Theorem tannegap 11471

Description: The tangent of a negative is the negative of the tangent. (Contributed by David A. Wheeler, 23-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tannegap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘-𝐴) = -(tan‘𝐴))

Proof of Theorem tannegap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 11450	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2		sincl 11449	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
3		divnegap 8490	. . . . 5 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → -((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) = (-(sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
4	2, 3	syl3an1 1250	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → -((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) = (-(sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
5	1, 4	syl3an2 1251	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → -((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) = (-(sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
6	5	3anidm12 1274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → -((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) = (-(sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
7		tanvalap 11451	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
8	7	negeqd 7981	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → -(tan‘𝐴) = -((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
9		negcl 7986	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
10		cosneg 11470	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
11	10	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
12		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (cos‘𝐴) # 0)
13	11, 12	eqbrtrd 3958	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (cos‘-𝐴) # 0)
14		tanvalap 11451	. . . 4 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘-𝐴) # 0) → (tan‘-𝐴) = ((sin‘-𝐴) / (cos‘-𝐴)))
15	9, 13, 14	syl2an2r 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘-𝐴) = ((sin‘-𝐴) / (cos‘-𝐴)))
16		sinneg 11469	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
17	16, 10	oveq12d 5800	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘-𝐴) / (cos‘-𝐴)) = (-(sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
18	17	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((sin‘-𝐴) / (cos‘-𝐴)) = (-(sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
19	15, 18	eqtrd 2173	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘-𝐴) = (-(sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
20	6, 8, 19	3eqtr4rd 2184	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘-𝐴) = -(tan‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℂcc 7642  0cc0 7644  -cneg 7958   # cap 8367   / cdiv 8456  sincsin 11387  cosccos 11388  tanctan 11389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-ico 9707  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-fac 10504  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155  df-ef 11391  df-sin 11393  df-cos 11394  df-tan 11395

This theorem is referenced by: (None)