Theorem fzfigd 10793

Description: Deduction form of fzfig 10792. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzfigd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzfigd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzfig 10792	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6050  Fincfn 6975  ℤcz 9577  ...cfz 10342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10868  iseqf1olemjpcl  10870  iseqf1olemqpcl  10871  iseqf1olemfvp  10872  seq3f1olemqsum  10875  seq3f1olemstep  10876  seq3f1olemp  10877  seqf1oglem2  10882  seqf1og  10883  fseq1hash  11165  hashfz  11186  fnfz0hash  11199  sseqn  11203  nnf1o  12062  summodclem2a  12067  summodclem2  12068  summodc  12069  zsumdc  12070  fsum3  12073  fisumss  12078  fsumm1  12102  fsum1p  12104  fisum0diag  12127  fsumrev  12129  fsumshft  12130  fisum0diag2  12133  iserabs  12161  binomlem  12169  binom1dif  12173  isumsplit  12177  arisum2  12185  pwm1geoserap1  12194  geo2sum  12200  cvgratnnlemabsle  12213  cvgratnnlemrate  12216  mertenslemub  12220  mertenslemi1  12221  mertenslem2  12222  mertensabs  12223  prodmodclem3  12261  prodmodclem2a  12262  prodmodclem2  12263  zproddc  12265  fprodseq  12269  fprodssdc  12276  fprodm1  12284  fprod1p  12285  fprodabs  12302  fprodeq0  12303  fprodshft  12304  fprodrev  12305  fprod0diagfz  12314  efcvgfsum  12353  efaddlem  12360  eirraplem  12463  3dvds  12550  prmdc  12827  phivalfi  12909  phicl2  12911  hashdvds  12918  phiprmpw  12919  eulerthlemrprm  12926  eulerthlema  12927  eulerthlemh  12928  eulerthlemth  12929  eulerth  12930  dvdsfi  12936  pcfac  13048  pcbc  13049  1arith  13065  4sqlem11  13099  gsumfzval  13604  gsumval2  13610  gsumsplit1r  13611  gsumfzz  13708  gsumfzcl  13712  mulgnngsum  13844  gsumfzreidx  14054  gsumfzsubmcl  14055  gsumfzmptfidmadd  14056  gsumfzmptfidmadd2  14057  gsumfzconst  14058  gsumfzmhm  14060  gsumfzfsumlemm  14735  plyf  15602  ply1termlem  15607  plyaddlem1  15612  plymullem1  15613  plymullem  15615  plycoeid3  15622  plycolemc  15623  plycjlemc  15625  plycn  15627  plyrecj  15628  dvply1  15630  sgmppw  15860  0sgmppw  15861  mersenne  15865  gausslemma2dlem1  15934  gausslemma2dlem4  15937  gausslemma2dlem5a  15938  gausslemma2dlem5  15939  gausslemma2dlem6  15940  lgseisenlem2  15944  lgseisenlem3  15945  lgseisenlem4  15946  lgseisen  15947  lgsquadlemsfi  15948  lgsquadlem1  15950  lgsquadlem2  15951  lgsquadlem3  15952  2lgslem1  15964  wksfval  16317  wlkex  16320  iswlkg  16324  cvgcmp2nlemabs  16816  trilpolemlt1  16825  nconstwlpolemgt0  16850  gfsumval  16862  gsumgfsum1  16863  gsumgfsumlem  16865  gsumgfsum  16866