Theorem prhash2ex 10791

Description: There is (at least) one set with two different elements: the unordered pair containing 0 and 1. In contrast to pr0hash2ex 10797, numbers are used instead of sets because their representation is shorter (and more comprehensive). (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prhash2ex	⊢ (♯‘{0, 1}) = 2

Proof of Theorem prhash2ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne1 8988	. 2 ⊢ 0 ≠ 1
2		c0ex 7953	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
3		1ex 7954	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
4		hashprg 10790	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) → (0 ≠ 1 ↔ (♯‘{0, 1}) = 2))
5	4	bicomd 141	. . 3 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) → ((♯‘{0, 1}) = 2 ↔ 0 ≠ 1))
6	2, 3, 5	mp2an 426	. 2 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 ↔ 0 ≠ 1)
7	1, 6	mpbir 146	1 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  Vcvv 2739  {cpr 3595  ‘cfv 5218  0cc0 7813  1c1 7814  2c2 8972  ♯chash 10757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-ihash 10758

This theorem is referenced by: (None)