![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > adjval2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of the adjoint function. (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
adjval2 | โข (๐ โ dom adjโ โ (adjโโ๐) = (โฉ๐ข โ ( โ โm โ)โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) = (๐ฅ ยทih (๐ขโ๐ฆ)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | adjval 30874 | . 2 โข (๐ โ dom adjโ โ (adjโโ๐) = (โฉ๐ข โ ( โ โm โ)โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = ((๐ขโ๐ฅ) ยทih ๐ฆ))) | |
2 | dmadjop 30872 | . . . 4 โข (๐ โ dom adjโ โ ๐: โโถ โ) | |
3 | elmapi 8794 | . . . 4 โข (๐ข โ ( โ โm โ) โ ๐ข: โโถ โ) | |
4 | adjsym 30817 | . . . . 5 โข ((๐: โโถ โ โง ๐ข: โโถ โ) โ (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = ((๐ขโ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (๐ฅ ยทih (๐ขโ๐ฆ)) = ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ))) | |
5 | eqcom 2744 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ ยทih (๐ขโ๐ฆ)) = ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) โ ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) = (๐ฅ ยทih (๐ขโ๐ฆ))) | |
6 | 5 | 2ralbii 3128 | . . . . 5 โข (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (๐ฅ ยทih (๐ขโ๐ฆ)) = ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) = (๐ฅ ยทih (๐ขโ๐ฆ))) |
7 | 4, 6 | bitrdi 287 | . . . 4 โข ((๐: โโถ โ โง ๐ข: โโถ โ) โ (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = ((๐ขโ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) = (๐ฅ ยทih (๐ขโ๐ฆ)))) |
8 | 2, 3, 7 | syl2an 597 | . . 3 โข ((๐ โ dom adjโ โง ๐ข โ ( โ โm โ)) โ (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = ((๐ขโ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) = (๐ฅ ยทih (๐ขโ๐ฆ)))) |
9 | 8 | riotabidva 7338 | . 2 โข (๐ โ dom adjโ โ (โฉ๐ข โ ( โ โm โ)โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ (๐ฅ ยทih (๐โ๐ฆ)) = ((๐ขโ๐ฅ) ยทih ๐ฆ)) = (โฉ๐ข โ ( โ โm โ)โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) = (๐ฅ ยทih (๐ขโ๐ฆ)))) |
10 | 1, 9 | eqtrd 2777 | 1 โข (๐ โ dom adjโ โ (adjโโ๐) = (โฉ๐ข โ ( โ โm โ)โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ((๐โ๐ฅ) ยทih ๐ฆ) = (๐ฅ ยทih (๐ขโ๐ฆ)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwral 3065 dom cdm 5638 โถwf 6497 โcfv 6501 โฉcrio 7317 (class class class)co 7362 โm cmap 8772 โchba 29903 ยทih csp 29906 adjโcado 29939 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 ax-pre-mulgt0 11135 ax-hilex 29983 ax-hfi 30063 ax-his1 30066 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-iun 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-id 5536 df-po 5550 df-so 5551 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-1st 7926 df-2nd 7927 df-er 8655 df-map 8774 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-xr 11200 df-ltxr 11201 df-le 11202 df-sub 11394 df-neg 11395 df-div 11820 df-2 12223 df-cj 14991 df-re 14992 df-im 14993 df-adjh 30833 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |