Theorem fzfigd 10502

Description: Deduction form of fzfig 10501. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10501	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5918  Fincfn 6794  ℤcz 9317  ...cfz 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10577  iseqf1olemjpcl  10579  iseqf1olemqpcl  10580  iseqf1olemfvp  10581  seq3f1olemqsum  10584  seq3f1olemstep  10585  seq3f1olemp  10586  seqf1oglem2  10591  seqf1og  10592  fseq1hash  10872  hashfz  10892  fnfz0hash  10903  nnf1o  11519  summodclem2a  11524  summodclem2  11525  summodc  11526  zsumdc  11527  fsum3  11530  fisumss  11535  fsumm1  11559  fsum1p  11561  fisum0diag  11584  fsumrev  11586  fsumshft  11587  fisum0diag2  11590  iserabs  11618  binomlem  11626  binom1dif  11630  isumsplit  11634  arisum2  11642  pwm1geoserap1  11651  geo2sum  11657  cvgratnnlemabsle  11670  cvgratnnlemrate  11673  mertenslemub  11677  mertenslemi1  11678  mertenslem2  11679  mertensabs  11680  prodmodclem3  11718  prodmodclem2a  11719  prodmodclem2  11720  zproddc  11722  fprodseq  11726  fprodssdc  11733  fprodm1  11741  fprod1p  11742  fprodabs  11759  fprodeq0  11760  fprodshft  11761  fprodrev  11762  fprod0diagfz  11771  efcvgfsum  11810  efaddlem  11817  eirraplem  11920  prmdc  12268  phivalfi  12350  phicl2  12352  hashdvds  12359  phiprmpw  12360  eulerthlemrprm  12367  eulerthlema  12368  eulerthlemh  12369  eulerthlemth  12370  eulerth  12371  phisum  12378  pcfac  12488  pcbc  12489  1arith  12505  4sqlem11  12539  gsumfzval  12974  gsumval2  12980  gsumsplit1r  12981  gsumfzz  13067  gsumfzcl  13071  mulgnngsum  13197  gsumfzreidx  13407  gsumfzsubmcl  13408  gsumfzmptfidmadd  13409  gsumfzmptfidmadd2  13410  gsumfzconst  13411  gsumfzmhm  13413  gsumfzfsumlemm  14075  plyf  14883  ply1termlem  14888  plyaddlem1  14893  plymullem1  14894  plymullem  14896  gausslemma2dlem1  15177  gausslemma2dlem4  15180  gausslemma2dlem5a  15181  gausslemma2dlem5  15182  gausslemma2dlem6  15183  lgseisenlem2  15187  lgseisenlem3  15188  lgseisenlem4  15189  lgseisen  15190  lgsquadlem1  15191  cvgcmp2nlemabs  15522  trilpolemlt1  15531  nconstwlpolemgt0  15554