Theorem nnq 9753

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 9749	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
2	1	sseli 3188	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175  ℕcn 9035  ℚcq 9739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-z 9372  df-q 9740

This theorem is referenced by:  flqdiv  10464  modqmulnn  10485  zmodcl  10487  zmodfz  10489  zmodid2  10495  m1modnnsub1  10513  addmodid  10515  modifeq2int  10529  modaddmodup  10530  modaddmodlo  10531  modsumfzodifsn  10539  addmodlteq  10541  modfsummodlemstep  11739  fprodmodd  11923  dvdsval3  12073  dvdsmodexp  12077  moddvds  12081  dvdslelemd  12125  dvdsmod  12144  mulmoddvds  12145  divalglemnn  12200  divalgmod  12209  bitsmod  12238  modgcd  12283  crth  12517  phimullem  12518  eulerthlema  12523  fermltl  12527  prmdiv  12528  prmdiveq  12529  odzdvds  12539  modprm0  12548  nnnn0modprm0  12549  modprmn0modprm0  12550  pcaddlem  12633  fldivp1  12642  pockthlem  12650  pockthi  12652  4sqlem5  12676  4sqlem6  12677  4sqlem10  12681  modxai  12710  modsubi  12713  mulgmodid  13468  znf1o  14384  lgsvalmod  15467  lgsdir2lem1  15476  lgsdir2lem4  15479  lgsdir2lem5  15480  lgsdirprm  15482  lgsne0  15486  gausslemma2dlem0i  15505  gausslemma2dlem6  15515  gausslemma2dlem7  15516  gausslemma2d  15517  lgseisenlem1  15518  lgseisenlem2  15519  lgseisenlem4  15521  lgseisen  15522  lgsquadlem3  15527  2lgslem1a1  15534  2lgslem3a1  15545  2lgslem3b1  15546  2lgslem3c1  15547  2lgslem3d1  15548  2lgslem4  15551  2lgsoddprmlem2  15554