Theorem fzfigd 10665

Description: Deduction form of fzfig 10664. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10664	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007  Fincfn 6895  ℤcz 9457  ...cfz 10216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-er 6688  df-en 6896  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10740  iseqf1olemjpcl  10742  iseqf1olemqpcl  10743  iseqf1olemfvp  10744  seq3f1olemqsum  10747  seq3f1olemstep  10748  seq3f1olemp  10749  seqf1oglem2  10754  seqf1og  10755  fseq1hash  11035  hashfz  11056  fnfz0hash  11067  nnf1o  11902  summodclem2a  11907  summodclem2  11908  summodc  11909  zsumdc  11910  fsum3  11913  fisumss  11918  fsumm1  11942  fsum1p  11944  fisum0diag  11967  fsumrev  11969  fsumshft  11970  fisum0diag2  11973  iserabs  12001  binomlem  12009  binom1dif  12013  isumsplit  12017  arisum2  12025  pwm1geoserap1  12034  geo2sum  12040  cvgratnnlemabsle  12053  cvgratnnlemrate  12056  mertenslemub  12060  mertenslemi1  12061  mertenslem2  12062  mertensabs  12063  prodmodclem3  12101  prodmodclem2a  12102  prodmodclem2  12103  zproddc  12105  fprodseq  12109  fprodssdc  12116  fprodm1  12124  fprod1p  12125  fprodabs  12142  fprodeq0  12143  fprodshft  12144  fprodrev  12145  fprod0diagfz  12154  efcvgfsum  12193  efaddlem  12200  eirraplem  12303  3dvds  12390  prmdc  12667  phivalfi  12749  phicl2  12751  hashdvds  12758  phiprmpw  12759  eulerthlemrprm  12766  eulerthlema  12767  eulerthlemh  12768  eulerthlemth  12769  eulerth  12770  dvdsfi  12776  pcfac  12888  pcbc  12889  1arith  12905  4sqlem11  12939  gsumfzval  13439  gsumval2  13445  gsumsplit1r  13446  gsumfzz  13543  gsumfzcl  13547  mulgnngsum  13679  gsumfzreidx  13889  gsumfzsubmcl  13890  gsumfzmptfidmadd  13891  gsumfzmptfidmadd2  13892  gsumfzconst  13893  gsumfzmhm  13895  gsumfzfsumlemm  14566  plyf  15426  ply1termlem  15431  plyaddlem1  15436  plymullem1  15437  plymullem  15439  plycoeid3  15446  plycolemc  15447  plycjlemc  15449  plycn  15451  plyrecj  15452  dvply1  15454  sgmppw  15681  0sgmppw  15682  mersenne  15686  gausslemma2dlem1  15755  gausslemma2dlem4  15758  gausslemma2dlem5a  15759  gausslemma2dlem5  15760  gausslemma2dlem6  15761  lgseisenlem2  15765  lgseisenlem3  15766  lgseisenlem4  15767  lgseisen  15768  lgsquadlemsfi  15769  lgsquadlem1  15771  lgsquadlem2  15772  lgsquadlem3  15773  2lgslem1  15785  wksfval  16063  wlkex  16066  iswlkg  16070  cvgcmp2nlemabs  16460  trilpolemlt1  16469  nconstwlpolemgt0  16492