Theorem nnq 9965

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 9961	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
2	1	sseli 3234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  ℕcn 9237  ℚcq 9951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-z 9578  df-q 9952

This theorem is referenced by:  flqdiv  10683  modqmulnn  10704  zmodcl  10706  zmodfz  10708  zmodid2  10714  m1modnnsub1  10732  addmodid  10734  modifeq2int  10748  modaddmodup  10749  modaddmodlo  10750  modsumfzodifsn  10758  addmodlteq  10760  modfsummodlemstep  12143  fprodmodd  12327  dvdsval3  12477  dvdsmodexp  12481  moddvds  12485  dvdslelemd  12529  dvdsmod  12548  mulmoddvds  12549  divalglemnn  12604  divalgmod  12613  bitsmod  12642  modgcd  12687  crth  12921  phimullem  12922  eulerthlema  12927  fermltl  12931  prmdiv  12932  prmdiveq  12933  odzdvds  12943  modprm0  12952  nnnn0modprm0  12953  modprmn0modprm0  12954  pcaddlem  13037  fldivp1  13046  pockthlem  13054  pockthi  13056  4sqlem5  13080  4sqlem6  13081  4sqlem10  13085  modxai  13114  modsubi  13117  mulgmodid  13878  znf1o  14799  pellexlem1  15845  lgsvalmod  15892  lgsdir2lem1  15901  lgsdir2lem4  15904  lgsdir2lem5  15905  lgsdirprm  15907  lgsne0  15911  gausslemma2dlem0i  15930  gausslemma2dlem6  15940  gausslemma2dlem7  15941  gausslemma2d  15942  lgseisenlem1  15943  lgseisenlem2  15944  lgseisenlem4  15946  lgseisen  15947  lgsquadlem3  15952  2lgslem1a1  15959  2lgslem3a1  15970  2lgslem3b1  15971  2lgslem3c1  15972  2lgslem3d1  15973  2lgslem4  15976  2lgsoddprmlem2  15979