ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seqcaoprg GIF version

Theorem seqcaoprg 10557
Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcaopr.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqcaopr.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
seqcaopr.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
seqcaopr.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seqcaopr.5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
seqcaopr.6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑆)
seqcaopr.7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
seqcaoprg.p (𝜑+𝑉)
seqcaoprg.f (𝜑𝐹𝑊)
seqcaoprg.g (𝜑𝐺𝑋)
seqcaoprg.h (𝜑𝐻𝑌)
Assertion
Ref Expression
seqcaoprg (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝜑   𝑘,𝑀   + ,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem seqcaoprg
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqcaopr.1 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
21caovclg 6063 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
3 simpl 109 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → 𝜑)
4 simprrl 539 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → 𝑐𝑆)
5 simprlr 538 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → 𝑏𝑆)
6 seqcaopr.2 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
76caovcomg 6066 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑆𝑏𝑆)) → (𝑐 + 𝑏) = (𝑏 + 𝑐))
83, 4, 5, 7syl12anc 1247 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → (𝑐 + 𝑏) = (𝑏 + 𝑐))
98oveq1d 5925 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑐 + 𝑏) + 𝑑) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑))
10 simprrr 540 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → 𝑑𝑆)
11 seqcaopr.3 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
1211caovassg 6069 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑆𝑏𝑆𝑑𝑆)) → ((𝑐 + 𝑏) + 𝑑) = (𝑐 + (𝑏 + 𝑑)))
133, 4, 5, 10, 12syl13anc 1251 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑐 + 𝑏) + 𝑑) = (𝑐 + (𝑏 + 𝑑)))
1411caovassg 6069 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑆𝑐𝑆𝑑𝑆)) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
153, 5, 4, 10, 14syl13anc 1251 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
169, 13, 153eqtr3d 2234 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → (𝑐 + (𝑏 + 𝑑)) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
1716oveq2d 5926 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → (𝑎 + (𝑐 + (𝑏 + 𝑑))) = (𝑎 + (𝑏 + (𝑐 + 𝑑))))
18 simprll 537 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → 𝑎𝑆)
191caovclg 6063 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑆𝑑𝑆)) → (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑆)
203, 5, 10, 19syl12anc 1247 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑆)
2111caovassg 6069 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑐𝑆 ∧ (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑆)) → ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑐 + (𝑏 + 𝑑))))
223, 18, 4, 20, 21syl13anc 1251 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑐 + (𝑏 + 𝑑))))
231caovclg 6063 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆)) → (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑆)
2423adantrl 478 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑆)
2511caovassg 6069 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆 ∧ (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑆)) → ((𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑏 + (𝑐 + 𝑑))))
263, 18, 5, 24, 25syl13anc 1251 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑏 + (𝑐 + 𝑑))))
2717, 22, 263eqtr4d 2236 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)) = ((𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)))
28 seqcaopr.4 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
29 seqcaopr.5 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
30 seqcaopr.6 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑆)
31 seqcaopr.7 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
32 seqcaoprg.p . 2 (𝜑+𝑉)
33 seqcaoprg.f . 2 (𝜑𝐹𝑊)
34 seqcaoprg.g . 2 (𝜑𝐺𝑋)
35 seqcaoprg.h . 2 (𝜑𝐻𝑌)
362, 2, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35seqcaopr2g 10555 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2164  cfv 5246  (class class class)co 5910  cuz 9582  ...cfz 10064  seqcseq 10508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-ltadd 7978
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-frec 6435  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-inn 8973  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-fz 10065  df-fzo 10199  df-seqfrec 10509
This theorem is referenced by:  gsumfzmptfidmadd  13398
  Copyright terms: Public domain W3C validator