dignn0flhalflem1 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem dignn0flhalflem1 50058

Description: Lemma 1 for dignn0flhalf 50061. (Contributed by AV, 7-Jun-2012.)

**Assertion**
Ref	Expression
dignn0flhalflem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) < (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑𝑁))))

**Proof of Theorem dignn0flhalflem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12737	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		2rp 13165	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
5		nnz 12754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
6	4, 5	rpexpcld 14432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺)
7	6	rpred 13204	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
8	7	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
9	2, 8	resubcld 11783	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
10	6	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺)
11	9, 10	modcld 14055	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
12	9, 11	resubcld 11783	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
13		peano2zm 12779	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
14	13	zred 12843	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
16	15, 10	modcld 14055	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
17	15, 16	resubcld 11783	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
18		1red 11348	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
19	18, 16	readdcld 11377	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
20	8, 11	readdcld 11377	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
21		2nn 12456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
23		nnnn0 12653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
24	22, 23	nnexpcld 14430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
25	24	anim2i 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ))
26	25	3adant2 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ))
27		m1modmmod 48707	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) = if((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0, ((2↑𝑁) − 1), -1))
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) = if((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0, ((2↑𝑁) − 1), -1))
29		nnz 12754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
31		zcn 12738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
32		xp1d2m1eqxm1d2 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 + 1) / 2) − 1) = ((𝐴 − 1) / 2))
33	32	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) / 2) = (((𝐴 + 1) / 2) − 1))
34	31, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 − 1) / 2) = (((𝐴 + 1) / 2) − 1))
35	34	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) / 2) = (((𝐴 + 1) / 2) − 1))
36	35	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ (((𝐴 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ))
37		peano2z 12777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((((𝐴 + 1) / 2) − 1) + 1) ∈ ℤ)
38	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
39		1cnd 11341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39	addcld 11367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
41	40	halfcld 12631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℂ)
42	41, 39	npcand 11712	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐴 + 1) / 2) − 1) + 1) = ((𝐴 + 1) / 2))
43	42	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐴 + 1) / 2) − 1) + 1) ∈ ℤ ↔ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
44	37, 43	imbitrid 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐴 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
45	36, 44	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
46		mod0 14056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
47	1, 6, 46	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
48	22	nnzd 12759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
49		nnm1nn0 12687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
50	48, 49	zexpcld 14270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
51	50	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
52	51	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
53		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ) → (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
54	52, 53	zmulcld 12849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ) → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ)
55	54	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ))
56	5	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
57	56	zcnd 12844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
58	39	negcld 11695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
59	57, 39	negsubd 11714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + -1) = (𝑁 − 1))
60	57, 58, 59	mvlladdcd 11765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) − 𝑁) = -1)
61	60	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑((𝑁 − 1) − 𝑁)) = (2↑ -1))
62		2cnd 12461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
63		2ne0 12489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 ≠ 0
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
65		1zzd 12767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
66	5, 65	zsubcld 12848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
67	66, 5	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
68	67	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
69		expsub 14293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (2↑((𝑁 − 1) − 𝑁)) = ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁)))
70	62, 64, 68, 69	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑((𝑁 − 1) − 𝑁)) = ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁)))
71		expn1 14254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑ -1) = (1 / 2))
72	62, 71	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑ -1) = (1 / 2))
73	61, 70, 72	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁)) = (1 / 2))
74	73	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁))) = (𝐴 · (1 / 2)))
75		2cnd 12461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
76	75, 49	expcld 14329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
77	76	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
78	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ⁺)
79	78, 56	rpexpcld 14432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺)
80	79	rpcnne0d 13213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0))
81		div12 12036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0)) → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 · ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁))))
82	77, 38, 80, 81	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 · ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁))))
83	38, 62, 64	divrecd 12136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 2) = (𝐴 · (1 / 2)))
84	74, 82, 83	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 / 2))
85	84	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ ↔ (𝐴 / 2) ∈ ℤ))
86	55, 85	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ → (𝐴 / 2) ∈ ℤ))
87	47, 86	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ))
88		zeo2 12826	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
89	88	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
90	87, 89	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0 → ¬ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
91	90	necon2ad 2974	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0))
92	30, 45, 91	3syld 61	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0))
93	92	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0)))
94	93	com23 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0)))
95	94	3imp 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0)
96	95	neneqd 2964	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ (𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0)
97	96	iffalsed 4496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0, ((2↑𝑁) − 1), -1) = -1)
98	28, 97	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) = -1)
99		neg1lt0 12348	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 < 0
100		2re 12457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
101		1lt2 12555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
102		expgt1 14283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑𝑁))
103	100, 101, 102	mp3an13 1482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (2↑𝑁))
104		1red 11348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
105	104, 7	posdifd 11943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 < (2↑𝑁) ↔ 0 < ((2↑𝑁) − 1)))
106	103, 105	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2↑𝑁) − 1))
107	104	renegcld 11782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℝ)
108		0red 11350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
109	7, 104	resubcld 11783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℝ)
110		lttr 11425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( -1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℝ) → (( -1 < 0 ∧ 0 < ((2↑𝑁) − 1)) → -1 < ((2↑𝑁) − 1)))
111	107, 108, 109, 110	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (( -1 < 0 ∧ 0 < ((2↑𝑁) − 1)) → -1 < ((2↑𝑁) − 1)))
112	106, 111	mpan2d 707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( -1 < 0 → -1 < ((2↑𝑁) − 1)))
113	99, 112	mpi 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < ((2↑𝑁) − 1))
114	113	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -1 < ((2↑𝑁) − 1))
115	98, 114	eqbrtrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) − 1))
116	2, 10	modcld 14055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
117		ltsubadd2b 49959	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ)) → ((((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) − 1) ↔ (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
118	18, 8, 116, 16, 117	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) − 1) ↔ (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
119	115, 118	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) + (𝐴 mod (2↑𝑁))))
120		modid0 14077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2↑𝑁) ∈ ℝ⁺ → ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁)) = 0)
121	10, 120	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁)) = 0)
122	121	oveq2d 7467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) = ((𝐴 mod (2↑𝑁)) − 0))
123	116	recnd 11376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
124	123	subid1d 11697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) − 0) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
125	122, 124	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
126	125	oveq1d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((𝐴 mod (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))
127		modsubmodmod 14113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺) → (((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))
128	2, 8, 10, 127	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))
129		modabs2 14085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
130	2, 10, 129	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
131	126, 128, 130	3eqtr3d 2806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
132	131	oveq2d 7467	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) = ((2↑𝑁) + (𝐴 mod (2↑𝑁))))
133	119, 132	breqtrrd 5139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))))
134	19, 20, 2, 133	ltsub2dd 11969	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))) < (𝐴 − (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)))))
135	31	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
136	8	recnd 11376	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
137	11	recnd 11376	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
138	135, 136, 137	subsub4d 11739	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) = (𝐴 − ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))))
139		1cnd 11341	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
140	16	recnd 11376	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
141	135, 139, 140	subsub4d 11739	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) = (𝐴 − (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)))))
142	134, 138, 141	3brtr4d 5143	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) < ((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))))
143	12, 17, 10, 142	ltdiv1dd 13261	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) < (((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
144	7	recnd 11376	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
145	144	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
146	63	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
147	75, 146, 5	expne0d 14335	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ≠ 0)
148	147	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ≠ 0)
149		divsub1dir 49960	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0) → ((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1) = ((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)))
150	149	fveq2d 6920	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) = (⌊‘((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁))))
151	135, 145, 148, 150	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) = (⌊‘((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁))))
152		fldivmod 48687	. . . 4 ⊢ (((𝐴 − (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺) → (⌊‘((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁))) = (((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
153	9, 10, 152	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁))) = (((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
154	151, 153	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) = (((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
155		fldivmod 48687	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑𝑁))) = (((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
156	15, 10, 155	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑𝑁))) = (((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
157	143, 154, 156	3brtr4d 5143	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) < (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑𝑁))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 ≠ wne 2959 ifcif 4485 class class class wbr 5108 ‘cfv 6566 (class class class)co 7451 ℂcc 11237 ℝcr 11238 0cc0 11239 1c1 11240 + caddc 11242 · cmul 11244 < clt 11382 − cmin 11580 -cneg 11581 / cdiv 12013 ℕcn 12375 2c2 12437 ℤcz 12733 ℝ⁺crp 13160 ⌊cfl 13970 mod cmo 14049 ↑cexp 14244

