Theorem expghmap 15026

Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expghm.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
expghmap.u	⊢ 𝑈 = (𝑀 ↾s {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})

Assertion

Ref	Expression
expghmap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥, 𝑧)   𝑀(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem expghmap

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expclzaplem 11015	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
2	1	3expa 1234	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
3	2	fmpttd 5863	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)):ℤ⟶{𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
4		expaddzap 11035	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑢 + 𝑣)) = ((𝐴↑𝑢) · (𝐴↑𝑣)))
5		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))
6		oveq2 6093	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑢 + 𝑣) → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑(𝑢 + 𝑣)))
7		zaddcl 9689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℤ)
8	7	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℤ)
9		simpll 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → 𝐴 # 0)
11	9, 10, 8	expclzapd 11131	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑢 + 𝑣)) ∈ ℂ)
12	5, 6, 8, 11	fvmptd3 5799	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (𝐴↑(𝑢 + 𝑣)))
13		oveq2 6093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑢))
14		simprl 535	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → 𝑢 ∈ ℤ)
15	9, 10, 14	expclzapd 11131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → (𝐴↑𝑢) ∈ ℂ)
16	5, 13, 14, 15	fvmptd3 5799	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) = (𝐴↑𝑢))
17		oveq2 6093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑣))
18		simprr 537	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → 𝑣 ∈ ℤ)
19	9, 10, 18	expclzapd 11131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → (𝐴↑𝑣) ∈ ℂ)
20	5, 17, 18, 19	fvmptd3 5799	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣) = (𝐴↑𝑣))
21	16, 20	oveq12d 6103	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)) = ((𝐴↑𝑢) · (𝐴↑𝑣)))
22	4, 12, 21	3eqtr4d 2281	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)))
23	22	ralrimivva 2632	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ∀𝑢 ∈ ℤ ∀𝑣 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)))
24		simplr 533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → 𝑢 ∈ ℤ)
25	15	anassrs 404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑢) ∈ ℂ)
26	5, 13, 24, 25	fvmptd3 5799	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) = (𝐴↑𝑢))
27	26, 25	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) ∈ ℂ)
28		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → 𝑣 ∈ ℤ)
29	19	anassrs 404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑣) ∈ ℂ)
30	5, 17, 28, 29	fvmptd3 5799	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣) = (𝐴↑𝑣))
31	30, 29	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣) ∈ ℂ)
32	27, 31	mulcld 8347	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)) ∈ ℂ)
33		oveq1 6092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) → (𝑟 · 𝑠) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · 𝑠))
34		oveq2 6093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · 𝑠) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)))
35		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠)) = (𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠))
36	33, 34, 35	ovmpog 6223	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) ∈ ℂ ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣) ∈ ℂ ∧ (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)) ∈ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢)(𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠))((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)))
37	27, 31, 32, 36	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢)(𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠))((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)))
38	37	eqeq2d 2250	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢)(𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠))((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣))))
39	38	ralbidva 2546	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → (∀𝑣 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢)(𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠))((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)) ↔ ∀𝑣 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣))))
40	39	ralbidva 2546	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (∀𝑢 ∈ ℤ ∀𝑣 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢)(𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠))((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ ℤ ∀𝑣 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣))))
41	23, 40	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ∀𝑢 ∈ ℤ ∀𝑣 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢)(𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠))((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)))
42		zringgrp 15014	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Grp
43		cnring 14991	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
44		cnfldui 15008	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} = (Unit‘ℂfld)
45		expghmap.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑀 ↾s {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
46		expghm.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
47	46	oveq1i 6095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ↾s {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
48	45, 47	eqtri 2259	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
49	44, 48	unitgrp 14507	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑈 ∈ Grp)
50	43, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ Grp
51	42, 50	pm3.2i 272	. . 3 ⊢ (ℤring ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp)
52		zringbas 15015	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
53	45	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑈 = (𝑀 ↾s {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}))
54		cnfldbas 14981	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
55	46, 54	mgpbasg 14308	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂ = (Base‘𝑀))
56	43, 55	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘𝑀))
57	46	mgpex 14307	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑀 ∈ V)
58	43, 57	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑀 ∈ V)
59		apsscn 8978	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ⊆ ℂ
60	59	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ⊆ ℂ)
61	53, 56, 58, 60	ressbas2d 13475	. . . . 5 ⊢ (⊤ → {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} = (Base‘𝑈))
62	61	mptru 1411	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} = (Base‘𝑈)
63		zringplusg 15016	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℤring)
64		mpocnfldmul 14984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠)) = (.r‘ℂfld)
65	46, 64	mgpplusgg 14305	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠)) = (+g‘𝑀))
66	43, 65	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠)) = (+g‘𝑀))
67		cnex 8304	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
68	67	rabex 4280	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∈ V
69	68	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∈ V)
70	53, 66, 69, 58	ressplusgd 13536	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠)) = (+g‘𝑈))
71	70	mptru 1411	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠)) = (+g‘𝑈)
72	52, 62, 63, 71	isghm 14099	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈) ↔ ((ℤring ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)):ℤ⟶{𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∧ ∀𝑢 ∈ ℤ ∀𝑣 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢)(𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠))((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣)))))
73	51, 72	mpbiran 953	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)):ℤ⟶{𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∧ ∀𝑢 ∈ ℤ ∀𝑣 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑢 + 𝑣)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑢)(𝑟 ∈ ℂ, 𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑟 · 𝑠))((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑣))))
74	3, 41, 73	sylanbrc 421	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ∈ cmpo 6087  ℂcc 8178  0cc0 8180   + caddc 8183   · cmul 8185   # cap 8912  ℤcz 9649  ↑cexp 10990  Basecbs 13404   ↾_s cress 13405  +_gcplusg 13484  Grpcgrp 13858   GrpHom cghm 14096  mulGrpcmgp 14301  Ringcrg 14384  ℂ_fldccnfld 14977  ℤ_ringczring 15009

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-addf 8302  ax-mulf 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-tpos 6516  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-dec 9783  df-uz 9932  df-rp 10066  df-fz 10423  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-cj 11623  df-abs 11781  df-struct 13406  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-iress 13412  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13665  df-topgen 13667  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-minusg 13862  df-subg 14026  df-ghm 14097  df-cmn 14173  df-abl 14174  df-mgp 14302  df-ur 14347  df-srg 14352  df-ring 14386  df-cring 14387  df-oppr 14457  df-dvdsr 14479  df-unit 14480  df-subrg 14611  df-bl 14967  df-mopn 14968  df-fg 14970  df-metu 14971  df-cnfld 14978  df-zring 15010

This theorem is used by:  lgseisenlem4  16363