Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpcxpsub GIF version

Theorem rpcxpsub 13028
 Description: Exponent subtraction law for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpcxpsub ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵) / (𝐴𝑐𝐶)))

Proof of Theorem rpcxpsub
StepHypRef Expression
1 negcl 7982 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → -𝐶 ∈ ℂ)
2 rpcxpadd 13025 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 + -𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵) · (𝐴𝑐-𝐶)))
31, 2syl3an3 1252 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 + -𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵) · (𝐴𝑐-𝐶)))
4 simp2 983 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 simp3 984 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
64, 5negsubd 8099 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵𝐶))
76oveq2d 5794 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 + -𝐶)) = (𝐴𝑐(𝐵𝐶)))
8 rpcxpneg 13027 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐-𝐶) = (1 / (𝐴𝑐𝐶)))
983adant2 1001 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐-𝐶) = (1 / (𝐴𝑐𝐶)))
109oveq2d 5794 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑐𝐵) · (𝐴𝑐-𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵) · (1 / (𝐴𝑐𝐶))))
11 rpcncxpcl 13022 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℂ)
12113adant3 1002 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℂ)
13 rpcncxpcl 13022 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℂ)
14133adant2 1001 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℂ)
15 cxpap0 13024 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐶) # 0)
16153adant2 1001 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐶) # 0)
1712, 14, 16divrecapd 8573 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑐𝐵) / (𝐴𝑐𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵) · (1 / (𝐴𝑐𝐶))))
1810, 17eqtr4d 2176 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑐𝐵) · (𝐴𝑐-𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵) / (𝐴𝑐𝐶)))
193, 7, 183eqtr3d 2181 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵) / (𝐴𝑐𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3933  (class class class)co 5778  ℂcc 7638  0cc0 7640  1c1 7641   + caddc 7643   · cmul 7645   − cmin 7953  -cneg 7954   # cap 8363   / cdiv 8452  ℝ+crp 9466  ↑𝑐ccxp 12977 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-iinf 4506  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-mulrcl 7739  ax-addcom 7740  ax-mulcom 7741  ax-addass 7742  ax-mulass 7743  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-1rid 7747  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-precex 7750  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-ltwlin 7753  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-apti 7755  ax-pre-ltadd 7756  ax-pre-mulgt0 7757  ax-pre-mulext 7758  ax-arch 7759  ax-caucvg 7760  ax-pre-suploc 7761  ax-addf 7762  ax-mulf 7763 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-if 3476  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-iun 3819  df-disj 3911  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-tr 4031  df-id 4219  df-po 4222  df-iso 4223  df-iord 4292  df-on 4294  df-ilim 4295  df-suc 4297  df-iom 4509  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-isom 5136  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-of 5986  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6206  df-irdg 6271  df-frec 6292  df-1o 6317  df-oadd 6321  df-er 6433  df-map 6548  df-pm 6549  df-en 6639  df-dom 6640  df-fin 6641  df-sup 6875  df-inf 6876  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-sub 7955  df-neg 7956  df-reap 8357  df-ap 8364  df-div 8453  df-inn 8741  df-2 8799  df-3 8800  df-4 8801  df-n0 8998  df-z 9075  df-uz 9347  df-q 9435  df-rp 9467  df-xneg 9585  df-xadd 9586  df-ioo 9701  df-ico 9703  df-icc 9704  df-fz 9818  df-fzo 9947  df-seqfrec 10246  df-exp 10320  df-fac 10500  df-bc 10522  df-ihash 10550  df-shft 10615  df-cj 10642  df-re 10643  df-im 10644  df-rsqrt 10798  df-abs 10799  df-clim 11076  df-sumdc 11151  df-ef 11382  df-e 11383  df-rest 12152  df-topgen 12171  df-psmet 12186  df-xmet 12187  df-met 12188  df-bl 12189  df-mopn 12190  df-top 12195  df-topon 12208  df-bases 12240  df-ntr 12295  df-cn 12387  df-cnp 12388  df-tx 12452  df-cncf 12757  df-limced 12824  df-dvap 12825  df-relog 12978  df-rpcxp 12979 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator