Theorem fzfigd 10356

Description: Deduction form of fzfig 10355. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10355	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2135  (class class class)co 5836  Fincfn 6697  ℤcz 9182  ...cfz 9935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-frec 6350  df-1o 6375  df-er 6492  df-en 6698  df-fin 6700  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-fz 9936

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10418  iseqf1olemjpcl  10420  iseqf1olemqpcl  10421  iseqf1olemfvp  10422  seq3f1olemqsum  10425  seq3f1olemstep  10426  seq3f1olemp  10427  fseq1hash  10703  hashfz  10723  fnfz0hash  10731  nnf1o  11303  summodclem2a  11308  summodclem2  11309  summodc  11310  zsumdc  11311  fsum3  11314  fisumss  11319  fsumm1  11343  fsum1p  11345  fisum0diag  11368  fsumrev  11370  fsumshft  11371  fisum0diag2  11374  iserabs  11402  binomlem  11410  binom1dif  11414  isumsplit  11418  arisum2  11426  pwm1geoserap1  11435  geo2sum  11441  cvgratnnlemabsle  11454  cvgratnnlemrate  11457  mertenslemub  11461  mertenslemi1  11462  mertenslem2  11463  mertensabs  11464  prodmodclem3  11502  prodmodclem2a  11503  prodmodclem2  11504  zproddc  11506  fprodseq  11510  fprodssdc  11517  fprodm1  11525  fprod1p  11526  fprodabs  11543  fprodeq0  11544  fprodshft  11545  fprodrev  11546  fprod0diagfz  11555  efcvgfsum  11594  efaddlem  11601  eirraplem  11703  prmdc  12041  phivalfi  12121  phicl2  12123  hashdvds  12130  phiprmpw  12131  eulerthlemrprm  12138  eulerthlema  12139  eulerthlemh  12140  eulerthlemth  12141  eulerth  12142  phisum  12149  pcfac  12257  pcbc  12258  cvgcmp2nlemabs  13745  trilpolemlt1  13754  nconstwlpolemgt0  13776