Theorem fzfigd 10683

Description: Deduction form of fzfig 10682. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10682	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013  Fincfn 6904  ℤcz 9469  ...cfz 10233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10758  iseqf1olemjpcl  10760  iseqf1olemqpcl  10761  iseqf1olemfvp  10762  seq3f1olemqsum  10765  seq3f1olemstep  10766  seq3f1olemp  10767  seqf1oglem2  10772  seqf1og  10773  fseq1hash  11054  hashfz  11075  fnfz0hash  11086  nnf1o  11927  summodclem2a  11932  summodclem2  11933  summodc  11934  zsumdc  11935  fsum3  11938  fisumss  11943  fsumm1  11967  fsum1p  11969  fisum0diag  11992  fsumrev  11994  fsumshft  11995  fisum0diag2  11998  iserabs  12026  binomlem  12034  binom1dif  12038  isumsplit  12042  arisum2  12050  pwm1geoserap1  12059  geo2sum  12065  cvgratnnlemabsle  12078  cvgratnnlemrate  12081  mertenslemub  12085  mertenslemi1  12086  mertenslem2  12087  mertensabs  12088  prodmodclem3  12126  prodmodclem2a  12127  prodmodclem2  12128  zproddc  12130  fprodseq  12134  fprodssdc  12141  fprodm1  12149  fprod1p  12150  fprodabs  12167  fprodeq0  12168  fprodshft  12169  fprodrev  12170  fprod0diagfz  12179  efcvgfsum  12218  efaddlem  12225  eirraplem  12328  3dvds  12415  prmdc  12692  phivalfi  12774  phicl2  12776  hashdvds  12783  phiprmpw  12784  eulerthlemrprm  12791  eulerthlema  12792  eulerthlemh  12793  eulerthlemth  12794  eulerth  12795  dvdsfi  12801  pcfac  12913  pcbc  12914  1arith  12930  4sqlem11  12964  gsumfzval  13464  gsumval2  13470  gsumsplit1r  13471  gsumfzz  13568  gsumfzcl  13572  mulgnngsum  13704  gsumfzreidx  13914  gsumfzsubmcl  13915  gsumfzmptfidmadd  13916  gsumfzmptfidmadd2  13917  gsumfzconst  13918  gsumfzmhm  13920  gsumfzfsumlemm  14591  plyf  15451  ply1termlem  15456  plyaddlem1  15461  plymullem1  15462  plymullem  15464  plycoeid3  15471  plycolemc  15472  plycjlemc  15474  plycn  15476  plyrecj  15477  dvply1  15479  sgmppw  15706  0sgmppw  15707  mersenne  15711  gausslemma2dlem1  15780  gausslemma2dlem4  15783  gausslemma2dlem5a  15784  gausslemma2dlem5  15785  gausslemma2dlem6  15786  lgseisenlem2  15790  lgseisenlem3  15791  lgseisenlem4  15792  lgseisen  15793  lgsquadlemsfi  15794  lgsquadlem1  15796  lgsquadlem2  15797  lgsquadlem3  15798  2lgslem1  15810  wksfval  16119  wlkex  16122  iswlkg  16126  cvgcmp2nlemabs  16572  trilpolemlt1  16581  nconstwlpolemgt0  16604