Theorem fzfigd 10574

Description: Deduction form of fzfig 10573. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10573	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175  (class class class)co 5943  Fincfn 6826  ℤcz 9371  ...cfz 10129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-1o 6501  df-er 6619  df-en 6827  df-fin 6829  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-fz 10130

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10649  iseqf1olemjpcl  10651  iseqf1olemqpcl  10652  iseqf1olemfvp  10653  seq3f1olemqsum  10656  seq3f1olemstep  10657  seq3f1olemp  10658  seqf1oglem2  10663  seqf1og  10664  fseq1hash  10944  hashfz  10964  fnfz0hash  10975  nnf1o  11629  summodclem2a  11634  summodclem2  11635  summodc  11636  zsumdc  11637  fsum3  11640  fisumss  11645  fsumm1  11669  fsum1p  11671  fisum0diag  11694  fsumrev  11696  fsumshft  11697  fisum0diag2  11700  iserabs  11728  binomlem  11736  binom1dif  11740  isumsplit  11744  arisum2  11752  pwm1geoserap1  11761  geo2sum  11767  cvgratnnlemabsle  11780  cvgratnnlemrate  11783  mertenslemub  11787  mertenslemi1  11788  mertenslem2  11789  mertensabs  11790  prodmodclem3  11828  prodmodclem2a  11829  prodmodclem2  11830  zproddc  11832  fprodseq  11836  fprodssdc  11843  fprodm1  11851  fprod1p  11852  fprodabs  11869  fprodeq0  11870  fprodshft  11871  fprodrev  11872  fprod0diagfz  11881  efcvgfsum  11920  efaddlem  11927  eirraplem  12030  3dvds  12117  prmdc  12394  phivalfi  12476  phicl2  12478  hashdvds  12485  phiprmpw  12486  eulerthlemrprm  12493  eulerthlema  12494  eulerthlemh  12495  eulerthlemth  12496  eulerth  12497  dvdsfi  12503  pcfac  12615  pcbc  12616  1arith  12632  4sqlem11  12666  gsumfzval  13165  gsumval2  13171  gsumsplit1r  13172  gsumfzz  13269  gsumfzcl  13273  mulgnngsum  13405  gsumfzreidx  13615  gsumfzsubmcl  13616  gsumfzmptfidmadd  13617  gsumfzmptfidmadd2  13618  gsumfzconst  13619  gsumfzmhm  13621  gsumfzfsumlemm  14291  plyf  15151  ply1termlem  15156  plyaddlem1  15161  plymullem1  15162  plymullem  15164  plycoeid3  15171  plycolemc  15172  plycjlemc  15174  plycn  15176  plyrecj  15177  dvply1  15179  sgmppw  15406  0sgmppw  15407  mersenne  15411  gausslemma2dlem1  15480  gausslemma2dlem4  15483  gausslemma2dlem5a  15484  gausslemma2dlem5  15485  gausslemma2dlem6  15486  lgseisenlem2  15490  lgseisenlem3  15491  lgseisenlem4  15492  lgseisen  15493  lgsquadlemsfi  15494  lgsquadlem1  15496  lgsquadlem2  15497  lgsquadlem3  15498  2lgslem1  15510  cvgcmp2nlemabs  15904  trilpolemlt1  15913  nconstwlpolemgt0  15936