Theorem psrbagdceq 15169

Description: Finite bags have decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagdceq	⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagdceq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1028	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
2		simp2 1029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐷)
3		psrbag.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4	3	psrbagfi 15168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
5	4	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐷 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
6	2, 5	eleqtrd 2317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
7		elmapi 6948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝐴:𝐼⟶ℕ0)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴:𝐼⟶ℕ0)
9	8	ffvelcdmda 5846	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑥) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 9778	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑥) ∈ ℤ)
11		simp3 1030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝐷)
12	11, 5	eleqtrd 2317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
13		elmapi 6948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
15	14	ffvelcdmda 5846	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐵‘𝑥) ∈ ℕ0)
16	15	nn0zd 9778	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐵‘𝑥) ∈ ℤ)
17		zdceq 9732	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝐵‘𝑥) ∈ ℤ) → DECID (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥))
18	10, 16, 17	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → DECID (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥))
19	18	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 DECID (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥))
20		dcfi 7321	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 DECID (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥)) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥))
21	1, 19, 20	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥))
22		elmapfn 6956	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝐴 Fn 𝐼)
23	6, 22	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 Fn 𝐼)
24		elmapfn 6956	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝐵 Fn 𝐼)
25	12, 24	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 Fn 𝐼)
26		eqfnfv 5809	. . . 4 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐼 ∧ 𝐵 Fn 𝐼) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥)))
27	23, 25, 26	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥)))
28	27	dcbid 850	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (DECID 𝐴 = 𝐵 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥)))
29	21, 28	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → DECID 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532  ^◡ccnv 4775   “ cima 4779   Fn wfn 5375  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ↑_𝑚 cmap 6926  Fincfn 7027  ℕcn 9314  ℕ₀cn0 9575  ℤcz 9656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1o 6691  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7028  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939

This theorem is used by:  mvrffi  15214