Theorem fzfigd 10846

Description: Deduction form of fzfig 10845. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10845	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6075  Fincfn 7012  ℤcz 9623  ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10921  iseqf1olemjpcl  10923  iseqf1olemqpcl  10924  iseqf1olemfvp  10925  seq3f1olemqsum  10928  seq3f1olemstep  10929  seq3f1olemp  10930  seqf1oglem2  10935  seqf1og  10936  fseq1hash  11219  hashfz  11240  fnfz0hash  11253  sseqn  11257  nnf1o  12121  summodclem2a  12126  summodclem2  12127  summodc  12128  zsumdc  12129  fsum3  12132  fisumss  12137  fsumm1  12161  fsum1p  12163  fisum0diag  12186  fsumrev  12188  fsumshft  12189  fisum0diag2  12192  iserabs  12220  binomlem  12228  binom1dif  12232  isumsplit  12236  arisum2  12244  pwm1geoserap1  12253  geo2sum  12259  cvgratnnlemabsle  12272  cvgratnnlemrate  12275  mertenslemub  12279  mertenslemi1  12280  mertenslem2  12281  mertensabs  12282  prodmodclem3  12320  prodmodclem2a  12321  prodmodclem2  12322  zproddc  12324  fprodseq  12328  fprodssdc  12335  fprodm1  12343  fprod1p  12344  fprodabs  12361  fprodeq0  12362  fprodshft  12363  fprodrev  12364  fprod0diagfz  12373  efcvgfsum  12412  efaddlem  12419  eirraplem  12522  3dvds  12609  prmdc  12886  phivalfi  12968  phicl2  12970  hashdvds  12977  phiprmpw  12978  eulerthlemrprm  12985  eulerthlema  12986  eulerthlemh  12987  eulerthlemth  12988  eulerth  12989  dvdsfi  12995  pcfac  13107  pcbc  13108  1arith  13124  4sqlem11  13158  ballotfilemcinfi  13202  ballotfilemdifcfi  13203  ballotfilemcinfz  13204  ballotfilemdifcfz  13205  ballotfilemfc0  13210  ballotfilemfcc  13211  ballotfilemgval  13245  gzsumfzval  13688  gzsumval2  13691  gzsumsplit1r  13692  gzsumcl  13781  mulgnngzsum  13907  gzsumreidx  14118  gzsumsubmcl  14119  gzsumconst  14120  gzsummhm  14122  gzsumshift  14126  gsumvalfi  14129  gzsumgsum1  14130  gzsumgsum  14132  gsumressfi  14144  plyf  15761  ply1termlem  15766  plyaddlem1  15771  plymullem1  15772  plymullem  15774  plycoeid3  15781  plycolemc  15782  plycjlemc  15784  plycn  15786  plyrecj  15787  dvply1  15789  sgmppw  16020  0sgmppw  16021  mersenne  16025  gausslemma2dlem1  16094  gausslemma2dlem4  16097  gausslemma2dlem5a  16098  gausslemma2dlem5  16099  gausslemma2dlem6  16100  lgseisenlem2  16104  lgseisenlem3  16105  lgseisenlem4  16106  lgseisen  16107  lgsquadlemsfi  16108  lgsquadlem1  16110  lgsquadlem2  16111  lgsquadlem3  16112  2lgslem1  16124  wksfval  16477  wlkex  16480  iswlkg  16484  cvgcmp2nlemabs  16986  trilpolemlt1  16995  nconstwlpolemgt0  17019