Theorem expghmap 14579

Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expghm.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
expghmap.u	⊢ 𝑈 = (𝑀 ↾s {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})

Assertion

Ref	Expression
expghmap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem expghmap

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expclzaplem 10793	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
2	1	3expa 1227	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
3	2	fmpttd 5792	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)):ℤ⟶{𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
4		expaddzap 10813	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑢 + 𝑣)) = ((𝐴↑𝑢) · (𝐴↑𝑣)))
5		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))
6		oveq2 6015	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑢 + 𝑣) → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑(𝑢 + 𝑣)))
7		zaddcl 9494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℤ)
8	7	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℤ)
9		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → 𝐴 # 0)
11	9, 10, 8	expclzapd 10908	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑢 + 𝑣)) ∈ ℂ)
12	5, 6, 8, 11	fvmptd3 5730	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (𝐴↑(𝑢 + 𝑣)))
13		oveq2 6015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑢))
14		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → 𝑢 ∈ ℤ)
15	9, 10, 14	expclzapd 10908	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → (𝐴↑𝑢) ∈ ℂ)
16	5, 13, 14, 15	fvmptd3 5730	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) = (𝐴↑𝑢))
17		oveq2 6015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑣))
18		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → 𝑣 ∈ ℤ)
19	9, 10, 18	expclzapd 10908	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → (𝐴↑𝑣) ∈ ℂ)
20	5, 17, 18, 19	fvmptd3 5730	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣) = (𝐴↑𝑣))
21	16, 20	oveq12d 6025	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)) = ((𝐴↑𝑢) · (𝐴↑𝑣)))
22	4, 12, 21	3eqtr4d 2272	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)))
23	22	ralrimivva 2612	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ∀𝑢 ∈ ℤ ∀𝑣 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)))
24		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → 𝑢 ∈ ℤ)
25	15	anassrs 400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑢) ∈ ℂ)
26	5, 13, 24, 25	fvmptd3 5730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) = (𝐴↑𝑢))
27	26, 25	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) ∈ ℂ)
28		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → 𝑣 ∈ ℤ)
29	19	anassrs 400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑣) ∈ ℂ)
30	5, 17, 28, 29	fvmptd3 5730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣) = (𝐴↑𝑣))
31	30, 29	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣) ∈ ℂ)
32	27, 31	mulcld 8175	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)) ∈ ℂ)
33		oveq1 6014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) → (𝑟 · 𝑠) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · 𝑠))
34		oveq2 6015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · 𝑠) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)))
35		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠)) = (𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠))
36	33, 34, 35	ovmpog 6145	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣) ∈ ℂ ∧ (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)) ∈ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢)(𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠))((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)))
37	27, 31, 32, 36	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢)(𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠))((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)))
38	37	eqeq2d 2241	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢)(𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠))((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣))))
39	38	ralbidva 2526	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → (∀𝑣 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢)(𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠))((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)) ↔ ∀𝑣 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣))))
40	39	ralbidva 2526	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (∀𝑢 ∈ ℤ ∀𝑣 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢)(𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠))((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ ℤ ∀𝑣 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣))))
41	23, 40	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ∀𝑢 ∈ ℤ ∀𝑣 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢)(𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠))((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)))
42		zringgrp 14567	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Grp
43		cnring 14542	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
44		cnfldui 14561	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} = (Unit‘ℂfld)
45		expghmap.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑀 ↾s {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
46		expghm.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
47	46	oveq1i 6017	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ↾s {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
48	45, 47	eqtri 2250	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
49	44, 48	unitgrp 14088	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑈 ∈ Grp)
50	43, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ Grp
51	42, 50	pm3.2i 272	. . 3 ⊢ (ℤring ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp)
52		zringbas 14568	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
53	45	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑈 = (𝑀 ↾s {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}))
54		cnfldbas 14532	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
55	46, 54	mgpbasg 13897	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂ = (Base‘𝑀))
56	43, 55	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘𝑀))
57	46	mgpex 13896	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑀 ∈ V)
58	43, 57	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑀 ∈ V)
59		apsscn 8802	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ⊆ ℂ
60	59	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ⊆ ℂ)
61	53, 56, 58, 60	ressbas2d 13109	. . . . 5 ⊢ (⊤ → {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} = (Base‘𝑈))
62	61	mptru 1404	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} = (Base‘𝑈)
63		zringplusg 14569	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℤring)
64		mpocnfldmul 14535	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠)) = (.r‘ℂfld)
65	46, 64	mgpplusgg 13895	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠)) = (+g‘𝑀))
66	43, 65	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠)) = (+g‘𝑀))
67		cnex 8131	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
68	67	rabex 4228	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∈ V
69	68	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∈ V)
70	53, 66, 69, 58	ressplusgd 13170	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠)) = (+g‘𝑈))
71	70	mptru 1404	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠)) = (+g‘𝑈)
72	52, 62, 63, 71	isghm 13788	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈) ↔ ((ℤring ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)):ℤ⟶{𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∧ ∀𝑢 ∈ ℤ ∀𝑣 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢)(𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠))((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)))))
73	51, 72	mpbiran 946	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)):ℤ⟶{𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∧ ∀𝑢 ∈ ℤ ∀𝑣 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢)(𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠))((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣))))
74	3, 41, 73	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395  ⊤wtru 1396   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  {crab 2512  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007   ∈ cmpo 6009  ℂcc 8005  0cc0 8007   + caddc 8010   · cmul 8012   # cap 8736  ℤcz 9454  ↑cexp 10768  Basecbs 13040   ↾_s cress 13041  +_gcplusg 13118  Grpcgrp 13541   GrpHom cghm 13785  mulGrpcmgp 13891  Ringcrg 13967  ℂ_fldccnfld 14528  ℤ_ringczring 14562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-addf 8129  ax-mulf 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-tpos 6397  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-dec 9587  df-uz 9731  df-rp 9858  df-fz 10213  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-cj 11361  df-abs 11518  df-struct 13042  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-iress 13048  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-starv 13133  df-tset 13137  df-ple 13138  df-ds 13140  df-unif 13141  df-0g 13299  df-topgen 13301  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544  df-minusg 13545  df-subg 13715  df-ghm 13786  df-cmn 13831  df-abl 13832  df-mgp 13892  df-ur 13931  df-srg 13935  df-ring 13969  df-cring 13970  df-oppr 14039  df-dvdsr 14060  df-unit 14061  df-subrg 14191  df-bl 14518  df-mopn 14519  df-fg 14521  df-metu 14522  df-cnfld 14529  df-zring 14563

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  15760