Theorem fzfigd 10542

Description: Deduction form of fzfig 10541. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10541	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  Fincfn 6808  ℤcz 9345  ...cfz 10102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-er 6601  df-en 6809  df-fin 6811  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-fz 10103

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10617  iseqf1olemjpcl  10619  iseqf1olemqpcl  10620  iseqf1olemfvp  10621  seq3f1olemqsum  10624  seq3f1olemstep  10625  seq3f1olemp  10626  seqf1oglem2  10631  seqf1og  10632  fseq1hash  10912  hashfz  10932  fnfz0hash  10943  nnf1o  11560  summodclem2a  11565  summodclem2  11566  summodc  11567  zsumdc  11568  fsum3  11571  fisumss  11576  fsumm1  11600  fsum1p  11602  fisum0diag  11625  fsumrev  11627  fsumshft  11628  fisum0diag2  11631  iserabs  11659  binomlem  11667  binom1dif  11671  isumsplit  11675  arisum2  11683  pwm1geoserap1  11692  geo2sum  11698  cvgratnnlemabsle  11711  cvgratnnlemrate  11714  mertenslemub  11718  mertenslemi1  11719  mertenslem2  11720  mertensabs  11721  prodmodclem3  11759  prodmodclem2a  11760  prodmodclem2  11761  zproddc  11763  fprodseq  11767  fprodssdc  11774  fprodm1  11782  fprod1p  11783  fprodabs  11800  fprodeq0  11801  fprodshft  11802  fprodrev  11803  fprod0diagfz  11812  efcvgfsum  11851  efaddlem  11858  eirraplem  11961  3dvds  12048  prmdc  12325  phivalfi  12407  phicl2  12409  hashdvds  12416  phiprmpw  12417  eulerthlemrprm  12424  eulerthlema  12425  eulerthlemh  12426  eulerthlemth  12427  eulerth  12428  dvdsfi  12434  pcfac  12546  pcbc  12547  1arith  12563  4sqlem11  12597  gsumfzval  13095  gsumval2  13101  gsumsplit1r  13102  gsumfzz  13199  gsumfzcl  13203  mulgnngsum  13335  gsumfzreidx  13545  gsumfzsubmcl  13546  gsumfzmptfidmadd  13547  gsumfzmptfidmadd2  13548  gsumfzconst  13549  gsumfzmhm  13551  gsumfzfsumlemm  14221  plyf  15081  ply1termlem  15086  plyaddlem1  15091  plymullem1  15092  plymullem  15094  plycoeid3  15101  plycolemc  15102  plycjlemc  15104  plycn  15106  plyrecj  15107  dvply1  15109  sgmppw  15336  0sgmppw  15337  mersenne  15341  gausslemma2dlem1  15410  gausslemma2dlem4  15413  gausslemma2dlem5a  15414  gausslemma2dlem5  15415  gausslemma2dlem6  15416  lgseisenlem2  15420  lgseisenlem3  15421  lgseisenlem4  15422  lgseisen  15423  lgsquadlemsfi  15424  lgsquadlem1  15426  lgsquadlem2  15427  lgsquadlem3  15428  2lgslem1  15440  cvgcmp2nlemabs  15789  trilpolemlt1  15798  nconstwlpolemgt0  15821