Theorem fzfigd 10366

Description: Deduction form of fzfig 10365. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10365	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842  Fincfn 6706  ℤcz 9191  ...cfz 9944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10428  iseqf1olemjpcl  10430  iseqf1olemqpcl  10431  iseqf1olemfvp  10432  seq3f1olemqsum  10435  seq3f1olemstep  10436  seq3f1olemp  10437  fseq1hash  10714  hashfz  10734  fnfz0hash  10745  nnf1o  11317  summodclem2a  11322  summodclem2  11323  summodc  11324  zsumdc  11325  fsum3  11328  fisumss  11333  fsumm1  11357  fsum1p  11359  fisum0diag  11382  fsumrev  11384  fsumshft  11385  fisum0diag2  11388  iserabs  11416  binomlem  11424  binom1dif  11428  isumsplit  11432  arisum2  11440  pwm1geoserap1  11449  geo2sum  11455  cvgratnnlemabsle  11468  cvgratnnlemrate  11471  mertenslemub  11475  mertenslemi1  11476  mertenslem2  11477  mertensabs  11478  prodmodclem3  11516  prodmodclem2a  11517  prodmodclem2  11518  zproddc  11520  fprodseq  11524  fprodssdc  11531  fprodm1  11539  fprod1p  11540  fprodabs  11557  fprodeq0  11558  fprodshft  11559  fprodrev  11560  fprod0diagfz  11569  efcvgfsum  11608  efaddlem  11615  eirraplem  11717  prmdc  12062  phivalfi  12144  phicl2  12146  hashdvds  12153  phiprmpw  12154  eulerthlemrprm  12161  eulerthlema  12162  eulerthlemh  12163  eulerthlemth  12164  eulerth  12165  phisum  12172  pcfac  12280  pcbc  12281  1arith  12297  cvgcmp2nlemabs  13911  trilpolemlt1  13920  nconstwlpolemgt0  13942