Theorem fzfigd 10598

Description: Deduction form of fzfig 10597. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10597	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5957  Fincfn 6840  ℤcz 9392  ...cfz 10150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-1o 6515  df-er 6633  df-en 6841  df-fin 6843  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-fz 10151

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10673  iseqf1olemjpcl  10675  iseqf1olemqpcl  10676  iseqf1olemfvp  10677  seq3f1olemqsum  10680  seq3f1olemstep  10681  seq3f1olemp  10682  seqf1oglem2  10687  seqf1og  10688  fseq1hash  10968  hashfz  10988  fnfz0hash  10999  nnf1o  11762  summodclem2a  11767  summodclem2  11768  summodc  11769  zsumdc  11770  fsum3  11773  fisumss  11778  fsumm1  11802  fsum1p  11804  fisum0diag  11827  fsumrev  11829  fsumshft  11830  fisum0diag2  11833  iserabs  11861  binomlem  11869  binom1dif  11873  isumsplit  11877  arisum2  11885  pwm1geoserap1  11894  geo2sum  11900  cvgratnnlemabsle  11913  cvgratnnlemrate  11916  mertenslemub  11920  mertenslemi1  11921  mertenslem2  11922  mertensabs  11923  prodmodclem3  11961  prodmodclem2a  11962  prodmodclem2  11963  zproddc  11965  fprodseq  11969  fprodssdc  11976  fprodm1  11984  fprod1p  11985  fprodabs  12002  fprodeq0  12003  fprodshft  12004  fprodrev  12005  fprod0diagfz  12014  efcvgfsum  12053  efaddlem  12060  eirraplem  12163  3dvds  12250  prmdc  12527  phivalfi  12609  phicl2  12611  hashdvds  12618  phiprmpw  12619  eulerthlemrprm  12626  eulerthlema  12627  eulerthlemh  12628  eulerthlemth  12629  eulerth  12630  dvdsfi  12636  pcfac  12748  pcbc  12749  1arith  12765  4sqlem11  12799  gsumfzval  13298  gsumval2  13304  gsumsplit1r  13305  gsumfzz  13402  gsumfzcl  13406  mulgnngsum  13538  gsumfzreidx  13748  gsumfzsubmcl  13749  gsumfzmptfidmadd  13750  gsumfzmptfidmadd2  13751  gsumfzconst  13752  gsumfzmhm  13754  gsumfzfsumlemm  14424  plyf  15284  ply1termlem  15289  plyaddlem1  15294  plymullem1  15295  plymullem  15297  plycoeid3  15304  plycolemc  15305  plycjlemc  15307  plycn  15309  plyrecj  15310  dvply1  15312  sgmppw  15539  0sgmppw  15540  mersenne  15544  gausslemma2dlem1  15613  gausslemma2dlem4  15616  gausslemma2dlem5a  15617  gausslemma2dlem5  15618  gausslemma2dlem6  15619  lgseisenlem2  15623  lgseisenlem3  15624  lgseisenlem4  15625  lgseisen  15626  lgsquadlemsfi  15627  lgsquadlem1  15629  lgsquadlem2  15630  lgsquadlem3  15631  2lgslem1  15643  cvgcmp2nlemabs  16112  trilpolemlt1  16121  nconstwlpolemgt0  16144