HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjval2 29140
Description: Value of the adjoint function. (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjval2 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) = (𝑢 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑇

Proof of Theorem adjval2
StepHypRef Expression
1 adjval 29139 . 2 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) = (𝑢 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦)))
2 dmadjop 29137 . . . 4 (𝑇 ∈ dom adj𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3 elmapi 8081 . . . 4 (𝑢 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) → 𝑢: ℋ⟶ ℋ)
4 adjsym 29082 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑢𝑦)) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
5 eqcom 2771 . . . . . 6 ((𝑥 ·ih (𝑢𝑦)) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦)))
652ralbii 3127 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑢𝑦)) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦)))
74, 6syl6bb 278 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦))))
82, 3, 7syl2an 589 . . 3 ((𝑇 ∈ dom adj𝑢 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ)) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦))))
98riotabidva 6818 . 2 (𝑇 ∈ dom adj → (𝑢 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦)) = (𝑢 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦))))
101, 9eqtrd 2798 1 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) = (𝑢 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3054  dom cdm 5276  wf 6063  cfv 6067  crio 6801  (class class class)co 6841  𝑚 cmap 8059  chba 28166   ·ih csp 28169  adjcado 28202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-hilex 28246  ax-hfi 28326  ax-his1 28329
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-id 5184  df-po 5197  df-so 5198  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-er 7946  df-map 8061  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-2 11334  df-cj 14125  df-re 14126  df-im 14127  df-adjh 29098
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator