Theorem nnq 9867

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 9863	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
2	1	sseli 3223	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ℕcn 9143  ℚcq 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-z 9480  df-q 9854

This theorem is referenced by:  flqdiv  10584  modqmulnn  10605  zmodcl  10607  zmodfz  10609  zmodid2  10615  m1modnnsub1  10633  addmodid  10635  modifeq2int  10649  modaddmodup  10650  modaddmodlo  10651  modsumfzodifsn  10659  addmodlteq  10661  modfsummodlemstep  12023  fprodmodd  12207  dvdsval3  12357  dvdsmodexp  12361  moddvds  12365  dvdslelemd  12409  dvdsmod  12428  mulmoddvds  12429  divalglemnn  12484  divalgmod  12493  bitsmod  12522  modgcd  12567  crth  12801  phimullem  12802  eulerthlema  12807  fermltl  12811  prmdiv  12812  prmdiveq  12813  odzdvds  12823  modprm0  12832  nnnn0modprm0  12833  modprmn0modprm0  12834  pcaddlem  12917  fldivp1  12926  pockthlem  12934  pockthi  12936  4sqlem5  12960  4sqlem6  12961  4sqlem10  12965  modxai  12994  modsubi  12997  mulgmodid  13753  znf1o  14671  lgsvalmod  15754  lgsdir2lem1  15763  lgsdir2lem4  15766  lgsdir2lem5  15767  lgsdirprm  15769  lgsne0  15773  gausslemma2dlem0i  15792  gausslemma2dlem6  15802  gausslemma2dlem7  15803  gausslemma2d  15804  lgseisenlem1  15805  lgseisenlem2  15806  lgseisenlem4  15808  lgseisen  15809  lgsquadlem3  15814  2lgslem1a1  15821  2lgslem3a1  15832  2lgslem3b1  15833  2lgslem3c1  15834  2lgslem3d1  15835  2lgslem4  15838  2lgsoddprmlem2  15841