Theorem fzfigd 10881

Description: Deduction form of fzfig 10880. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10880	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  Fincfn 7022  ℤcz 9648  ...cfz 10421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-n0 9568  df-z 9649  df-uz 9931  df-fz 10422

This theorem is used by:  iseqf1olemqf1o  10956  iseqf1olemjpcl  10958  iseqf1olemqpcl  10959  iseqf1olemfvp  10960  seq3f1olemqsum  10963  seq3f1olemstep  10964  seq3f1olemp  10965  seqf1oglem2  10970  seqf1og  10971  fseq1hash  11255  hashfz  11276  fnfz0hash  11289  sseqn  11293  nnf1o  12159  summodclem2a  12164  summodclem2  12165  summodc  12166  zsumdc  12167  fsum3  12170  fisumss  12175  fsumm1  12199  fsum1p  12201  fisum0diag  12224  fsumrev  12226  fsumshft  12227  fisum0diag2  12230  iserabs  12258  binomlem  12266  binom1dif  12270  isumsplit  12274  arisum2  12282  pwm1geoserap1  12291  geo2sum  12297  cvgratnnlemabsle  12310  cvgratnnlemrate  12313  mertenslemub  12317  mertenslemi1  12318  mertenslem2  12319  mertensabs  12320  prodmodclem3  12358  prodmodclem2a  12359  prodmodclem2  12360  zproddc  12362  fprodseq  12366  fprodssdc  12373  fprodm1  12381  fprod1p  12382  fprodabs  12399  fprodeq0  12400  fprodshft  12401  fprodrev  12402  fprod0diagfz  12411  efcvgfsum  12450  efaddlem  12457  eirraplem  12560  3dvds  12647  prmdc  12924  phivalfi  13010  phicl2  13012  hashdvds  13019  phiprmpw  13020  eulerthlemrprm  13027  eulerthlema  13028  eulerthlemh  13029  eulerthlemth  13030  eulerth  13031  dvdsfi  13037  pcfac  13149  pcbc  13150  1arith  13166  4sqlem11  13200  ballotfilemcinfi  13273  ballotfilemdifcfi  13274  ballotfilemcinfz  13275  ballotfilemdifcfz  13276  ballotfilemfc0  13281  ballotfilemfcc  13282  ballotfilemgval  13316  gzsumfzval  13760  gzsumval2  13763  gzsumsplit1r  13764  gzsumcl  13853  mulgnngzsum  13979  gzsumreidx  14190  gzsumsubmcl  14191  gzsumconst  14192  gzsummhm  14194  gzsumshift  14198  gsumvalfi  14201  gzsumgsum1  14202  gzsumgsum  14204  gsumressfi  14216  plyf  15887  ply1termlem  15892  plyaddlem1  15897  plymullem1  15898  plymullem  15900  plycoeid3  15907  plycolemc  15908  plycjlemc  15910  plycn  15912  plyrecj  15913  dvply1  15915  log2tlbndlog2  16139  log2ublem2  16141  log2ublog2  16143  birthdaylem1g  16144  birthdaylem2  16145  birthdaylem3  16146  ppiqfi  16158  prmdvdsfi  16159  ppiprm  16170  ppidif  16175  sgmppw  16187  0sgmppw  16188  ppiqub  16194  mersenne  16195  bposlem1  16209  bposlem2  16210  gausslemma2dlem1  16278  gausslemma2dlem4  16281  gausslemma2dlem5a  16282  gausslemma2dlem5  16283  gausslemma2dlem6  16284  lgseisenlem2  16288  lgseisenlem3  16289  lgseisenlem4  16290  lgseisen  16291  lgsquadlemsfi  16292  lgsquadlem1  16294  lgsquadlem2  16295  lgsquadlem3  16296  2lgslem1  16308  wksfval  16661  wlkex  16664  iswlkg  16668  cvgcmp2nlemabs  17179  trilpolemlt1  17188  nconstwlpolemgt0  17212