Theorem fzfigd 10387

Description: Deduction form of fzfig 10386. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10386	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5853  Fincfn 6718  ℤcz 9212  ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10449  iseqf1olemjpcl  10451  iseqf1olemqpcl  10452  iseqf1olemfvp  10453  seq3f1olemqsum  10456  seq3f1olemstep  10457  seq3f1olemp  10458  fseq1hash  10736  hashfz  10756  fnfz0hash  10767  nnf1o  11339  summodclem2a  11344  summodclem2  11345  summodc  11346  zsumdc  11347  fsum3  11350  fisumss  11355  fsumm1  11379  fsum1p  11381  fisum0diag  11404  fsumrev  11406  fsumshft  11407  fisum0diag2  11410  iserabs  11438  binomlem  11446  binom1dif  11450  isumsplit  11454  arisum2  11462  pwm1geoserap1  11471  geo2sum  11477  cvgratnnlemabsle  11490  cvgratnnlemrate  11493  mertenslemub  11497  mertenslemi1  11498  mertenslem2  11499  mertensabs  11500  prodmodclem3  11538  prodmodclem2a  11539  prodmodclem2  11540  zproddc  11542  fprodseq  11546  fprodssdc  11553  fprodm1  11561  fprod1p  11562  fprodabs  11579  fprodeq0  11580  fprodshft  11581  fprodrev  11582  fprod0diagfz  11591  efcvgfsum  11630  efaddlem  11637  eirraplem  11739  prmdc  12084  phivalfi  12166  phicl2  12168  hashdvds  12175  phiprmpw  12176  eulerthlemrprm  12183  eulerthlema  12184  eulerthlemh  12185  eulerthlemth  12186  eulerth  12187  phisum  12194  pcfac  12302  pcbc  12303  1arith  12319  cvgcmp2nlemabs  14064  trilpolemlt1  14073  nconstwlpolemgt0  14095