Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dignn0flhalflem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dignn0flhalflem1 44847
Description: Lemma 1 for dignn0flhalf 44850. (Contributed by AV, 7-Jun-2012.)
Assertion
Ref Expression
dignn0flhalflem1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) < (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑𝑁))))

Proof of Theorem dignn0flhalflem1
StepHypRef Expression
1 zre 11963 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
213ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 2rp 12372 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
5 nnz 11982 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
64, 5rpexpcld 13592 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
76rpred 12409 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
873ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
92, 8resubcld 11045 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
1063ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
119, 10modcld 13226 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
129, 11resubcld 11045 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
13 peano2zm 12003 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
1413zred 12065 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
15143ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
1615, 10modcld 13226 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
1715, 16resubcld 11045 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
18 1red 10619 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
1918, 16readdcld 10647 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
208, 11readdcld 10647 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
21 2nn 11688 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
23 nnnn0 11882 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2422, 23nnexpcld 13590 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
2524anim2i 619 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ))
26253adant2 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ))
27 m1modmmod 44753 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) = if((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0, ((2↑𝑁) − 1), -1))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) = if((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0, ((2↑𝑁) − 1), -1))
29 nnz 11982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
31 zcn 11964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
32 xp1d2m1eqxm1d2 11869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 + 1) / 2) − 1) = ((𝐴 − 1) / 2))
3332eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) / 2) = (((𝐴 + 1) / 2) − 1))
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 − 1) / 2) = (((𝐴 + 1) / 2) − 1))
3534adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) / 2) = (((𝐴 + 1) / 2) − 1))
3635eleq1d 2896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ (((𝐴 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ))
37 peano2z 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((((𝐴 + 1) / 2) − 1) + 1) ∈ ℤ)
3831adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
39 1cnd 10613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
4038, 39addcld 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
4140halfcld 11860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℂ)
4241, 39npcand 10978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐴 + 1) / 2) − 1) + 1) = ((𝐴 + 1) / 2))
4342eleq1d 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐴 + 1) / 2) − 1) + 1) ∈ ℤ ↔ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4437, 43syl5ib 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐴 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4536, 44sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
46 mod0 13227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
471, 6, 46syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
4822nnzd 12064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
49 nnm1nn0 11916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
50 zexpcl 13428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
5148, 49, 50syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
5251adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
5352adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
54 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ) → (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
5553, 54zmulcld 12071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ) → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ)
5655ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ))
575adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5857zcnd 12066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5939negcld 10961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
6058, 39negsubd 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + -1) = (𝑁 − 1))
6160eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) = (𝑁 + -1))
6258, 59, 61mvrladdd 11030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) − 𝑁) = -1)
6362oveq2d 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑((𝑁 − 1) − 𝑁)) = (2↑-1))
64 2cnd 11693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
65 2ne0 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ≠ 0
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
67 1zzd 11991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
685, 67zsubcld 12070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
6968, 5jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7069adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
71 expsub 13461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (2↑((𝑁 − 1) − 𝑁)) = ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁)))
7264, 66, 70, 71syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑((𝑁 − 1) − 𝑁)) = ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁)))
73 expn1 13423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 ∈ ℂ → (2↑-1) = (1 / 2))
7464, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑-1) = (1 / 2))
7563, 72, 743eqtr3d 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁)) = (1 / 2))
7675oveq2d 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁))) = (𝐴 · (1 / 2)))
77 2cnd 11693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
7877, 49expcld 13494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
7978adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
803a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
8180, 57rpexpcld 13592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
8281rpcnne0d 12418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0))
83 div12 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0)) → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 · ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁))))
8479, 38, 82, 83syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 · ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁))))
8538, 64, 66divrecd 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 2) = (𝐴 · (1 / 2)))
8676, 84, 853eqtr4d 2866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 / 2))
8786eleq1d 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ ↔ (𝐴 / 2) ∈ ℤ))
8856, 87sylibd 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ → (𝐴 / 2) ∈ ℤ))
8947, 88sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ))
90 zeo2 12047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
