Theorem sinneg 11891

Description: The sine of a negative is the negative of the sine. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
sinneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))

Proof of Theorem sinneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8226	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2		sinval 11867	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) / (2 · i)))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) / (2 · i)))
4		sinval 11867	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
5	4	negeqd 8221	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) = -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
6		ax-icn 7974	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
7		mulcl 8006	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
8	6, 7	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9		efcl 11829	. . . . . . 7 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11		negicn 8227	. . . . . . . 8 ⊢ -i ∈ ℂ
12		mulcl 8006	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
13	11, 12	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
14		efcl 11829	. . . . . . 7 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
16	10, 15	subcld 8337	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
17		2mulicn 9213	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
18		2muliap0 9215	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) # 0
19		divnegap 8733	. . . . . 6 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) # 0) → -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
20	17, 18, 19	mp3an23 1340	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
21	16, 20	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
22	5, 21	eqtrd 2229	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
23		mulneg12 8423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
24	6, 23	mpan 424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
25	24	eqcomd 2202	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = (-i · 𝐴))
26	25	fveq2d 5562	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)))
27		mul2neg 8424	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · -𝐴) = (i · 𝐴))
28	6, 27	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · -𝐴) = (i · 𝐴))
29	28	fveq2d 5562	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · -𝐴)) = (exp‘(i · 𝐴)))
30	26, 29	oveq12d 5940	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) − (exp‘(i · 𝐴))))
31	10, 15	negsubdi2d 8353	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) − (exp‘(i · 𝐴))))
32	30, 31	eqtr4d 2232	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) = -((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))))
33	32	oveq1d 5937	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) / (2 · i)) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
34	22, 33	eqtr4d 2232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) / (2 · i)))
35	3, 34	eqtr4d 2232	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  0cc0 7879  ici 7881   · cmul 7884   − cmin 8197  -cneg 8198   # cap 8608   / cdiv 8699  2c2 9041  expce 11807  sincsin 11809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-ico 9969  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-fac 10818  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-ef 11813  df-sin 11815

This theorem is referenced by:  tannegap  11893  sin0  11894  efmival  11898  sinsub  11905  cossub  11906  sincossq  11913  sin2pim  15049