Theorem nnq 9824

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 9820	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
2	1	sseli 3220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℕcn 9106  ℚcq 9810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-z 9443  df-q 9811

This theorem is referenced by:  flqdiv  10538  modqmulnn  10559  zmodcl  10561  zmodfz  10563  zmodid2  10569  m1modnnsub1  10587  addmodid  10589  modifeq2int  10603  modaddmodup  10604  modaddmodlo  10605  modsumfzodifsn  10613  addmodlteq  10615  modfsummodlemstep  11963  fprodmodd  12147  dvdsval3  12297  dvdsmodexp  12301  moddvds  12305  dvdslelemd  12349  dvdsmod  12368  mulmoddvds  12369  divalglemnn  12424  divalgmod  12433  bitsmod  12462  modgcd  12507  crth  12741  phimullem  12742  eulerthlema  12747  fermltl  12751  prmdiv  12752  prmdiveq  12753  odzdvds  12763  modprm0  12772  nnnn0modprm0  12773  modprmn0modprm0  12774  pcaddlem  12857  fldivp1  12866  pockthlem  12874  pockthi  12876  4sqlem5  12900  4sqlem6  12901  4sqlem10  12905  modxai  12934  modsubi  12937  mulgmodid  13693  znf1o  14609  lgsvalmod  15692  lgsdir2lem1  15701  lgsdir2lem4  15704  lgsdir2lem5  15705  lgsdirprm  15707  lgsne0  15711  gausslemma2dlem0i  15730  gausslemma2dlem6  15740  gausslemma2dlem7  15741  gausslemma2d  15742  lgseisenlem1  15743  lgseisenlem2  15744  lgseisenlem4  15746  lgseisen  15747  lgsquadlem3  15752  2lgslem1a1  15759  2lgslem3a1  15770  2lgslem3b1  15771  2lgslem3c1  15772  2lgslem3d1  15773  2lgslem4  15776  2lgsoddprmlem2  15779