Theorem fzfigd 10528

Description: Deduction form of fzfig 10527. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10527	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  Fincfn 6803  ℤcz 9331  ...cfz 10088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7975  ax-resscn 7976  ax-1cn 7977  ax-1re 7978  ax-icn 7979  ax-addcl 7980  ax-addrcl 7981  ax-mulcl 7982  ax-addcom 7984  ax-addass 7986  ax-distr 7988  ax-i2m1 7989  ax-0lt1 7990  ax-0id 7992  ax-rnegex 7993  ax-cnre 7995  ax-pre-ltirr 7996  ax-pre-ltwlin 7997  ax-pre-lttrn 7998  ax-pre-apti 7999  ax-pre-ltadd 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6202  df-2nd 6203  df-recs 6367  df-frec 6453  df-1o 6478  df-er 6596  df-en 6804  df-fin 6806  df-pnf 8068  df-mnf 8069  df-xr 8070  df-ltxr 8071  df-le 8072  df-sub 8204  df-neg 8205  df-inn 8996  df-n0 9255  df-z 9332  df-uz 9607  df-fz 10089

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10603  iseqf1olemjpcl  10605  iseqf1olemqpcl  10606  iseqf1olemfvp  10607  seq3f1olemqsum  10610  seq3f1olemstep  10611  seq3f1olemp  10612  seqf1oglem2  10617  seqf1og  10618  fseq1hash  10898  hashfz  10918  fnfz0hash  10929  nnf1o  11546  summodclem2a  11551  summodclem2  11552  summodc  11553  zsumdc  11554  fsum3  11557  fisumss  11562  fsumm1  11586  fsum1p  11588  fisum0diag  11611  fsumrev  11613  fsumshft  11614  fisum0diag2  11617  iserabs  11645  binomlem  11653  binom1dif  11657  isumsplit  11661  arisum2  11669  pwm1geoserap1  11678  geo2sum  11684  cvgratnnlemabsle  11697  cvgratnnlemrate  11700  mertenslemub  11704  mertenslemi1  11705  mertenslem2  11706  mertensabs  11707  prodmodclem3  11745  prodmodclem2a  11746  prodmodclem2  11747  zproddc  11749  fprodseq  11753  fprodssdc  11760  fprodm1  11768  fprod1p  11769  fprodabs  11786  fprodeq0  11787  fprodshft  11788  fprodrev  11789  fprod0diagfz  11798  efcvgfsum  11837  efaddlem  11844  eirraplem  11947  3dvds  12034  prmdc  12311  phivalfi  12393  phicl2  12395  hashdvds  12402  phiprmpw  12403  eulerthlemrprm  12410  eulerthlema  12411  eulerthlemh  12412  eulerthlemth  12413  eulerth  12414  dvdsfi  12420  pcfac  12532  pcbc  12533  1arith  12549  4sqlem11  12583  gsumfzval  13081  gsumval2  13087  gsumsplit1r  13088  gsumfzz  13174  gsumfzcl  13178  mulgnngsum  13304  gsumfzreidx  13514  gsumfzsubmcl  13515  gsumfzmptfidmadd  13516  gsumfzmptfidmadd2  13517  gsumfzconst  13518  gsumfzmhm  13520  gsumfzfsumlemm  14190  plyf  15020  ply1termlem  15025  plyaddlem1  15030  plymullem1  15031  plymullem  15033  plycoeid3  15040  plycolemc  15041  plycjlemc  15043  plycn  15045  plyrecj  15046  dvply1  15048  sgmppw  15275  0sgmppw  15276  mersenne  15280  gausslemma2dlem1  15349  gausslemma2dlem4  15352  gausslemma2dlem5a  15353  gausslemma2dlem5  15354  gausslemma2dlem6  15355  lgseisenlem2  15359  lgseisenlem3  15360  lgseisenlem4  15361  lgseisen  15362  lgsquadlemsfi  15363  lgsquadlem1  15365  lgsquadlem2  15366  lgsquadlem3  15367  2lgslem1  15379  cvgcmp2nlemabs  15726  trilpolemlt1  15735  nconstwlpolemgt0  15758