Theorem fzfigd 10648

Description: Deduction form of fzfig 10647. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10647	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6000  Fincfn 6885  ℤcz 9442  ...cfz 10200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10723  iseqf1olemjpcl  10725  iseqf1olemqpcl  10726  iseqf1olemfvp  10727  seq3f1olemqsum  10730  seq3f1olemstep  10731  seq3f1olemp  10732  seqf1oglem2  10737  seqf1og  10738  fseq1hash  11018  hashfz  11038  fnfz0hash  11049  nnf1o  11882  summodclem2a  11887  summodclem2  11888  summodc  11889  zsumdc  11890  fsum3  11893  fisumss  11898  fsumm1  11922  fsum1p  11924  fisum0diag  11947  fsumrev  11949  fsumshft  11950  fisum0diag2  11953  iserabs  11981  binomlem  11989  binom1dif  11993  isumsplit  11997  arisum2  12005  pwm1geoserap1  12014  geo2sum  12020  cvgratnnlemabsle  12033  cvgratnnlemrate  12036  mertenslemub  12040  mertenslemi1  12041  mertenslem2  12042  mertensabs  12043  prodmodclem3  12081  prodmodclem2a  12082  prodmodclem2  12083  zproddc  12085  fprodseq  12089  fprodssdc  12096  fprodm1  12104  fprod1p  12105  fprodabs  12122  fprodeq0  12123  fprodshft  12124  fprodrev  12125  fprod0diagfz  12134  efcvgfsum  12173  efaddlem  12180  eirraplem  12283  3dvds  12370  prmdc  12647  phivalfi  12729  phicl2  12731  hashdvds  12738  phiprmpw  12739  eulerthlemrprm  12746  eulerthlema  12747  eulerthlemh  12748  eulerthlemth  12749  eulerth  12750  dvdsfi  12756  pcfac  12868  pcbc  12869  1arith  12885  4sqlem11  12919  gsumfzval  13419  gsumval2  13425  gsumsplit1r  13426  gsumfzz  13523  gsumfzcl  13527  mulgnngsum  13659  gsumfzreidx  13869  gsumfzsubmcl  13870  gsumfzmptfidmadd  13871  gsumfzmptfidmadd2  13872  gsumfzconst  13873  gsumfzmhm  13875  gsumfzfsumlemm  14545  plyf  15405  ply1termlem  15410  plyaddlem1  15415  plymullem1  15416  plymullem  15418  plycoeid3  15425  plycolemc  15426  plycjlemc  15428  plycn  15430  plyrecj  15431  dvply1  15433  sgmppw  15660  0sgmppw  15661  mersenne  15665  gausslemma2dlem1  15734  gausslemma2dlem4  15737  gausslemma2dlem5a  15738  gausslemma2dlem5  15739  gausslemma2dlem6  15740  lgseisenlem2  15744  lgseisenlem3  15745  lgseisenlem4  15746  lgseisen  15747  lgsquadlemsfi  15748  lgsquadlem1  15750  lgsquadlem2  15751  lgsquadlem3  15752  2lgslem1  15764  wksfval  16028  iswlkg  16032  cvgcmp2nlemabs  16359  trilpolemlt1  16368  nconstwlpolemgt0  16391