Theorem nnq 9774

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 9770	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
2	1	sseli 3193	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177  ℕcn 9056  ℚcq 9760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-z 9393  df-q 9761

This theorem is referenced by:  flqdiv  10488  modqmulnn  10509  zmodcl  10511  zmodfz  10513  zmodid2  10519  m1modnnsub1  10537  addmodid  10539  modifeq2int  10553  modaddmodup  10554  modaddmodlo  10555  modsumfzodifsn  10563  addmodlteq  10565  modfsummodlemstep  11843  fprodmodd  12027  dvdsval3  12177  dvdsmodexp  12181  moddvds  12185  dvdslelemd  12229  dvdsmod  12248  mulmoddvds  12249  divalglemnn  12304  divalgmod  12313  bitsmod  12342  modgcd  12387  crth  12621  phimullem  12622  eulerthlema  12627  fermltl  12631  prmdiv  12632  prmdiveq  12633  odzdvds  12643  modprm0  12652  nnnn0modprm0  12653  modprmn0modprm0  12654  pcaddlem  12737  fldivp1  12746  pockthlem  12754  pockthi  12756  4sqlem5  12780  4sqlem6  12781  4sqlem10  12785  modxai  12814  modsubi  12817  mulgmodid  13572  znf1o  14488  lgsvalmod  15571  lgsdir2lem1  15580  lgsdir2lem4  15583  lgsdir2lem5  15584  lgsdirprm  15586  lgsne0  15590  gausslemma2dlem0i  15609  gausslemma2dlem6  15619  gausslemma2dlem7  15620  gausslemma2d  15621  lgseisenlem1  15622  lgseisenlem2  15623  lgseisenlem4  15625  lgseisen  15626  lgsquadlem3  15631  2lgslem1a1  15638  2lgslem3a1  15649  2lgslem3b1  15650  2lgslem3c1  15651  2lgslem3d1  15652  2lgslem4  15655  2lgsoddprmlem2  15658