Theorem nnq 10048

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 10044	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
2	1	sseli 3244	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℕcn 9313  ℚcq 10034

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-z 9654  df-q 10035

This theorem is used by:  flqdiv  10778  modqmulnn  10799  zmodcl  10801  zmodfz  10803  zmodid2  10809  m1modnnsub1  10827  addmodid  10829  modifeq2int  10843  modaddmodup  10844  modaddmodlo  10845  modsumfzodifsn  10853  addmodlteq  10855  modfsummodlemstep  12248  fprodmodd  12432  dvdsval3  12582  dvdsmodexp  12586  moddvds  12590  dvdslelemd  12634  dvdsmod  12653  mulmoddvds  12654  divalglemnn  12709  divalgmod  12718  bitsmod  12747  modgcd  12792  crth  13030  phimullem  13031  eulerthlema  13036  fermltl  13040  prmdiv  13041  prmdiveq  13042  odzdvds  13052  modprm0  13061  nnnn0modprm0  13062  modprmn0modprm0  13063  pcaddlem  13146  fldivp1  13155  pockthlem  13163  pockthi  13165  4sqlem5  13189  4sqlem6  13190  4sqlem10  13194  modxai  13223  modsubi  13227  mulgmodid  14022  znf1o  15094  pellexlem1  16246  ppiqltx  16298  prmorcht  16299  ppiqub  16310  chtublem  16312  bposlem5  16332  bposlem6  16333  lgsvalmod  16360  lgsdir2lem1  16369  lgsdir2lem4  16372  lgsdir2lem5  16373  lgsdirprm  16375  lgsne0  16379  gausslemma2dlem0i  16398  gausslemma2dlem6  16408  gausslemma2dlem7  16409  gausslemma2d  16410  lgseisenlem1  16411  lgseisenlem2  16412  lgseisenlem4  16414  lgseisen  16415  lgsquadlem3  16420  2lgslem1a1  16427  2lgslem3a1  16438  2lgslem3b1  16439  2lgslem3c1  16440  2lgslem3d1  16441  2lgslem4  16444  2lgsoddprmlem2  16447