Theorem pfxfvlsw 11342

Description: The last symbol in a nonempty prefix of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Revised by AV, 3-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxfvlsw	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 prefix 𝐿)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))

Proof of Theorem pfxfvlsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 10351	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9516	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
3		pfxclg 11325	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
4	2, 3	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
5		lswwrd 11226	. . 3 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 → (lastS‘(𝑊 prefix 𝐿)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1)))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 prefix 𝐿)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1)))
7		fz1ssfz0 10414	. . . . 5 ⊢ (1...(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊))
8	7	sseli 3224	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
9		pfxlen 11332	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) = 𝐿)
10	8, 9	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) = 𝐿)
11	10	fvoveq1d 6050	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘(𝐿 − 1)))
12		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
13	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
14		fzo0end 10531	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
15	1, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
16	15	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
17		pfxfv 11331	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))
18	12, 13, 16, 17	syl3anc 1274	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))
19	6, 11, 18	3eqtrd 2268	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 prefix 𝐿)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  0cc0 8092  1c1 8093   − cmin 8409  ℕcn 9202  ℕ₀cn0 9461  ...cfz 10305  ..^cfzo 10439  ♯chash 11100  Word cword 11179  lastSclsw 11224   prefix cpfx 11319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-ihash 11101  df-word 11180  df-lsw 11225  df-substr 11293  df-pfx 11320

This theorem is referenced by:  pfxtrcfvl  11344