Theorem nnq 9855

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 9851	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
2	1	sseli 3221	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℕcn 9131  ℚcq 9841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-mulrcl 8119  ax-addcom 8120  ax-mulcom 8121  ax-addass 8122  ax-mulass 8123  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-1rid 8127  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-precex 8130  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-apti 8135  ax-pre-ltadd 8136  ax-pre-mulgt0 8137  ax-pre-mulext 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-id 4386  df-po 4389  df-iso 4390  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-reap 8743  df-ap 8750  df-div 8841  df-inn 9132  df-z 9468  df-q 9842

This theorem is referenced by:  flqdiv  10571  modqmulnn  10592  zmodcl  10594  zmodfz  10596  zmodid2  10602  m1modnnsub1  10620  addmodid  10622  modifeq2int  10636  modaddmodup  10637  modaddmodlo  10638  modsumfzodifsn  10646  addmodlteq  10648  modfsummodlemstep  12005  fprodmodd  12189  dvdsval3  12339  dvdsmodexp  12343  moddvds  12347  dvdslelemd  12391  dvdsmod  12410  mulmoddvds  12411  divalglemnn  12466  divalgmod  12475  bitsmod  12504  modgcd  12549  crth  12783  phimullem  12784  eulerthlema  12789  fermltl  12793  prmdiv  12794  prmdiveq  12795  odzdvds  12805  modprm0  12814  nnnn0modprm0  12815  modprmn0modprm0  12816  pcaddlem  12899  fldivp1  12908  pockthlem  12916  pockthi  12918  4sqlem5  12942  4sqlem6  12943  4sqlem10  12947  modxai  12976  modsubi  12979  mulgmodid  13735  znf1o  14652  lgsvalmod  15735  lgsdir2lem1  15744  lgsdir2lem4  15747  lgsdir2lem5  15748  lgsdirprm  15750  lgsne0  15754  gausslemma2dlem0i  15773  gausslemma2dlem6  15783  gausslemma2dlem7  15784  gausslemma2d  15785  lgseisenlem1  15786  lgseisenlem2  15787  lgseisenlem4  15789  lgseisen  15790  lgsquadlem3  15795  2lgslem1a1  15802  2lgslem3a1  15813  2lgslem3b1  15814  2lgslem3c1  15815  2lgslem3d1  15816  2lgslem4  15819  2lgsoddprmlem2  15822