Theorem nnq 9983

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 9979	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
2	1	sseli 3238	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  ℕcn 9254  ℚcq 9969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-z 9595  df-q 9970

This theorem is referenced by:  flqdiv  10707  modqmulnn  10728  zmodcl  10730  zmodfz  10732  zmodid2  10738  m1modnnsub1  10756  addmodid  10758  modifeq2int  10772  modaddmodup  10773  modaddmodlo  10774  modsumfzodifsn  10782  addmodlteq  10784  modfsummodlemstep  12168  fprodmodd  12352  dvdsval3  12502  dvdsmodexp  12506  moddvds  12510  dvdslelemd  12554  dvdsmod  12573  mulmoddvds  12574  divalglemnn  12629  divalgmod  12638  bitsmod  12667  modgcd  12712  crth  12946  phimullem  12947  eulerthlema  12952  fermltl  12956  prmdiv  12957  prmdiveq  12958  odzdvds  12968  modprm0  12977  nnnn0modprm0  12978  modprmn0modprm0  12979  pcaddlem  13062  fldivp1  13071  pockthlem  13079  pockthi  13081  4sqlem5  13105  4sqlem6  13106  4sqlem10  13110  modxai  13139  modsubi  13142  mulgmodid  13914  znf1o  14925  pellexlem1  15971  lgsvalmod  16018  lgsdir2lem1  16027  lgsdir2lem4  16030  lgsdir2lem5  16031  lgsdirprm  16033  lgsne0  16037  gausslemma2dlem0i  16056  gausslemma2dlem6  16066  gausslemma2dlem7  16067  gausslemma2d  16068  lgseisenlem1  16069  lgseisenlem2  16070  lgseisenlem4  16072  lgseisen  16073  lgsquadlem3  16078  2lgslem1a1  16085  2lgslem3a1  16096  2lgslem3b1  16097  2lgslem3c1  16098  2lgslem3d1  16099  2lgslem4  16102  2lgsoddprmlem2  16105