Theorem q0mod 10724

Description: Special case: 0 modulo a positive real number is 0. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
q0mod	⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)

Proof of Theorem q0mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9593	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		zq 9964	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
3	1, 2	mp1i 10	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 0 ∈ ℚ)
4		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℚ)
5		0le0 9331	. . 3 ⊢ 0 ≤ 0
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 0 ≤ 0)
7		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
8		modqid 10718	. 2 ⊢ (((0 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 0 < 𝑁)) → (0 mod 𝑁) = 0)
9	3, 4, 6, 7, 8	syl22anc 1275	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  0cc0 8132   < clt 8313   ≤ cle 8314  ℤcz 9582  ℚcq 9957   mod cmo 10691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-n0 9502  df-z 9583  df-q 9958  df-rp 9993  df-fl 10637  df-mod 10692

This theorem is referenced by:  addmodlteq  10767  dvdsmodexp  12489  moddvds  12493  mulmoddvds  12557  modprm0  12960  nnnn0modprm0  12961  lgsne0  15960  gausslemma2dlem0i  15979