Theorem fzfigd 10883

Description: Deduction form of fzfig 10882. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10882	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  Fincfn 7022  ℤcz 9649  ...cfz 10422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423

This theorem is used by:  iseqf1olemqf1o  10958  iseqf1olemjpcl  10960  iseqf1olemqpcl  10961  iseqf1olemfvp  10962  seq3f1olemqsum  10965  seq3f1olemstep  10966  seq3f1olemp  10967  seqf1oglem2  10972  seqf1og  10973  fseq1hash  11257  hashfz  11278  fnfz0hash  11291  sseqn  11295  nnf1o  12162  summodclem2a  12167  summodclem2  12168  summodc  12169  zsumdc  12170  fsum3  12173  fisumss  12178  fsumm1  12202  fsum1p  12204  fisum0diag  12227  fsumrev  12229  fsumshft  12230  fisum0diag2  12233  iserabs  12261  binomlem  12269  binom1dif  12273  isumsplit  12277  arisum2  12285  pwm1geoserap1  12294  geo2sum  12300  cvgratnnlemabsle  12313  cvgratnnlemrate  12316  mertenslemub  12320  mertenslemi1  12321  mertenslem2  12322  mertensabs  12323  prodmodclem3  12361  prodmodclem2a  12362  prodmodclem2  12363  zproddc  12365  fprodseq  12369  fprodssdc  12376  fprodm1  12384  fprod1p  12385  fprodabs  12402  fprodeq0  12403  fprodshft  12404  fprodrev  12405  fprod0diagfz  12414  efcvgfsum  12453  efaddlem  12460  eirraplem  12563  3dvds  12650  prmdc  12927  phivalfi  13013  phicl2  13015  hashdvds  13022  phiprmpw  13023  eulerthlemrprm  13030  eulerthlema  13031  eulerthlemh  13032  eulerthlemth  13033  eulerth  13034  dvdsfi  13040  pcfac  13152  pcbc  13153  1arith  13169  4sqlem11  13203  ballotfilemcinfi  13276  ballotfilemdifcfi  13277  ballotfilemcinfz  13278  ballotfilemdifcfz  13279  ballotfilemfc0  13284  ballotfilemfcc  13285  ballotfilemgval  13319  gzsumfzval  13764  gzsumval2  13767  gzsumsplit1r  13768  gzsumcl  13857  mulgnngzsum  13983  gzsumreidx  14225  gzsumsubmcl  14226  gzsumconst  14227  gzsummhm  14229  gzsumshift  14233  gsumvalfi  14236  gzsumgsum1  14237  gzsumgsum  14239  gsumressfi  14251  psrbaglefifi  15147  plyf  15929  ply1termlem  15934  plyaddlem1  15939  plymullem1  15940  plymullem  15942  plycoeid3  15949  plycolemc  15950  plycjlemc  15952  plycn  15954  plyrecj  15955  dvply1  15957  log2tlbndlog2  16181  log2ublem2  16183  log2ublog2  16185  birthdaylem1g  16186  birthdaylem2  16187  birthdaylem3  16188  ppiqfi  16203  prmdvdsfi  16204  ppiprm  16220  chtprm  16222  chtdif  16225  efchtqdvds  16226  ppidif  16230  prmorcht  16243  sgmppw  16247  0sgmppw  16248  ppiqub  16254  chtublem  16256  mersenne  16258  bposlem1  16272  bposlem2  16273  gausslemma2dlem1  16346  gausslemma2dlem4  16349  gausslemma2dlem5a  16350  gausslemma2dlem5  16351  gausslemma2dlem6  16352  lgseisenlem2  16356  lgseisenlem3  16357  lgseisenlem4  16358  lgseisen  16359  lgsquadlemsfi  16360  lgsquadlem1  16362  lgsquadlem2  16363  lgsquadlem3  16364  2lgslem1  16376  wksfval  16729  wlkex  16732  iswlkg  16736  cvgcmp2nlemabs  17247  trilpolemlt1  17257  nconstwlpolemgt0  17281