Theorem fzfigd 10692

Description: Deduction form of fzfig 10691. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10691	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6017  Fincfn 6908  ℤcz 9478  ...cfz 10242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10767  iseqf1olemjpcl  10769  iseqf1olemqpcl  10770  iseqf1olemfvp  10771  seq3f1olemqsum  10774  seq3f1olemstep  10775  seq3f1olemp  10776  seqf1oglem2  10781  seqf1og  10782  fseq1hash  11063  hashfz  11084  fnfz0hash  11095  nnf1o  11936  summodclem2a  11941  summodclem2  11942  summodc  11943  zsumdc  11944  fsum3  11947  fisumss  11952  fsumm1  11976  fsum1p  11978  fisum0diag  12001  fsumrev  12003  fsumshft  12004  fisum0diag2  12007  iserabs  12035  binomlem  12043  binom1dif  12047  isumsplit  12051  arisum2  12059  pwm1geoserap1  12068  geo2sum  12074  cvgratnnlemabsle  12087  cvgratnnlemrate  12090  mertenslemub  12094  mertenslemi1  12095  mertenslem2  12096  mertensabs  12097  prodmodclem3  12135  prodmodclem2a  12136  prodmodclem2  12137  zproddc  12139  fprodseq  12143  fprodssdc  12150  fprodm1  12158  fprod1p  12159  fprodabs  12176  fprodeq0  12177  fprodshft  12178  fprodrev  12179  fprod0diagfz  12188  efcvgfsum  12227  efaddlem  12234  eirraplem  12337  3dvds  12424  prmdc  12701  phivalfi  12783  phicl2  12785  hashdvds  12792  phiprmpw  12793  eulerthlemrprm  12800  eulerthlema  12801  eulerthlemh  12802  eulerthlemth  12803  eulerth  12804  dvdsfi  12810  pcfac  12922  pcbc  12923  1arith  12939  4sqlem11  12973  gsumfzval  13473  gsumval2  13479  gsumsplit1r  13480  gsumfzz  13577  gsumfzcl  13581  mulgnngsum  13713  gsumfzreidx  13923  gsumfzsubmcl  13924  gsumfzmptfidmadd  13925  gsumfzmptfidmadd2  13926  gsumfzconst  13927  gsumfzmhm  13929  gsumfzfsumlemm  14600  plyf  15460  ply1termlem  15465  plyaddlem1  15470  plymullem1  15471  plymullem  15473  plycoeid3  15480  plycolemc  15481  plycjlemc  15483  plycn  15485  plyrecj  15486  dvply1  15488  sgmppw  15715  0sgmppw  15716  mersenne  15720  gausslemma2dlem1  15789  gausslemma2dlem4  15792  gausslemma2dlem5a  15793  gausslemma2dlem5  15794  gausslemma2dlem6  15795  lgseisenlem2  15799  lgseisenlem3  15800  lgseisenlem4  15801  lgseisen  15802  lgsquadlemsfi  15803  lgsquadlem1  15805  lgsquadlem2  15806  lgsquadlem3  15807  2lgslem1  15819  wksfval  16172  wlkex  16175  iswlkg  16179  cvgcmp2nlemabs  16636  trilpolemlt1  16645  nconstwlpolemgt0  16668  gfsumval  16680  gsumgfsum1  16681  gsumgfsumlem  16683  gsumgfsum  16684