Theorem nnq 9857

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 9853	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
2	1	sseli 3221	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℕcn 9133  ℚcq 9843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-z 9470  df-q 9844

This theorem is referenced by:  flqdiv  10573  modqmulnn  10594  zmodcl  10596  zmodfz  10598  zmodid2  10604  m1modnnsub1  10622  addmodid  10624  modifeq2int  10638  modaddmodup  10639  modaddmodlo  10640  modsumfzodifsn  10648  addmodlteq  10650  modfsummodlemstep  12008  fprodmodd  12192  dvdsval3  12342  dvdsmodexp  12346  moddvds  12350  dvdslelemd  12394  dvdsmod  12413  mulmoddvds  12414  divalglemnn  12469  divalgmod  12478  bitsmod  12507  modgcd  12552  crth  12786  phimullem  12787  eulerthlema  12792  fermltl  12796  prmdiv  12797  prmdiveq  12798  odzdvds  12808  modprm0  12817  nnnn0modprm0  12818  modprmn0modprm0  12819  pcaddlem  12902  fldivp1  12911  pockthlem  12919  pockthi  12921  4sqlem5  12945  4sqlem6  12946  4sqlem10  12950  modxai  12979  modsubi  12982  mulgmodid  13738  znf1o  14655  lgsvalmod  15738  lgsdir2lem1  15747  lgsdir2lem4  15750  lgsdir2lem5  15751  lgsdirprm  15753  lgsne0  15757  gausslemma2dlem0i  15776  gausslemma2dlem6  15786  gausslemma2dlem7  15787  gausslemma2d  15788  lgseisenlem1  15789  lgseisenlem2  15790  lgseisenlem4  15792  lgseisen  15793  lgsquadlem3  15798  2lgslem1a1  15805  2lgslem3a1  15816  2lgslem3b1  15817  2lgslem3c1  15818  2lgslem3d1  15819  2lgslem4  15822  2lgsoddprmlem2  15825