Theorem pfxccatin12lem2 11222

Description: Lemma 2 for pfxccatin12 11224. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem2	⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))))))

Proof of Theorem pfxccatin12lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdccatin2.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)
2	1	pfxccatin12lem2c 11221	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
3		simprl 529	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
4		swrdfv 11144	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
5	2, 3, 4	syl2an2r 595	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
6		elfzoelz 10304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ ℤ)
7		elfz2nn0 10269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿))
8		nn0cn 9340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
9		nn0cn 9340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℂ)
10	8, 9	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ))
11		zcn 9412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
12		subcl 8306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)
13	12	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)
14	13	anim1ci 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ))
15		subcl 8306	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℂ)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℂ)
17	16	addridd 8256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0) = (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)))
18		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → 𝐾 ∈ ℂ)
19		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → 𝐿 ∈ ℂ)
20		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	subsub3d 8448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) = ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿))
22	17, 21	eqtr2d 2241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))
23	10, 11, 22	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))
24		oveq2 5975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿))
25	24	eqcoms 2210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 = (♯‘𝐴) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿))
26	25	eqeq1d 2216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 = (♯‘𝐴) → (((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0) ↔ ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
27	23, 26	imbitrrid 156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 = (♯‘𝐴) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
28	1, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))
29	28	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
30	29	3adant3 1020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
31	7, 30	sylbi 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
32	31	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
33	6, 32	syl5com 29	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
34	33	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
35	34	impcom 125	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))
36	35	fveq2d 5603	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐵‘((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
37		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
38		pfxccatin12lem2a 11218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
39	38	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
40	39	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵))))
41		id 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (♯‘𝐴) = 𝐿)
42		oveq1 5974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = (𝐿 + (♯‘𝐵)))
43	41, 42	oveq12d 5985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) = (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵))))
44	43	eleq2d 2277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
45	44	eqcoms 2210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 = (♯‘𝐴) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
46	1, 45	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵))))
47	40, 46	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
48		df-3an 983	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ↔ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
49	37, 47, 48	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
50		ccatval2 11092	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐵‘((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴))))
51	49, 50	syl 14	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐵‘((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴))))
52		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
53	52	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
54		lencl 11035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
55		elfzel2 10180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
56		zsubcl 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
57	56	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
59		zre 9411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
60		zre 9411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
61		subge0 8583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑁))
62	59, 60, 61	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑁))
63	62	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿)))
64	63	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))
65		elnn0z 9420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝐿)))
66	58, 64, 65	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)
67	66	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐿 ≤ 𝑁 → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0))
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0))
69	68	expcomd 1462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)))
70	69	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)))
71	70	3ad2ant3 1023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)))
72	71	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0))
73	72	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0))
74	73	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0))
75	74	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)
76		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
77	59	3ad2ant3 1023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
78	77	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
79	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
80	79	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
81		nn0re 9339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
82	81	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
84		lesubadd2 8543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))
85	84	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵)))
86	78, 80, 83, 85	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵)))
87	86	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵))))
88	87	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵))))
89	88	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵))))
90	89	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵)))
91	90	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵))
92	75, 76, 91	3jca 1180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵)))
93	92	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵))))
94		elfz2 10172	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))))
95		elfz2nn0 10269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)) ↔ ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵)))
96	93, 94, 95	3imtr4g 205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵))))
97	96	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))))
98	97	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))))
99	55, 98	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))))
100	99	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵))))
101	54, 100	syl5com 29	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵))))
102	101	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵))))
103	102	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
104	103	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
105		pfxccatin12lem1 11219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))))
106	105	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))))
107	106	imp 124	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿)))
108		pfxfv 11175	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)) ∧ (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))) → ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = (𝐵‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))))
109	53, 104, 107, 108	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = (𝐵‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))))
110	6	zcnd 9531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ ℂ)
111	110	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ℂ)
112	55	zcnd 9531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
113	112	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐿 ∈ ℂ)
114	113	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐿 ∈ ℂ)
115		elfzelz 10182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝑀 ∈ ℤ)
116	115	zcnd 9531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝑀 ∈ ℂ)
117	116	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝑀 ∈ ℂ)
118	117	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℂ)
119	114, 118	subcld 8418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)
120	111, 119	subcld 8418	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℂ)
121	120	addridd 8256	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0) = (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)))
122	121	eqcomd 2213	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))
123	122	fveq2d 5603	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐵‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = (𝐵‘((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
124	109, 123	eqtrd 2240	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = (𝐵‘((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
125	36, 51, 124	3eqtr4d 2250	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))))
126		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
127		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
128		lencl 11035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
129		elnn0uz 9721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘0))
130		eluzfz2 10189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘𝐴) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
131	129, 130	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
132	1, 131	eqeltrid 2294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
133	128, 132	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
134	133	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
135	134	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
136	126, 127, 135	3jca 1180	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))))
137	136	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))))
138		swrdlen 11143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))) → (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝑀))
139	137, 138	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝑀))
140	139	eqcomd 2213	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐿 − 𝑀) = (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))
141	140	oveq2d 5983	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) = (𝐾 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))))
142	141	fveq2d 5603	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))))
143	5, 125, 142	3eqtrd 2244	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))))
144	143	ex 115	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ⟨cop 3646   class class class wbr 4059  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  ℂcc 7958  ℝcr 7959  0cc0 7960   + caddc 7963   ≤ cle 8143   − cmin 8278  ℕ₀cn0 9330  ℤcz 9407  ℤ_≥cuz 9683  ...cfz 10165  ..^cfzo 10299  ♯chash 10957  Word cword 11031   ++ cconcat 11084   substr csubstr 11136   prefix cpfx 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-1o 6525  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-ihash 10958  df-word 11032  df-concat 11085  df-substr 11137  df-pfx 11164

This theorem is referenced by:  pfxccatin12  11224