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-sep 5255 ax-nul 5266 ax-pow 5334 ax-pr 5398 ax-un 7783 ax-cnex 11295 ax-resscn 11296 ax-1cn 11297 ax-icn 11298 ax-addcl 11299 ax-addrcl 11300 ax-mulcl 11301 ax-mulrcl 11302 ax-mulcom 11303 ax-addass 11304 ax-mulass 11305 ax-distr 11306 ax-i2m1 11307 ax-1ne0 11308 ax-1rid 11309 ax-rnegex 11310 ax-rrecex 11311 ax-cnre 11312 ax-pre-lttri 11313 ax-pre-lttrn 11314 ax-pre-ltadd 11315 ax-pre-mulgt0 11316 ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-op 4841 df-uni 4873 df-iun 4958 df-br 5109 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-we 5613 df-xp 5664 df-rel 5665 df-cnv 5666 df-co 5667 df-dm 5668 df-rn 5669 df-res 5670 df-ima 5671 df-pred 6330 df-ord 6391 df-on 6392 df-lim 6393 df-suc 6394 df-iota 6520 df-fun 6568 df-fn 6569 df-f 6570 df-f1 6571 df-fo 6572 df-f1o 6573 df-fv 6574 df-riota 7408 df-ov 7454 df-oprab 7455 df-mpo 7456 df-om 7912 df-1st 8035 df-2nd 8036 df-frecs 8337 df-wrecs 8368 df-recs 8417 df-rdg 8456 df-er 8755 df-en 9012 df-dom 9013 df-sdom 9014 df-sup 9471 df-inf 9472 df-pnf 11384 df-mnf 11385 df-xr 11386 df-ltxr 11387 df-le 11388 df-sub 11582 df-neg 11583 df-div 12014 df-nn 12376 df-2 12445 df-n0 12647 df-z 12734 df-uz 13006 df-rp 13161 df-fz 13680 df-fzo 13829 df-fl 13972 df-mod 14050 df-seq 14185 df-exp 14245

This theorem is used by: dignn0flhalflem2 50059

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