Theorem mulqmod0 10261

Description: The product of an integer and a positive rational number is 0 modulo the positive real number. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mulqmod0	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 · 𝑀) mod 𝑀) = 0)

Proof of Theorem mulqmod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 987	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 9310	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		qcn 9568	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant2 1009	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
5		qre 9559	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant2 1009	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
7		simp3 989	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
8	6, 7	gt0ap0d 8523	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 # 0)
9	2, 4, 8	divcanap4d 8688	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 · 𝑀) / 𝑀) = 𝐴)
10	9, 1	eqeltrd 2242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 · 𝑀) / 𝑀) ∈ ℤ)
11		zq 9560	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
12	1, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℚ)
13		simp2 988	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℚ)
14		qmulcl 9571	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝑀) ∈ ℚ)
15	12, 13, 14	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝐴 · 𝑀) ∈ ℚ)
16		modq0 10260	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝑀) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (((𝐴 · 𝑀) mod 𝑀) = 0 ↔ ((𝐴 · 𝑀) / 𝑀) ∈ ℤ))
17	15, 16	syld3an1 1274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (((𝐴 · 𝑀) mod 𝑀) = 0 ↔ ((𝐴 · 𝑀) / 𝑀) ∈ ℤ))
18	10, 17	mpbird 166	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 · 𝑀) mod 𝑀) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3981  (class class class)co 5841  ℂcc 7747  ℝcr 7748  0cc0 7749   · cmul 7754   < clt 7929   / cdiv 8564  ℤcz 9187  ℚcq 9553   mod cmo 10253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-q 9554  df-rp 9586  df-fl 10201  df-mod 10254

This theorem is referenced by:  mulp1mod1  10296  modprm0  12182