Theorem fzfigd 10737

Description: Deduction form of fzfig 10736. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10736	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028  Fincfn 6952  ℤcz 9522  ...cfz 10286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10812  iseqf1olemjpcl  10814  iseqf1olemqpcl  10815  iseqf1olemfvp  10816  seq3f1olemqsum  10819  seq3f1olemstep  10820  seq3f1olemp  10821  seqf1oglem2  10826  seqf1og  10827  fseq1hash  11108  hashfz  11129  fnfz0hash  11140  nnf1o  11998  summodclem2a  12003  summodclem2  12004  summodc  12005  zsumdc  12006  fsum3  12009  fisumss  12014  fsumm1  12038  fsum1p  12040  fisum0diag  12063  fsumrev  12065  fsumshft  12066  fisum0diag2  12069  iserabs  12097  binomlem  12105  binom1dif  12109  isumsplit  12113  arisum2  12121  pwm1geoserap1  12130  geo2sum  12136  cvgratnnlemabsle  12149  cvgratnnlemrate  12152  mertenslemub  12156  mertenslemi1  12157  mertenslem2  12158  mertensabs  12159  prodmodclem3  12197  prodmodclem2a  12198  prodmodclem2  12199  zproddc  12201  fprodseq  12205  fprodssdc  12212  fprodm1  12220  fprod1p  12221  fprodabs  12238  fprodeq0  12239  fprodshft  12240  fprodrev  12241  fprod0diagfz  12250  efcvgfsum  12289  efaddlem  12296  eirraplem  12399  3dvds  12486  prmdc  12763  phivalfi  12845  phicl2  12847  hashdvds  12854  phiprmpw  12855  eulerthlemrprm  12862  eulerthlema  12863  eulerthlemh  12864  eulerthlemth  12865  eulerth  12866  dvdsfi  12872  pcfac  12984  pcbc  12985  1arith  13001  4sqlem11  13035  gsumfzval  13535  gsumval2  13541  gsumsplit1r  13542  gsumfzz  13639  gsumfzcl  13643  mulgnngsum  13775  gsumfzreidx  13985  gsumfzsubmcl  13986  gsumfzmptfidmadd  13987  gsumfzmptfidmadd2  13988  gsumfzconst  13989  gsumfzmhm  13991  gsumfzfsumlemm  14663  plyf  15528  ply1termlem  15533  plyaddlem1  15538  plymullem1  15539  plymullem  15541  plycoeid3  15548  plycolemc  15549  plycjlemc  15551  plycn  15553  plyrecj  15554  dvply1  15556  sgmppw  15786  0sgmppw  15787  mersenne  15791  gausslemma2dlem1  15860  gausslemma2dlem4  15863  gausslemma2dlem5a  15864  gausslemma2dlem5  15865  gausslemma2dlem6  15866  lgseisenlem2  15870  lgseisenlem3  15871  lgseisenlem4  15872  lgseisen  15873  lgsquadlemsfi  15874  lgsquadlem1  15876  lgsquadlem2  15877  lgsquadlem3  15878  2lgslem1  15890  wksfval  16243  wlkex  16246  iswlkg  16250  cvgcmp2nlemabs  16744  trilpolemlt1  16753  nconstwlpolemgt0  16777  gfsumval  16789  gsumgfsum1  16790  gsumgfsumlem  16792  gsumgfsum  16793