Theorem peano2cnm 11454

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for complex numbers: A complex number minus 1 is a complex number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
peano2cnm	⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)

Proof of Theorem peano2cnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11090	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		subcl 11386	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  1c1 11033   − cmin 11371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-ltxr 11178  df-sub 11373

This theorem is referenced by:  kcnktkm1cn  11575  xp1d2m1eqxm1d2  12425  elnnnn0  12474  hash2iun1dif1  15781  pwdif  15827  nn0ob  16347  2lgslem1a1  27369  addsqrexnreu  27422  addsqnreup  27423  addsq2nreurex  27424  clwlkclwwlklem2a1  30080  clwlkclwwlklem2a  30086  clwlkclwwlklem3  30089  frrusgrord0  30428  numclwwlk7  30479  dirkertrigeqlem2  46548  fmtnoprmfac2  48045  lighneallem3  48085  proththd  48092  zofldiv2ALTV  48153  nn0onn0exALTV  48190  nn0onn0ex  49014  nn0sumshdiglemB  49111