Theorem nnq 9753

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 9749	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
2	1	sseli 3188	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175  ℕcn 9035  ℚcq 9739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-z 9372  df-q 9740

This theorem is referenced by:  flqdiv  10464  modqmulnn  10485  zmodcl  10487  zmodfz  10489  zmodid2  10495  m1modnnsub1  10513  addmodid  10515  modifeq2int  10529  modaddmodup  10530  modaddmodlo  10531  modsumfzodifsn  10539  addmodlteq  10541  modfsummodlemstep  11710  fprodmodd  11894  dvdsval3  12044  dvdsmodexp  12048  moddvds  12052  dvdslelemd  12096  dvdsmod  12115  mulmoddvds  12116  divalglemnn  12171  divalgmod  12180  bitsmod  12209  modgcd  12254  crth  12488  phimullem  12489  eulerthlema  12494  fermltl  12498  prmdiv  12499  prmdiveq  12500  odzdvds  12510  modprm0  12519  nnnn0modprm0  12520  modprmn0modprm0  12521  pcaddlem  12604  fldivp1  12613  pockthlem  12621  pockthi  12623  4sqlem5  12647  4sqlem6  12648  4sqlem10  12652  modxai  12681  modsubi  12684  mulgmodid  13439  znf1o  14355  lgsvalmod  15438  lgsdir2lem1  15447  lgsdir2lem4  15450  lgsdir2lem5  15451  lgsdirprm  15453  lgsne0  15457  gausslemma2dlem0i  15476  gausslemma2dlem6  15486  gausslemma2dlem7  15487  gausslemma2d  15488  lgseisenlem1  15489  lgseisenlem2  15490  lgseisenlem4  15492  lgseisen  15493  lgsquadlem3  15498  2lgslem1a1  15505  2lgslem3a1  15516  2lgslem3b1  15517  2lgslem3c1  15518  2lgslem3d1  15519  2lgslem4  15522  2lgsoddprmlem2  15525