9190adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
9289, 91sylibd 242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0 → ¬ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
9392necon2ad 3022 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0))
9430, 45, 933syld 60 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0))
9594ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0)))
9695com23 86 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℤ → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0)))
97963imp 1108 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0)
9897neneqd 3012 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ (𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0)
9998iffalsed 4451 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0, ((2↑𝑁) − 1), -1) = -1)
10028, 99eqtrd 2856 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) = -1)
101 neg1lt0 11732 . . . . . . . . . 10 -1 < 0
102 2re 11689 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
103 1lt2 11786 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
104 expgt1 13451 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑𝑁))
105102, 103, 104mp3an13 1449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (2↑𝑁))
106 1red 10619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
107106, 7posdifd 11204 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (1 < (2↑𝑁) ↔ 0 < ((2↑𝑁) − 1)))
108105, 107mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2↑𝑁) − 1))
109106renegcld 11044 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℝ)
110 0red 10621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
1117, 106resubcld 11045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℝ)
112 lttr 10694 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℝ) → ((-1 < 0 ∧ 0 < ((2↑𝑁) − 1)) → -1 < ((2↑𝑁) − 1)))
113109, 110, 111, 112syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1 < 0 ∧ 0 < ((2↑𝑁) − 1)) → -1 < ((2↑𝑁) − 1)))
114108, 113mpan2d 693 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (-1 < 0 → -1 < ((2↑𝑁) − 1)))
115101, 114mpi 20 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → -1 < ((2↑𝑁) − 1))
1161153ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -1 < ((2↑𝑁) − 1))
117100, 116eqbrtrd 5061 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) − 1))
1182, 10modcld 13226 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
119 ltsubadd2b 44743 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ)) → ((((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) − 1) ↔ (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
12018, 8, 118, 16, 119syl22anc 837 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) − 1) ↔ (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
121117, 120mpbid 235 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) + (𝐴 mod (2↑𝑁))))
122 modid0 13248 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝑁) ∈ ℝ+ → ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁)) = 0)
12310, 122syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁)) = 0)
124123oveq2d 7146 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) = ((𝐴 mod (2↑𝑁)) − 0))
125118recnd 10646 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
126125subid1d 10963 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) − 0) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
127124, 126eqtrd 2856 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
128127oveq1d 7145 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((𝐴 mod (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))
129 modsubmodmod 13281 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))
1302, 8, 10, 129syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))
131 modabs2 13256 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
1322, 10, 131syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
133128, 130, 1323eqtr3d 2864 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
134133oveq2d 7146 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) = ((2↑𝑁) + (𝐴 mod (2↑𝑁))))
135121, 134breqtrrd 5067 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))))
13619, 20, 2, 135ltsub2dd 11230 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))) < (𝐴 − (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)))))
137313ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1388recnd 10646 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
13911recnd 10646 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
140137, 138, 139subsub4d 11005 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) = (𝐴 − ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))))
141 1cnd 10613 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
14216recnd 10646 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
143137, 141, 142subsub4d 11005 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) = (𝐴 − (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)))))
144136, 140, 1433brtr4d 5071 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) < ((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))))
14512, 17, 10, 144ltdiv1dd 12466 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) < (((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
1467recnd 10646 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
1471463ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
14865a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
14977, 148, 5expne0d 13500 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ≠ 0)
1501493ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ≠ 0)
151 divsub1dir 44744 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0) → ((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1) = ((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)))
152151fveq2d 6647 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) = (⌊‘((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁))))
153137, 147, 150, 152syl3anc 1368 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) = (⌊‘((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁))))
154 fldivmod 44750 . . . 4 (((𝐴 − (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) → (⌊‘((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁))) = (((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
1559, 10, 154syl2anc 587 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁))) = (((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
156153, 155eqtrd 2856 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) = (((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
157 fldivmod 44750 . . 3 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑𝑁))) = (((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
15815, 10, 157syl2anc 587 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑𝑁))) = (((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
159145, 156, 1583brtr4d 5071 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) < (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  ifcif 4440   class class class wbr 5039  cfv 6328  (class class class)co 7130  cc 10512  cr 10513  0cc0 10514  1c1 10515   + caddc 10517   · cmul 10519   < clt 10652  cmin 10847  -cneg 10848   / cdiv 11274  cn 11615  2c2 11670  0cn0 11875  cz 11959  +crp 12367  cfl 13143   mod cmo 13220  cexp 13413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-mod 13221  df-seq 13353  df-exp 13414
This theorem is referenced by:  dignn0flhalflem2  44848
  Copyright terms: Public domain W3C validator