Theorem mulgghm2 14621

Description: The powers of a group element give a homomorphism from ℤ to a group. The name 1 should not be taken as a constraint as it may be any group element. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgghm2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
mulgghm2.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
mulgghm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mulgghm2	⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑅,𝑛   · ,𝑛   1 ,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem mulgghm2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
2		zringgrp 14608	. . 3 ⊢ ℤring ∈ Grp
3	1, 2	jctil 312	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → (ℤring ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ Grp))
4		mulgghm2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		mulgghm2.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝑅)
6	4, 5	mulgcl 13725	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 1 ) ∈ 𝐵)
7	6	3expa 1229	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 1 ) ∈ 𝐵)
8	7	an32s 570	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 1 ) ∈ 𝐵)
9		mulgghm2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
10	8, 9	fmptd 5801	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → 𝐹:ℤ⟶𝐵)
11		eqid 2231	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
12	4, 5, 11	mulgdir 13740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(+g‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
13	12	3exp2 1251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ( 1 ∈ 𝐵 → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(+g‘𝑅)(𝑦 · 1 ))))))
14	13	imp42 354	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(+g‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
15	14	an32s 570	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(+g‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
16		oveq1 6024	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑛 · 1 ) = ((𝑥 + 𝑦) · 1 ))
17		zaddcl 9518	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
18	17	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
19		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Grp)
20		simplr 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 1 ∈ 𝐵)
21	4, 5, 19, 18, 20	mulgcld 13730	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) ∈ 𝐵)
22	9, 16, 18, 21	fvmptd3 5740	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑥 + 𝑦) · 1 ))
23		oveq1 6024	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 1 ) = (𝑥 · 1 ))
24		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
25	4, 5, 19, 24, 20	mulgcld 13730	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 1 ) ∈ 𝐵)
26	9, 23, 24, 25	fvmptd3 5740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘𝑥) = (𝑥 · 1 ))
27		oveq1 6024	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 1 ) = (𝑦 · 1 ))
28		simprr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
29	4, 5, 19, 28, 20	mulgcld 13730	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 1 ) ∈ 𝐵)
30	9, 27, 28, 29	fvmptd3 5740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 1 ))
31	26, 30	oveq12d 6035	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦)) = ((𝑥 · 1 )(+g‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
32	15, 22, 31	3eqtr4d 2274	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
33	32	ralrimivva 2614	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
34	10, 33	jca 306	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝐹:ℤ⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦))))
35		zringbas 14609	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
36		zringplusg 14610	. . 3 ⊢ + = (+g‘ℤring)
37	35, 4, 36, 11	isghm 13829	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ↔ ((ℤring ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ Grp) ∧ (𝐹:ℤ⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))))
38	3, 34, 37	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   ↦ cmpt 4150  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017   + caddc 8034  ℤcz 9478  Basecbs 13081  +_gcplusg 13159  Grpcgrp 13582  ._gcmg 13705   GrpHom cghm 13826  ℤ_ringczring 14603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-addf 8153  ax-mulf 8154

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611  df-uz 9755  df-rp 9888  df-fz 10243  df-seqfrec 10709  df-cj 11402  df-abs 11559  df-struct 13083  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-starv 13174  df-tset 13178  df-ple 13179  df-ds 13181  df-unif 13182  df-0g 13340  df-topgen 13342  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-mulg 13706  df-subg 13756  df-ghm 13827  df-cmn 13872  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-ring 14010  df-cring 14011  df-subrg 14232  df-bl 14559  df-mopn 14560  df-fg 14562  df-metu 14563  df-cnfld 14570  df-zring 14604

This theorem is referenced by:  mulgrhm  14622