11642 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
112 lttr 11290 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((-1 < 0 โˆง 0 < ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) โ†’ -1 < ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))
113109, 110, 111, 112syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((-1 < 0 โˆง 0 < ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)) โ†’ -1 < ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))
114108, 113mpan2d 693 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (-1 < 0 โ†’ -1 < ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1)))
115101, 114mpi 20 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -1 < ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))
1161153ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ -1 < ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))
117100, 116eqbrtrd 5171 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘)) โˆ’ (๐ด mod (2โ†‘๐‘))) < ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))
1182, 10modcld 13840 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด mod (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
119 ltsubadd2b 47197 . . . . . . . 8 (((1 โˆˆ โ„ โˆง (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„) โˆง ((๐ด mod (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘)) โˆ’ (๐ด mod (2โ†‘๐‘))) < ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โ†” (1 + ((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘))) < ((2โ†‘๐‘) + (๐ด mod (2โ†‘๐‘)))))
12018, 8, 118, 16, 119syl22anc 838 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘)) โˆ’ (๐ด mod (2โ†‘๐‘))) < ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) โ†” (1 + ((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘))) < ((2โ†‘๐‘) + (๐ด mod (2โ†‘๐‘)))))
121117, 120mpbid 231 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 + ((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘))) < ((2โ†‘๐‘) + (๐ด mod (2โ†‘๐‘))))
122 modid0 13862 . . . . . . . . . . . 12 ((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„+ โ†’ ((2โ†‘๐‘) mod (2โ†‘๐‘)) = 0)
12310, 122syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘๐‘) mod (2โ†‘๐‘)) = 0)
124123oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด mod (2โ†‘๐‘)) โˆ’ ((2โ†‘๐‘) mod (2โ†‘๐‘))) = ((๐ด mod (2โ†‘๐‘)) โˆ’ 0))
125118recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด mod (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
126125subid1d 11560 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด mod (2โ†‘๐‘)) โˆ’ 0) = (๐ด mod (2โ†‘๐‘)))
127124, 126eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด mod (2โ†‘๐‘)) โˆ’ ((2โ†‘๐‘) mod (2โ†‘๐‘))) = (๐ด mod (2โ†‘๐‘)))
128127oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด mod (2โ†‘๐‘)) โˆ’ ((2โ†‘๐‘) mod (2โ†‘๐‘))) mod (2โ†‘๐‘)) = ((๐ด mod (2โ†‘๐‘)) mod (2โ†‘๐‘)))
129 modsubmodmod 13895 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ด mod (2โ†‘๐‘)) โˆ’ ((2โ†‘๐‘) mod (2โ†‘๐‘))) mod (2โ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) mod (2โ†‘๐‘)))
1302, 8, 10, 129syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด mod (2โ†‘๐‘)) โˆ’ ((2โ†‘๐‘) mod (2โ†‘๐‘))) mod (2โ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) mod (2โ†‘๐‘)))
131 modabs2 13870 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod (2โ†‘๐‘)) mod (2โ†‘๐‘)) = (๐ด mod (2โ†‘๐‘)))
1322, 10, 131syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด mod (2โ†‘๐‘)) mod (2โ†‘๐‘)) = (๐ด mod (2โ†‘๐‘)))
133128, 130, 1323eqtr3d 2781 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) mod (2โ†‘๐‘)) = (๐ด mod (2โ†‘๐‘)))
134133oveq2d 7425 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘๐‘) + ((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) mod (2โ†‘๐‘))) = ((2โ†‘๐‘) + (๐ด mod (2โ†‘๐‘))))
135121, 134breqtrrd 5177 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 + ((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘))) < ((2โ†‘๐‘) + ((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) mod (2โ†‘๐‘))))
13619, 20, 2, 135ltsub2dd 11827 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆ’ ((2โ†‘๐‘) + ((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) mod (2โ†‘๐‘)))) < (๐ด โˆ’ (1 + ((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘)))))
137313ad2ant1 1134 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1388recnd 11242 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
13911recnd 11242 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) mod (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
140137, 138, 139subsub4d 11602 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) mod (2โ†‘๐‘))) = (๐ด โˆ’ ((2โ†‘๐‘) + ((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) mod (2โ†‘๐‘)))))
141 1cnd 11209 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
14216recnd 11242 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
143137, 141, 142subsub4d 11602 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘))) = (๐ด โˆ’ (1 + ((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘)))))
144136, 140, 1433brtr4d 5181 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) mod (2โ†‘๐‘))) < ((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘))))
14512, 17, 10, 144ltdiv1dd 13073 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) mod (2โ†‘๐‘))) / (2โ†‘๐‘)) < (((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘))) / (2โ†‘๐‘)))
1467recnd 11242 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
1471463ad2ant3 1136 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
14865a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โ‰  0)
14977, 148, 5expne0d 14117 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘) โ‰  0)
1501493ad2ant3 1136 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘) โ‰  0)
151 divsub1dir 47198 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘๐‘) โ‰  0) โ†’ ((๐ด / (2โ†‘๐‘)) โˆ’ 1) = ((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) / (2โ†‘๐‘)))
152151fveq2d 6896 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘๐‘) โ‰  0) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด / (2โ†‘๐‘)) โˆ’ 1)) = (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) / (2โ†‘๐‘))))
153137, 147, 150, 152syl3anc 1372 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด / (2โ†‘๐‘)) โˆ’ 1)) = (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) / (2โ†‘๐‘))))
154 fldivmod 47204 . . . 4 (((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) / (2โ†‘๐‘))) = (((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) mod (2โ†‘๐‘))) / (2โ†‘๐‘)))
1559, 10, 154syl2anc 585 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) / (2โ†‘๐‘))) = (((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) mod (2โ†‘๐‘))) / (2โ†‘๐‘)))
156153, 155eqtrd 2773 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด / (2โ†‘๐‘)) โˆ’ 1)) = (((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ (2โ†‘๐‘)) mod (2โ†‘๐‘))) / (2โ†‘๐‘)))
157 fldivmod 47204 . . 3 (((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (2โ†‘๐‘))) = (((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘))) / (2โ†‘๐‘)))
15815, 10, 157syl2anc 585 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (2โ†‘๐‘))) = (((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ((๐ด โˆ’ 1) mod (2โ†‘๐‘))) / (2โ†‘๐‘)))
159145, 156, 1583brtr4d 5181 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด / (2โ†‘๐‘)) โˆ’ 1)) < (โŒŠโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / (2โ†‘๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  ifcif 4529   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„+crp 12974  โŒŠcfl 13755   mod cmo 13834  โ†‘cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  dignn0flhalflem2  47302
  Copyright terms: Public domain W3C validator