Theorem nnq 9707

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 9703	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
2	1	sseli 3179	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ℕcn 8990  ℚcq 9693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-z 9327  df-q 9694

This theorem is referenced by:  flqdiv  10413  modqmulnn  10434  zmodcl  10436  zmodfz  10438  zmodid2  10444  m1modnnsub1  10462  addmodid  10464  modifeq2int  10478  modaddmodup  10479  modaddmodlo  10480  modsumfzodifsn  10488  addmodlteq  10490  modfsummodlemstep  11622  fprodmodd  11806  dvdsval3  11956  dvdsmodexp  11960  moddvds  11964  dvdslelemd  12008  dvdsmod  12027  mulmoddvds  12028  divalglemnn  12083  divalgmod  12092  modgcd  12158  crth  12392  phimullem  12393  eulerthlema  12398  fermltl  12402  prmdiv  12403  prmdiveq  12404  odzdvds  12414  modprm0  12423  nnnn0modprm0  12424  modprmn0modprm0  12425  pcaddlem  12508  fldivp1  12517  pockthlem  12525  pockthi  12527  4sqlem5  12551  4sqlem6  12552  4sqlem10  12556  modxai  12585  modsubi  12588  mulgmodid  13291  znf1o  14207  lgsvalmod  15260  lgsdir2lem1  15269  lgsdir2lem4  15272  lgsdir2lem5  15273  lgsdirprm  15275  lgsne0  15279  gausslemma2dlem0i  15298  gausslemma2dlem6  15308  gausslemma2dlem7  15309  gausslemma2d  15310  lgseisenlem1  15311  lgseisenlem2  15312  lgseisenlem4  15314  lgseisen  15315  lgsquadlem3  15320  2lgslem1a1  15327  2lgslem3a1  15338  2lgslem3b1  15339  2lgslem3c1  15340  2lgslem3d1  15341  2lgslem4  15344  2lgsoddprmlem2  15347