Theorem fzfigd 10505

Description: Deduction form of fzfig 10504. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10504	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5919  Fincfn 6796  ℤcz 9320  ...cfz 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-1o 6471  df-er 6589  df-en 6797  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10580  iseqf1olemjpcl  10582  iseqf1olemqpcl  10583  iseqf1olemfvp  10584  seq3f1olemqsum  10587  seq3f1olemstep  10588  seq3f1olemp  10589  seqf1oglem2  10594  seqf1og  10595  fseq1hash  10875  hashfz  10895  fnfz0hash  10906  nnf1o  11522  summodclem2a  11527  summodclem2  11528  summodc  11529  zsumdc  11530  fsum3  11533  fisumss  11538  fsumm1  11562  fsum1p  11564  fisum0diag  11587  fsumrev  11589  fsumshft  11590  fisum0diag2  11593  iserabs  11621  binomlem  11629  binom1dif  11633  isumsplit  11637  arisum2  11645  pwm1geoserap1  11654  geo2sum  11660  cvgratnnlemabsle  11673  cvgratnnlemrate  11676  mertenslemub  11680  mertenslemi1  11681  mertenslem2  11682  mertensabs  11683  prodmodclem3  11721  prodmodclem2a  11722  prodmodclem2  11723  zproddc  11725  fprodseq  11729  fprodssdc  11736  fprodm1  11744  fprod1p  11745  fprodabs  11762  fprodeq0  11763  fprodshft  11764  fprodrev  11765  fprod0diagfz  11774  efcvgfsum  11813  efaddlem  11820  eirraplem  11923  prmdc  12271  phivalfi  12353  phicl2  12355  hashdvds  12362  phiprmpw  12363  eulerthlemrprm  12370  eulerthlema  12371  eulerthlemh  12372  eulerthlemth  12373  eulerth  12374  phisum  12381  pcfac  12491  pcbc  12492  1arith  12508  4sqlem11  12542  gsumfzval  12977  gsumval2  12983  gsumsplit1r  12984  gsumfzz  13070  gsumfzcl  13074  mulgnngsum  13200  gsumfzreidx  13410  gsumfzsubmcl  13411  gsumfzmptfidmadd  13412  gsumfzmptfidmadd2  13413  gsumfzconst  13414  gsumfzmhm  13416  gsumfzfsumlemm  14086  plyf  14916  ply1termlem  14921  plyaddlem1  14926  plymullem1  14927  plymullem  14929  plycolemc  14936  plycjlemc  14938  plycn  14940  plyrecj  14941  dvply1  14943  gausslemma2dlem1  15218  gausslemma2dlem4  15221  gausslemma2dlem5a  15222  gausslemma2dlem5  15223  gausslemma2dlem6  15224  lgseisenlem2  15228  lgseisenlem3  15229  lgseisenlem4  15230  lgseisen  15231  lgsquadlemsfi  15232  lgsquadlem1  15234  lgsquadlem2  15235  lgsquadlem3  15236  2lgslem1  15248  cvgcmp2nlemabs  15592  trilpolemlt1  15601  nconstwlpolemgt0  15624