Theorem fzfigd 10694

Description: Deduction form of fzfig 10693. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10693	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  Fincfn 6909  ℤcz 9479  ...cfz 10243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10769  iseqf1olemjpcl  10771  iseqf1olemqpcl  10772  iseqf1olemfvp  10773  seq3f1olemqsum  10776  seq3f1olemstep  10777  seq3f1olemp  10778  seqf1oglem2  10783  seqf1og  10784  fseq1hash  11065  hashfz  11086  fnfz0hash  11097  nnf1o  11942  summodclem2a  11947  summodclem2  11948  summodc  11949  zsumdc  11950  fsum3  11953  fisumss  11958  fsumm1  11982  fsum1p  11984  fisum0diag  12007  fsumrev  12009  fsumshft  12010  fisum0diag2  12013  iserabs  12041  binomlem  12049  binom1dif  12053  isumsplit  12057  arisum2  12065  pwm1geoserap1  12074  geo2sum  12080  cvgratnnlemabsle  12093  cvgratnnlemrate  12096  mertenslemub  12100  mertenslemi1  12101  mertenslem2  12102  mertensabs  12103  prodmodclem3  12141  prodmodclem2a  12142  prodmodclem2  12143  zproddc  12145  fprodseq  12149  fprodssdc  12156  fprodm1  12164  fprod1p  12165  fprodabs  12182  fprodeq0  12183  fprodshft  12184  fprodrev  12185  fprod0diagfz  12194  efcvgfsum  12233  efaddlem  12240  eirraplem  12343  3dvds  12430  prmdc  12707  phivalfi  12789  phicl2  12791  hashdvds  12798  phiprmpw  12799  eulerthlemrprm  12806  eulerthlema  12807  eulerthlemh  12808  eulerthlemth  12809  eulerth  12810  dvdsfi  12816  pcfac  12928  pcbc  12929  1arith  12945  4sqlem11  12979  gsumfzval  13479  gsumval2  13485  gsumsplit1r  13486  gsumfzz  13583  gsumfzcl  13587  mulgnngsum  13719  gsumfzreidx  13929  gsumfzsubmcl  13930  gsumfzmptfidmadd  13931  gsumfzmptfidmadd2  13932  gsumfzconst  13933  gsumfzmhm  13935  gsumfzfsumlemm  14607  plyf  15467  ply1termlem  15472  plyaddlem1  15477  plymullem1  15478  plymullem  15480  plycoeid3  15487  plycolemc  15488  plycjlemc  15490  plycn  15492  plyrecj  15493  dvply1  15495  sgmppw  15722  0sgmppw  15723  mersenne  15727  gausslemma2dlem1  15796  gausslemma2dlem4  15799  gausslemma2dlem5a  15800  gausslemma2dlem5  15801  gausslemma2dlem6  15802  lgseisenlem2  15806  lgseisenlem3  15807  lgseisenlem4  15808  lgseisen  15809  lgsquadlemsfi  15810  lgsquadlem1  15812  lgsquadlem2  15813  lgsquadlem3  15814  2lgslem1  15826  wksfval  16179  wlkex  16182  iswlkg  16186  cvgcmp2nlemabs  16662  trilpolemlt1  16671  nconstwlpolemgt0  16695  gfsumval  16707  gsumgfsum1  16708  gsumgfsumlem  16710  gsumgfsum  16711