dignn0flhalflem1 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem dignn0flhalflem1 49835

Description: Lemma 1 for dignn0flhalf 49838. (Contributed by AV, 7-Jun-2012.)

**Assertion**
Ref	Expression
dignn0flhalflem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) < (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑𝑁))))

**Proof of Theorem dignn0flhalflem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12704	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		2rp 13132	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
5		nnz 12721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
6	4, 5	rpexpcld 14398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺)
7	6	rpred 13171	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
8	7	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
9	2, 8	resubcld 11751	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
10	6	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺)
11	9, 10	modcld 14022	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
12	9, 11	resubcld 11751	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
13		peano2zm 12746	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
14	13	zred 12810	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
16	15, 10	modcld 14022	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
17	15, 16	resubcld 11751	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
18		1red 11316	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
19	18, 16	readdcld 11345	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
20	8, 11	readdcld 11345	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
21		2nn 12423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
23		nnnn0 12620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
24	22, 23	nnexpcld 14396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
25	24	anim2i 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ))
26	25	3adant2 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ))
27		m1modmmod 48542	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) = if((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0, ((2↑𝑁) − 1), -1))
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) = if((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0, ((2↑𝑁) − 1), -1))
29		nnz 12721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
31		zcn 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
32		xp1d2m1eqxm1d2 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 + 1) / 2) − 1) = ((𝐴 − 1) / 2))
33	32	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) / 2) = (((𝐴 + 1) / 2) − 1))
34	31, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 − 1) / 2) = (((𝐴 + 1) / 2) − 1))
35	34	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) / 2) = (((𝐴 + 1) / 2) − 1))
36	35	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ (((𝐴 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ))
37		peano2z 12744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((((𝐴 + 1) / 2) − 1) + 1) ∈ ℤ)
38	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
39		1cnd 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39	addcld 11335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
41	40	halfcld 12598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℂ)
42	41, 39	npcand 11680	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐴 + 1) / 2) − 1) + 1) = ((𝐴 + 1) / 2))
43	42	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐴 + 1) / 2) − 1) + 1) ∈ ℤ ↔ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
44	37, 43	imbitrid 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐴 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
45	36, 44	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
46		mod0 14023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
47	1, 6, 46	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
48	22	nnzd 12726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
49		nnm1nn0 12654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
50	48, 49	zexpcld 14237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
51	50	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
52	51	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
53		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ) → (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
54	52, 53	zmulcld 12816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ) → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ)
55	54	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ))
56	5	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
57	56	zcnd 12811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
58	39	negcld 11663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
59	57, 39	negsubd 11682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + -1) = (𝑁 − 1))
60	57, 58, 59	mvlladdcd 11733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) − 𝑁) = -1)
61	60	oveq2d 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑((𝑁 − 1) − 𝑁)) = (2↑ -1))
62		2cnd 12428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
63		2ne0 12456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 ≠ 0
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
65		1zzd 12734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
66	5, 65	zsubcld 12815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
67	66, 5	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
68	67	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
69		expsub 14260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (2↑((𝑁 − 1) − 𝑁)) = ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁)))
70	62, 64, 68, 69	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑((𝑁 − 1) − 𝑁)) = ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁)))
71		expn1 14221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑ -1) = (1 / 2))
72	62, 71	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑ -1) = (1 / 2))
73	61, 70, 72	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁)) = (1 / 2))
74	73	oveq2d 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁))) = (𝐴 · (1 / 2)))
75		2cnd 12428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
76	75, 49	expcld 14296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
77	76	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
78	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ⁺)
79	78, 56	rpexpcld 14398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺)
80	79	rpcnne0d 13180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0))
81		div12 12003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0)) → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 · ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁))))
82	77, 38, 80, 81	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 · ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁))))
83	38, 62, 64	divrecd 12103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 2) = (𝐴 · (1 / 2)))
84	74, 82, 83	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 / 2))
85	84	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ ↔ (𝐴 / 2) ∈ ℤ))
86	55, 85	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ → (𝐴 / 2) ∈ ℤ))
87	47, 86	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ))
88		zeo2 12793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
89	88	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
90	87, 89	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0 → ¬ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
91	90	necon2ad 2970	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0))
92	30, 45, 91	3syld 61	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0))
93	92	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0)))
94	93	com23 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0)))
95	94	3imp 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0)
96	95	neneqd 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ (𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0)
97	96	iffalsed 4492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0, ((2↑𝑁) − 1), -1) = -1)
98	28, 97	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) = -1)
99		neg1lt0 12315	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 < 0
100		2re 12424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
101		1lt2 12522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
102		expgt1 14250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑𝑁))
103	100, 101, 102	mp3an13 1481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (2↑𝑁))
104		1red 11316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
105	104, 7	posdifd 11910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 < (2↑𝑁) ↔ 0 < ((2↑𝑁) − 1)))
106	103, 105	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2↑𝑁) − 1))
107	104	renegcld 11750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℝ)
108		0red 11318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
109	7, 104	resubcld 11751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℝ)
110		lttr 11393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( -1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℝ) → (( -1 < 0 ∧ 0 < ((2↑𝑁) − 1)) → -1 < ((2↑𝑁) − 1)))
111	107, 108, 109, 110	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (( -1 < 0 ∧ 0 < ((2↑𝑁) − 1)) → -1 < ((2↑𝑁) − 1)))
112	106, 111	mpan2d 707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( -1 < 0 → -1 < ((2↑𝑁) − 1)))
113	99, 112	mpi 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < ((2↑𝑁) − 1))
114	113	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -1 < ((2↑𝑁) − 1))
115	98, 114	eqbrtrd 5126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) − 1))
116	2, 10	modcld 14022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
117		ltsubadd2b 49736	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ)) → ((((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) − 1) ↔ (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
118	18, 8, 116, 16, 117	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) − 1) ↔ (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
119	115, 118	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) + (𝐴 mod (2↑𝑁))))
120		modid0 14044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2↑𝑁) ∈ ℝ⁺ → ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁)) = 0)
121	10, 120	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁)) = 0)
122	121	oveq2d 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) = ((𝐴 mod (2↑𝑁)) − 0))
123	116	recnd 11344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
124	123	subid1d 11665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) − 0) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
125	122, 124	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
126	125	oveq1d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((𝐴 mod (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))
127		modsubmodmod 14080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺) → (((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))
128	2, 8, 10, 127	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))
129		modabs2 14052	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
130	2, 10, 129	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
131	126, 128, 130	3eqtr3d 2803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
132	131	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) = ((2↑𝑁) + (𝐴 mod (2↑𝑁))))
133	119, 132	breqtrrd 5132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))))
134	19, 20, 2, 133	ltsub2dd 11936	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))) < (𝐴 − (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)))))
135	31	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
136	8	recnd 11344	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
137	11	recnd 11344	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
138	135, 136, 137	subsub4d 11707	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) = (𝐴 − ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))))
139		1cnd 11309	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
140	16	recnd 11344	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
141	135, 139, 140	subsub4d 11707	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) = (𝐴 − (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)))))
142	134, 138, 141	3brtr4d 5136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) < ((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))))
143	12, 17, 10, 142	ltdiv1dd 13228	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) < (((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
144	7	recnd 11344	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
145	144	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
146	63	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
147	75, 146, 5	expne0d 14302	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ≠ 0)
148	147	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ≠ 0)
149		divsub1dir 49737	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0) → ((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1) = ((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)))
150	149	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) = (⌊‘((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁))))
151	135, 145, 148, 150	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) = (⌊‘((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁))))
152		fldivmod 48522	. . . 4 ⊢ (((𝐴 − (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺) → (⌊‘((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁))) = (((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
153	9, 10, 152	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁))) = (((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
154	151, 153	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) = (((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
155		fldivmod 48522	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑𝑁))) = (((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
156	15, 10, 155	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑𝑁))) = (((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
157	143, 154, 156	3brtr4d 5136	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) < (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑𝑁))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1569 ∈ wcel 2144 ≠ wne 2955 ifcif 4481 class class class wbr 5102 ‘cfv 6543 (class class class)co 7424 ℂcc 11205 ℝcr 11206 0cc0 11207 1c1 11208 + caddc 11210 · cmul 11212 < clt 11350 − cmin 11548 -cneg 11549 / cdiv 11980 ℕcn 12342 2c2 12404 ℤcz 12700 ℝ⁺crp 13127 ⌊cfl 13937 mod cmo 14016 ↑cexp 14211

