Theorem fzfigd 10739

Description: Deduction form of fzfig 10738. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10738	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028  Fincfn 6952  ℤcz 9523  ...cfz 10288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10814  iseqf1olemjpcl  10816  iseqf1olemqpcl  10817  iseqf1olemfvp  10818  seq3f1olemqsum  10821  seq3f1olemstep  10822  seq3f1olemp  10823  seqf1oglem2  10828  seqf1og  10829  fseq1hash  11110  hashfz  11131  fnfz0hash  11142  nnf1o  12000  summodclem2a  12005  summodclem2  12006  summodc  12007  zsumdc  12008  fsum3  12011  fisumss  12016  fsumm1  12040  fsum1p  12042  fisum0diag  12065  fsumrev  12067  fsumshft  12068  fisum0diag2  12071  iserabs  12099  binomlem  12107  binom1dif  12111  isumsplit  12115  arisum2  12123  pwm1geoserap1  12132  geo2sum  12138  cvgratnnlemabsle  12151  cvgratnnlemrate  12154  mertenslemub  12158  mertenslemi1  12159  mertenslem2  12160  mertensabs  12161  prodmodclem3  12199  prodmodclem2a  12200  prodmodclem2  12201  zproddc  12203  fprodseq  12207  fprodssdc  12214  fprodm1  12222  fprod1p  12223  fprodabs  12240  fprodeq0  12241  fprodshft  12242  fprodrev  12243  fprod0diagfz  12252  efcvgfsum  12291  efaddlem  12298  eirraplem  12401  3dvds  12488  prmdc  12765  phivalfi  12847  phicl2  12849  hashdvds  12856  phiprmpw  12857  eulerthlemrprm  12864  eulerthlema  12865  eulerthlemh  12866  eulerthlemth  12867  eulerth  12868  dvdsfi  12874  pcfac  12986  pcbc  12987  1arith  13003  4sqlem11  13037  gsumfzval  13537  gsumval2  13543  gsumsplit1r  13544  gsumfzz  13641  gsumfzcl  13645  mulgnngsum  13777  gsumfzreidx  13987  gsumfzsubmcl  13988  gsumfzmptfidmadd  13989  gsumfzmptfidmadd2  13990  gsumfzconst  13991  gsumfzmhm  13993  gsumfzfsumlemm  14666  plyf  15531  ply1termlem  15536  plyaddlem1  15541  plymullem1  15542  plymullem  15544  plycoeid3  15551  plycolemc  15552  plycjlemc  15554  plycn  15556  plyrecj  15557  dvply1  15559  sgmppw  15789  0sgmppw  15790  mersenne  15794  gausslemma2dlem1  15863  gausslemma2dlem4  15866  gausslemma2dlem5a  15867  gausslemma2dlem5  15868  gausslemma2dlem6  15869  lgseisenlem2  15873  lgseisenlem3  15874  lgseisenlem4  15875  lgseisen  15876  lgsquadlemsfi  15877  lgsquadlem1  15879  lgsquadlem2  15880  lgsquadlem3  15881  2lgslem1  15893  wksfval  16246  wlkex  16249  iswlkg  16253  cvgcmp2nlemabs  16747  trilpolemlt1  16756  nconstwlpolemgt0  16780  gfsumval  16792  gsumgfsum1  16793  gsumgfsumlem  16795  gsumgfsum  16796