dignn0flhalflem1 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem dignn0flhalflem1 48604

Description: Lemma 1 for dignn0flhalf 48607. (Contributed by AV, 7-Jun-2012.)

**Assertion**
Ref	Expression
dignn0flhalflem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) < (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑𝑁))))

**Proof of Theorem dignn0flhalflem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12533	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		2rp 12956	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
5		nnz 12550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
6	4, 5	rpexpcld 14212	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺)
7	6	rpred 12995	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
8	7	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
9	2, 8	resubcld 11606	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
10	6	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺)
11	9, 10	modcld 13837	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
12	9, 11	resubcld 11606	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
13		peano2zm 12576	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
14	13	zred 12638	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
16	15, 10	modcld 13837	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
17	15, 16	resubcld 11606	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
18		1red 11175	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
19	18, 16	readdcld 11203	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
20	8, 11	readdcld 11203	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
21		2nn 12259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
23		nnnn0 12449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
24	22, 23	nnexpcld 14210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
25	24	anim2i 617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ))
26	25	3adant2 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ))
27		m1modmmod 47359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) = if((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0, ((2↑𝑁) − 1), -1))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) = if((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0, ((2↑𝑁) − 1), -1))
29		nnz 12550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
31		zcn 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
32		xp1d2m1eqxm1d2 12436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 + 1) / 2) − 1) = ((𝐴 − 1) / 2))
33	32	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) / 2) = (((𝐴 + 1) / 2) − 1))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 − 1) / 2) = (((𝐴 + 1) / 2) − 1))
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) / 2) = (((𝐴 + 1) / 2) − 1))
36	35	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ (((𝐴 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ))
37		peano2z 12574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((((𝐴 + 1) / 2) − 1) + 1) ∈ ℤ)
38	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
39		1cnd 11169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39	addcld 11193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
41	40	halfcld 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℂ)
42	41, 39	npcand 11537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐴 + 1) / 2) − 1) + 1) = ((𝐴 + 1) / 2))
43	42	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐴 + 1) / 2) − 1) + 1) ∈ ℤ ↔ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
44	37, 43	imbitrid 244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐴 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
45	36, 44	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
46		mod0 13838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
47	1, 6, 46	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
48	22	nnzd 12556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
49		nnm1nn0 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
50		zexpcl 14041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
51	48, 49, 50	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
54		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ) → (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
55	53, 54	zmulcld 12644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ) → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ)
56	55	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ))
57	5	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
58	57	zcnd 12639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
59	39	negcld 11520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
60	58, 39	negsubd 11539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + -1) = (𝑁 − 1))
61	60	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) = (𝑁 + -1))
62	58, 59, 61	mvrladdd 11591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) − 𝑁) = -1)
63	62	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑((𝑁 − 1) − 𝑁)) = (2↑-1))
64		2cnd 12264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
65		2ne0 12290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 ≠ 0
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
67		1zzd 12564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
68	5, 67	zsubcld 12643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
69	68, 5	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
70	69	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
71		expsub 14075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (2↑((𝑁 − 1) − 𝑁)) = ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁)))
72	64, 66, 70, 71	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑((𝑁 − 1) − 𝑁)) = ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁)))
73		expn1 14036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑-1) = (1 / 2))
74	64, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑-1) = (1 / 2))
75	63, 72, 74	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁)) = (1 / 2))
76	75	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁))) = (𝐴 · (1 / 2)))
77		2cnd 12264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
78	77, 49	expcld 14111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
79	78	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
80	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ⁺)
81	80, 57	rpexpcld 14212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺)
82	81	rpcnne0d 13004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0))
83		div12 11859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0)) → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 · ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁))))
84	79, 38, 82, 83	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 · ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁))))
85	38, 64, 66	divrecd 11961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 2) = (𝐴 · (1 / 2)))
86	76, 84, 85	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 / 2))
87	86	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ ↔ (𝐴 / 2) ∈ ℤ))
88	56, 87	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ → (𝐴 / 2) ∈ ℤ))
89	47, 88	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ))
90		zeo2 12621	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
92	89, 91	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0 → ¬ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
93	92	necon2ad 2940	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0))
94	30, 45, 93	3syld 60	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0))
