Theorem peano2cnm 11315

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for complex numbers: A complex number minus 1 is a complex number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
peano2cnm	⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)

Proof of Theorem peano2cnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 10957	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		subcl 11248	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan2 687	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2101  (class class class)co 7295  ℂcc 10897  1c1 10900   − cmin 11233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-po 5505  df-so 5506  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-ltxr 11042  df-sub 11235

This theorem is referenced by:  kcnktkm1cn  11434  xp1d2m1eqxm1d2  12255  elnnnn0  12304  hash2iun1dif1  15564  pwdif  15608  nn0ob  16121  2lgslem1a1  26565  addsqrexnreu  26618  addsqnreup  26619  addsq2nreurex  26620  clwlkclwwlklem2a1  28384  clwlkclwwlklem2a  28390  clwlkclwwlklem3  28393  frrusgrord0  28732  numclwwlk7  28783  dirkertrigeqlem2  43675  fmtnoprmfac2  45059  lighneallem3  45099  proththd  45106  zofldiv2ALTV  45154  nn0onn0exALTV  45191  nn0onn0ex  45909  nn0sumshdiglemB  46006