Theorem fzfigd 10889

Description: Deduction form of fzfig 10888. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10888	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  Fincfn 7026  ℤcz 9655  ...cfz 10428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429

This theorem is used by:  iseqf1olemqf1o  10964  iseqf1olemjpcl  10966  iseqf1olemqpcl  10967  iseqf1olemfvp  10968  seq3f1olemqsum  10971  seq3f1olemstep  10972  seq3f1olemp  10973  seqf1oglem2  10978  seqf1og  10979  fseq1hash  11263  hashfz  11284  fnfz0hash  11297  sseqn  11301  nnf1o  12168  summodclem2a  12173  summodclem2  12174  summodc  12175  zsumdc  12176  fsum3  12179  fisumss  12184  fsumm1  12208  fsum1p  12210  fisum0diag  12233  fsumrev  12235  fsumshft  12236  fisum0diag2  12239  iserabs  12267  binomlem  12275  binom1dif  12279  isumsplit  12283  arisum2  12291  pwm1geoserap1  12300  geo2sum  12306  cvgratnnlemabsle  12319  cvgratnnlemrate  12322  mertenslemub  12326  mertenslemi1  12327  mertenslem2  12328  mertensabs  12329  prodmodclem3  12367  prodmodclem2a  12368  prodmodclem2  12369  zproddc  12371  fprodseq  12375  fprodssdc  12382  fprodm1  12390  fprod1p  12391  fprodabs  12408  fprodeq0  12409  fprodshft  12410  fprodrev  12411  fprod0diagfz  12420  efcvgfsum  12459  efaddlem  12466  eirraplem  12569  3dvds  12656  prmdc  12933  phivalfi  13019  phicl2  13021  hashdvds  13028  phiprmpw  13029  eulerthlemrprm  13036  eulerthlema  13037  eulerthlemh  13038  eulerthlemth  13039  eulerth  13040  dvdsfi  13046  pcfac  13158  pcbc  13159  1arith  13175  4sqlem11  13209  ballotfilemcinfi  13282  ballotfilemdifcfi  13283  ballotfilemcinfz  13284  ballotfilemdifcfz  13285  ballotfilemfc0  13290  ballotfilemfcc  13291  ballotfilemgval  13325  gzsumfzval  13770  gzsumval2  13773  gzsumsplit1r  13774  gzsumcl  13863  mulgnngzsum  13989  gzsumreidx  14231  gzsumsubmcl  14232  gzsumconst  14233  gzsummhm  14235  gzsumshift  14239  gsumvalfi  14242  gzsumgsum1  14243  gzsumgsum  14245  gsumressfi  14267  psrbaglefifi  15172  plyf  15963  ply1termlem  15968  plyaddlem1  15973  plymullem1  15974  plymullem  15976  plycoeid3  15983  plycolemc  15984  plycjlemc  15986  plycn  15988  plyrecj  15989  dvply1  15991  log2tlbndlog2  16220  log2ublem2  16222  log2ublog2  16224  birthdaylem1g  16225  birthdaylem2  16226  birthdaylem3  16227  ppiqfi  16242  prmdvdsfi  16243  ppiprm  16259  chtprm  16261  chtdif  16264  efchtqdvds  16265  ppidif  16269  prmorcht  16282  sgmppw  16286  0sgmppw  16287  ppiqub  16293  chtublem  16295  mersenne  16297  bposlem1  16311  bposlem2  16312  gausslemma2dlem1  16385  gausslemma2dlem4  16388  gausslemma2dlem5a  16389  gausslemma2dlem5  16390  gausslemma2dlem6  16391  lgseisenlem2  16395  lgseisenlem3  16396  lgseisenlem4  16397  lgseisen  16398  lgsquadlemsfi  16399  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem2  16402  lgsquadlem3  16403  2lgslem1  16415  wksfval  16768  wlkex  16771  iswlkg  16775  cvgcmp2nlemabs  17287  trilpolemlt1  17297  nconstwlpolemgt0  17321