Theorem nnq 9840

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 9836	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
2	1	sseli 3220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℕcn 9121  ℚcq 9826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-z 9458  df-q 9827

This theorem is referenced by:  flqdiv  10555  modqmulnn  10576  zmodcl  10578  zmodfz  10580  zmodid2  10586  m1modnnsub1  10604  addmodid  10606  modifeq2int  10620  modaddmodup  10621  modaddmodlo  10622  modsumfzodifsn  10630  addmodlteq  10632  modfsummodlemstep  11983  fprodmodd  12167  dvdsval3  12317  dvdsmodexp  12321  moddvds  12325  dvdslelemd  12369  dvdsmod  12388  mulmoddvds  12389  divalglemnn  12444  divalgmod  12453  bitsmod  12482  modgcd  12527  crth  12761  phimullem  12762  eulerthlema  12767  fermltl  12771  prmdiv  12772  prmdiveq  12773  odzdvds  12783  modprm0  12792  nnnn0modprm0  12793  modprmn0modprm0  12794  pcaddlem  12877  fldivp1  12886  pockthlem  12894  pockthi  12896  4sqlem5  12920  4sqlem6  12921  4sqlem10  12925  modxai  12954  modsubi  12957  mulgmodid  13713  znf1o  14630  lgsvalmod  15713  lgsdir2lem1  15722  lgsdir2lem4  15725  lgsdir2lem5  15726  lgsdirprm  15728  lgsne0  15732  gausslemma2dlem0i  15751  gausslemma2dlem6  15761  gausslemma2dlem7  15762  gausslemma2d  15763  lgseisenlem1  15764  lgseisenlem2  15765  lgseisenlem4  15767  lgseisen  15768  lgsquadlem3  15773  2lgslem1a1  15780  2lgslem3a1  15791  2lgslem3b1  15792  2lgslem3c1  15793  2lgslem3d1  15794  2lgslem4  15797  2lgsoddprmlem2  15800