Theorem fzfigd 10817

Description: Deduction form of fzfig 10816. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10816	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058  Fincfn 6988  ℤcz 9594  ...cfz 10361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10892  iseqf1olemjpcl  10894  iseqf1olemqpcl  10895  iseqf1olemfvp  10896  seq3f1olemqsum  10899  seq3f1olemstep  10900  seq3f1olemp  10901  seqf1oglem2  10906  seqf1og  10907  fseq1hash  11190  hashfz  11211  fnfz0hash  11224  sseqn  11228  nnf1o  12087  summodclem2a  12092  summodclem2  12093  summodc  12094  zsumdc  12095  fsum3  12098  fisumss  12103  fsumm1  12127  fsum1p  12129  fisum0diag  12152  fsumrev  12154  fsumshft  12155  fisum0diag2  12158  iserabs  12186  binomlem  12194  binom1dif  12198  isumsplit  12202  arisum2  12210  pwm1geoserap1  12219  geo2sum  12225  cvgratnnlemabsle  12238  cvgratnnlemrate  12241  mertenslemub  12245  mertenslemi1  12246  mertenslem2  12247  mertensabs  12248  prodmodclem3  12286  prodmodclem2a  12287  prodmodclem2  12288  zproddc  12290  fprodseq  12294  fprodssdc  12301  fprodm1  12309  fprod1p  12310  fprodabs  12327  fprodeq0  12328  fprodshft  12329  fprodrev  12330  fprod0diagfz  12339  efcvgfsum  12378  efaddlem  12385  eirraplem  12488  3dvds  12575  prmdc  12852  phivalfi  12934  phicl2  12936  hashdvds  12943  phiprmpw  12944  eulerthlemrprm  12951  eulerthlema  12952  eulerthlemh  12953  eulerthlemth  12954  eulerth  12955  dvdsfi  12961  pcfac  13073  pcbc  13074  1arith  13090  4sqlem11  13124  ballotfilemcinfi  13168  ballotfilemdifcfi  13169  ballotfilemcinfz  13170  ballotfilemdifcfz  13171  ballotfilemfc0  13176  ballotfilemfcc  13177  ballotfilemgval  13211  gsumfzval  13654  gsumval2  13660  gsumsplit1r  13661  gsumfzz  13750  gsumfzcl  13754  mulgnngsum  13880  gsumfzreidx  14090  gsumfzsubmcl  14091  gsumfzmptfidmadd  14092  gsumfzmptfidmadd2  14093  gsumfzconst  14094  gsumfzmhm  14096  gfsumval  14102  gsumgfsum1  14103  gsumshift  14105  gsumgfsum  14106  gsumfzfsumlemm  14861  plyf  15728  ply1termlem  15733  plyaddlem1  15738  plymullem1  15739  plymullem  15741  plycoeid3  15748  plycolemc  15749  plycjlemc  15751  plycn  15753  plyrecj  15754  dvply1  15756  sgmppw  15986  0sgmppw  15987  mersenne  15991  gausslemma2dlem1  16060  gausslemma2dlem4  16063  gausslemma2dlem5a  16064  gausslemma2dlem5  16065  gausslemma2dlem6  16066  lgseisenlem2  16070  lgseisenlem3  16071  lgseisenlem4  16072  lgseisen  16073  lgsquadlemsfi  16074  lgsquadlem1  16076  lgsquadlem2  16077  lgsquadlem3  16078  2lgslem1  16090  wksfval  16443  wlkex  16446  iswlkg  16450  cvgcmp2nlemabs  16942  trilpolemlt1  16951  nconstwlpolemgt0  16976