Theorem mulqmod0 10286

Description: The product of an integer and a positive rational number is 0 modulo the positive real number. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mulqmod0	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 · 𝑀) mod 𝑀) = 0)

Proof of Theorem mulqmod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 992	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 9335	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		qcn 9593	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant2 1014	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
5		qre 9584	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant2 1014	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
7		simp3 994	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
8	6, 7	gt0ap0d 8548	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 # 0)
9	2, 4, 8	divcanap4d 8713	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 · 𝑀) / 𝑀) = 𝐴)
10	9, 1	eqeltrd 2247	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 · 𝑀) / 𝑀) ∈ ℤ)
11		zq 9585	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
12	1, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℚ)
13		simp2 993	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℚ)
14		qmulcl 9596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝑀) ∈ ℚ)
15	12, 13, 14	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝐴 · 𝑀) ∈ ℚ)
16		modq0 10285	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝑀) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (((𝐴 · 𝑀) mod 𝑀) = 0 ↔ ((𝐴 · 𝑀) / 𝑀) ∈ ℤ))
17	15, 16	syld3an1 1279	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (((𝐴 · 𝑀) mod 𝑀) = 0 ↔ ((𝐴 · 𝑀) / 𝑀) ∈ ℤ))
18	10, 17	mpbird 166	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 · 𝑀) mod 𝑀) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774   · cmul 7779   < clt 7954   / cdiv 8589  ℤcz 9212  ℚcq 9578   mod cmo 10278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-q 9579  df-rp 9611  df-fl 10226  df-mod 10279

This theorem is referenced by:  mulp1mod1  10321  modprm0  12208