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1827 ax-4 1841 ax-5 1942 ax-6 1999 ax-7 2040 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2212 ax-ext 2732 ax-sep 5248 ax-nul 5259 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7755 ax-cnex 11263 ax-resscn 11264 ax-1cn 11265 ax-icn 11266 ax-addcl 11267 ax-addrcl 11268 ax-mulcl 11269 ax-mulrcl 11270 ax-mulcom 11271 ax-addass 11272 ax-mulass 11273 ax-distr 11274 ax-i2m1 11275 ax-1ne0 11276 ax-1rid 11277 ax-rnegex 11278 ax-rrecex 11279 ax-cnre 11280 ax-pre-lttri 11281 ax-pre-lttrn 11282 ax-pre-ltadd 11283 ax-pre-mulgt0 11284 ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1812 df-nf 1816 df-sb 2099 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-ss 3897 df-pss 4013 df-dif 4046 df-in 4090 df-un 4150 df-nul 4278 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4835 df-uni 4867 df-iun 4952 df-br 5103 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6307 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6497 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7381 df-ov 7427 df-oprab 7428 df-mpo 7429 df-om 7882 df-1st 8005 df-2nd 8006 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8386 df-rdg 8425 df-er 8724 df-en 8981 df-dom 8982 df-sdom 8983 df-sup 9441 df-inf 9442 df-pnf 11352 df-mnf 11353 df-xr 11354 df-ltxr 11355 df-le 11356 df-sub 11550 df-neg 11551 df-div 11981 df-nn 12343 df-2 12412 df-n0 12614 df-z 12701 df-uz 12973 df-rp 13128 df-fz 13647 df-fzo 13796 df-fl 13939 df-mod 14017 df-seq 14152 df-exp 14212

This theorem is used by: dignn0flhalflem2 49836

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