Theorem mulgghm2 14572

Description: The powers of a group element give a homomorphism from ℤ to a group. The name 1 should not be taken as a constraint as it may be any group element. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgghm2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
mulgghm2.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
mulgghm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mulgghm2	⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑅,𝑛   · ,𝑛   1 ,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem mulgghm2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
2		zringgrp 14559	. . 3 ⊢ ℤring ∈ Grp
3	1, 2	jctil 312	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → (ℤring ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ Grp))
4		mulgghm2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		mulgghm2.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝑅)
6	4, 5	mulgcl 13676	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 1 ) ∈ 𝐵)
7	6	3expa 1227	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 1 ) ∈ 𝐵)
8	7	an32s 568	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 1 ) ∈ 𝐵)
9		mulgghm2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
10	8, 9	fmptd 5789	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → 𝐹:ℤ⟶𝐵)
11		eqid 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
12	4, 5, 11	mulgdir 13691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(+g‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
13	12	3exp2 1249	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ( 1 ∈ 𝐵 → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(+g‘𝑅)(𝑦 · 1 ))))))
14	13	imp42 354	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(+g‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
15	14	an32s 568	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) = ((𝑥 · 1 )(+g‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
16		oveq1 6008	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑛 · 1 ) = ((𝑥 + 𝑦) · 1 ))
17		zaddcl 9486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
18	17	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
19		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Grp)
20		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 1 ∈ 𝐵)
21	4, 5, 19, 18, 20	mulgcld 13681	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 1 ) ∈ 𝐵)
22	9, 16, 18, 21	fvmptd3 5728	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑥 + 𝑦) · 1 ))
23		oveq1 6008	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 · 1 ) = (𝑥 · 1 ))
24		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
25	4, 5, 19, 24, 20	mulgcld 13681	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 1 ) ∈ 𝐵)
26	9, 23, 24, 25	fvmptd3 5728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘𝑥) = (𝑥 · 1 ))
27		oveq1 6008	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛 · 1 ) = (𝑦 · 1 ))
28		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
29	4, 5, 19, 28, 20	mulgcld 13681	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 1 ) ∈ 𝐵)
30	9, 27, 28, 29	fvmptd3 5728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 1 ))
31	26, 30	oveq12d 6019	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦)) = ((𝑥 · 1 )(+g‘𝑅)(𝑦 · 1 )))
32	15, 22, 31	3eqtr4d 2272	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
33	32	ralrimivva 2612	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
34	10, 33	jca 306	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝐹:ℤ⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦))))
35		zringbas 14560	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
36		zringplusg 14561	. . 3 ⊢ + = (+g‘ℤring)
37	35, 4, 36, 11	isghm 13780	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ↔ ((ℤring ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ Grp) ∧ (𝐹:ℤ⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))))
38	3, 34, 37	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ↦ cmpt 4145  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001   + caddc 8002  ℤcz 9446  Basecbs 13032  +_gcplusg 13110  Grpcgrp 13533  ._gcmg 13656   GrpHom cghm 13777  ℤ_ringczring 14554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-addf 8121  ax-mulf 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-n0 9370  df-z 9447  df-dec 9579  df-uz 9723  df-rp 9850  df-fz 10205  df-seqfrec 10670  df-cj 11353  df-abs 11510  df-struct 13034  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-iress 13040  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-starv 13125  df-tset 13129  df-ple 13130  df-ds 13132  df-unif 13133  df-0g 13291  df-topgen 13293  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536  df-minusg 13537  df-mulg 13657  df-subg 13707  df-ghm 13778  df-cmn 13823  df-mgp 13884  df-ur 13923  df-ring 13961  df-cring 13962  df-subrg 14183  df-bl 14510  df-mopn 14511  df-fg 14513  df-metu 14514  df-cnfld 14521  df-zring 14555

This theorem is referenced by:  mulgrhm  14573