Theorem depind 16733

Description: Theorem related to a dependently typed induction principle in type theory. (Contributed by Matthew House, 14-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
depind.p	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ0⟶V)
depind.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑃‘0))
depind.h	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑛):(𝑃‘𝑛)⟶(𝑃‘(𝑛 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
depind	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ X 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃‘𝑛)((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑓‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(𝑓‘𝑛))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛   𝜑,𝑓   𝐴,𝑓,𝑛   𝑓,𝐻,𝑛   𝑃,𝑓,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem depind

Dummy variables ℎ 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		depind.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ0⟶V)
2		depind.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑃‘0))
3		depind.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑛):(𝑃‘𝑛)⟶(𝑃‘(𝑛 + 1)))
4		eqid 2238	. . 3 ⊢ seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1))))) = seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))
5	1, 2, 3, 4	depindlem2 16731	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1))))) ∈ X𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃‘𝑛))
6	1, 2, 3, 4	depindlem1 16730	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1))))):ℕ0⟶V ∧ (seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))‘0) = 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))‘𝑛))))
7	6	simp2d 1041	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))‘0) = 𝐴)
8	6	simp3d 1042	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))‘𝑛)))
9	1, 2, 3, 4	depindlem3 16732	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ X 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃‘𝑛)(((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑓‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(𝑓‘𝑛))) → 𝑓 = seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))))
10		fveq1 5692	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1))))) → (𝑓‘0) = (seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))‘0))
11	10	eqeq1d 2247	. . . 4 ⊢ (𝑓 = seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1))))) → ((𝑓‘0) = 𝐴 ↔ (seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))‘0) = 𝐴))
12		fveq1 5692	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1))))) → (𝑓‘(𝑛 + 1)) = (seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))‘(𝑛 + 1)))
13		fveq1 5692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1))))) → (𝑓‘𝑛) = (seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))‘𝑛))
14	13	fveq2d 5697	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1))))) → ((𝐻‘𝑛)‘(𝑓‘𝑛)) = ((𝐻‘𝑛)‘(seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))‘𝑛)))
15	12, 14	eqeq12d 2253	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1))))) → ((𝑓‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(𝑓‘𝑛)) ↔ (seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))‘𝑛))))
16	15	ralbidv 2550	. . . 4 ⊢ (𝑓 = seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1))))) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑓‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(𝑓‘𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))‘𝑛))))
17	11, 16	anbi12d 477	. . 3 ⊢ (𝑓 = seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1))))) → (((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑓‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(𝑓‘𝑛))) ↔ ((seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))‘0) = 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))‘𝑛)))))
18	17	eqreu 3018	. 2 ⊢ ((seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1))))) ∈ X𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃‘𝑛) ∧ ((seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))‘0) = 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))‘𝑛))) ∧ ∀𝑓 ∈ X 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃‘𝑛)(((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑓‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(𝑓‘𝑛))) → 𝑓 = seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1))))))) → ∃!𝑓 ∈ X 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃‘𝑛)((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑓‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(𝑓‘𝑛))))
19	5, 7, 8, 9, 18	syl121anc 1283	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ X 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃‘𝑛)((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑓‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(𝑓‘𝑛))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃!wreu 2530  Vcvv 2821  ifcif 3638   ↦ cmpt 4190  ⟶wf 5371  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   ∈ cmpo 6081  Xcixp 6974  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176   − cmin 8491  ℕ₀cn0 9546  seqcseq 10867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-ixp 6975  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-seqfrec 10868

This theorem is referenced by: (None)