ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulqmod0 GIF version

Theorem mulqmod0 9624
Description: The product of an integer and a positive rational number is 0 modulo the positive real number. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulqmod0 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 · 𝑀) mod 𝑀) = 0)

Proof of Theorem mulqmod0
StepHypRef Expression
1 simp1 939 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℤ)
21zcnd 8763 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 qcn 9012 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℂ)
433ad2ant2 961 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
5 qre 9003 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℝ)
653ad2ant2 961 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
7 simp3 941 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
86, 7gt0ap0d 8003 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 # 0)
92, 4, 8divcanap4d 8158 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 · 𝑀) / 𝑀) = 𝐴)
109, 1eqeltrd 2159 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 · 𝑀) / 𝑀) ∈ ℤ)
11 zq 9004 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
121, 11syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℚ)
13 simp2 940 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℚ)
14 qmulcl 9015 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝑀) ∈ ℚ)
1512, 13, 14syl2anc 403 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝐴 · 𝑀) ∈ ℚ)
16 modq0 9623 . . 3 (((𝐴 · 𝑀) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (((𝐴 · 𝑀) mod 𝑀) = 0 ↔ ((𝐴 · 𝑀) / 𝑀) ∈ ℤ))
1715, 16syld3an1 1216 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (((𝐴 · 𝑀) mod 𝑀) = 0 ↔ ((𝐴 · 𝑀) / 𝑀) ∈ ℤ))
1810, 17mpbird 165 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 · 𝑀) mod 𝑀) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 103  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3811  (class class class)co 5589  cc 7249  cr 7250  0cc0 7251   · cmul 7256   < clt 7423   / cdiv 8035  cz 8644  cq 8997   mod cmo 9616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-mulrcl 7345  ax-addcom 7346  ax-mulcom 7347  ax-addass 7348  ax-mulass 7349  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-1rid 7353  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-precex 7356  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-apti 7361  ax-pre-ltadd 7362  ax-pre-mulgt0 7363  ax-pre-mulext 7364  ax-arch 7365
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-reap 7950  df-ap 7957  df-div 8036  df-inn 8315  df-n0 8564  df-z 8645  df-q 8998  df-rp 9028  df-fl 9564  df-mod 9617
This theorem is referenced by:  mulp1mod1  9659
  Copyright terms: Public domain W3C validator