95	94	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0)))
96	95	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0)))
97	96	3imp 1110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0)
98	97	neneqd 2930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ (𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0)
99	98	iffalsed 4499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0, ((2↑𝑁) − 1), -1) = -1)
100	28, 99	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) = -1)
101		neg1lt0 12174	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 < 0
102		2re 12260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
103		1lt2 12352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
104		expgt1 14065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑𝑁))
105	102, 103, 104	mp3an13 1454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (2↑𝑁))
106		1red 11175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
107	106, 7	posdifd 11765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 < (2↑𝑁) ↔ 0 < ((2↑𝑁) − 1)))
108	105, 107	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2↑𝑁) − 1))
109	106	renegcld 11605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℝ)
110		0red 11177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
111	7, 106	resubcld 11606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℝ)
112		lttr 11250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℝ) → ((-1 < 0 ∧ 0 < ((2↑𝑁) − 1)) → -1 < ((2↑𝑁) − 1)))
113	109, 110, 111, 112	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((-1 < 0 ∧ 0 < ((2↑𝑁) − 1)) → -1 < ((2↑𝑁) − 1)))
114	108, 113	mpan2d 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1 < 0 → -1 < ((2↑𝑁) − 1)))
115	101, 114	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < ((2↑𝑁) − 1))
116	115	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -1 < ((2↑𝑁) − 1))
117	100, 116	eqbrtrd 5129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) − 1))
118	2, 10	modcld 13837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
119		ltsubadd2b 48505	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ)) → ((((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) − 1) ↔ (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
120	18, 8, 118, 16, 119	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) − 1) ↔ (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
121	117, 120	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) + (𝐴 mod (2↑𝑁))))
122		modid0 13859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2↑𝑁) ∈ ℝ⁺ → ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁)) = 0)
123	10, 122	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁)) = 0)
124	123	oveq2d 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) = ((𝐴 mod (2↑𝑁)) − 0))
125	118	recnd 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
126	125	subid1d 11522	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) − 0) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
127	124, 126	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
128	127	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((𝐴 mod (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))
129		modsubmodmod 13895	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺) → (((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))
130	2, 8, 10, 129	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))
131		modabs2 13867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
132	2, 10, 131	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
133	128, 130, 132	3eqtr3d 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
134	133	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) = ((2↑𝑁) + (𝐴 mod (2↑𝑁))))
135	121, 134	breqtrrd 5135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))))
136	19, 20, 2, 135	ltsub2dd 11791	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))) < (𝐴 − (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)))))
137	31	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
138	8	recnd 11202	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
139	11	recnd 11202	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
140	137, 138, 139	subsub4d 11564	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) = (𝐴 − ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))))
141		1cnd 11169	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
142	16	recnd 11202	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
143	137, 141, 142	subsub4d 11564	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) = (𝐴 − (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)))))
144	136, 140, 143	3brtr4d 5139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) < ((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))))
145	12, 17, 10, 144	ltdiv1dd 13052	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) < (((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
146	7	recnd 11202	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
147	146	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
148	65	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
149	77, 148, 5	expne0d 14117	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ≠ 0)
150	149	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ≠ 0)
151		divsub1dir 48506	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0) → ((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1) = ((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)))
152	151	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) = (⌊‘((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁))))
153	137, 147, 150, 152	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) = (⌊‘((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁))))
154		fldivmod 47339	. . . 4 ⊢ (((𝐴 − (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺) → (⌊‘((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁))) = (((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
155	9, 10, 154	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁))) = (((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
156	153, 155	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) = (((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
157		fldivmod 47339	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑𝑁))) = (((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
158	15, 10, 157	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑𝑁))) = (((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
159	145, 156, 158	3brtr4d 5139	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) < (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑𝑁))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ifcif 4488 class class class wbr 5107 ‘cfv 6511 (class class class)co 7387 ℂcc 11066 ℝcr 11067 0cc0 11068 1c1 11069 + caddc 11071 · cmul 11073 < clt 11208 − cmin 11405 -cneg 11406 / cdiv 11835 ℕcn 12186 2c2 12241 ℕ₀cn0 12442 ℤcz 12529 ℝ⁺crp 12951 ⌊cfl 13752 mod cmo 13831 ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145 ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4872 df-iun 4957 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-om 7843 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-er 8671 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-sup 9393 df-inf 9394 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-div 11836 df-nn 12187 df-2 12249 df-n0 12443 df-z 12530 df-uz 12794 df-rp 12952 df-fz 13469 df-fzo 13616 df-fl 13754 df-mod 13832 df-seq 13967 df-exp 14027

This theorem is referenced by: dignn0flhalflem2 48605

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