Theorem fzfigd 10431

Description: Deduction form of fzfig 10430. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10430	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5875  Fincfn 6740  ℤcz 9253  ...cfz 10008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-1o 6417  df-er 6535  df-en 6741  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10493  iseqf1olemjpcl  10495  iseqf1olemqpcl  10496  iseqf1olemfvp  10497  seq3f1olemqsum  10500  seq3f1olemstep  10501  seq3f1olemp  10502  fseq1hash  10781  hashfz  10801  fnfz0hash  10812  nnf1o  11384  summodclem2a  11389  summodclem2  11390  summodc  11391  zsumdc  11392  fsum3  11395  fisumss  11400  fsumm1  11424  fsum1p  11426  fisum0diag  11449  fsumrev  11451  fsumshft  11452  fisum0diag2  11455  iserabs  11483  binomlem  11491  binom1dif  11495  isumsplit  11499  arisum2  11507  pwm1geoserap1  11516  geo2sum  11522  cvgratnnlemabsle  11535  cvgratnnlemrate  11538  mertenslemub  11542  mertenslemi1  11543  mertenslem2  11544  mertensabs  11545  prodmodclem3  11583  prodmodclem2a  11584  prodmodclem2  11585  zproddc  11587  fprodseq  11591  fprodssdc  11598  fprodm1  11606  fprod1p  11607  fprodabs  11624  fprodeq0  11625  fprodshft  11626  fprodrev  11627  fprod0diagfz  11636  efcvgfsum  11675  efaddlem  11682  eirraplem  11784  prmdc  12130  phivalfi  12212  phicl2  12214  hashdvds  12221  phiprmpw  12222  eulerthlemrprm  12229  eulerthlema  12230  eulerthlemh  12231  eulerthlemth  12232  eulerth  12233  phisum  12240  pcfac  12348  pcbc  12349  1arith  12365  lgseisenlem2  14454  cvgcmp2nlemabs  14783  trilpolemlt1  14792  nconstwlpolemgt0  14814