Theorem adjval 29354

Description: Value of the adjoint function for 𝑇 in the domain of adj_ℎ. (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adjval	⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘𝑇) = (℩𝑢 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑇

Proof of Theorem adjval

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmadjop 29352	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2	1	biantrurd 533	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → ((𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))))
3		ax-hilex 28463	. . . . . 6 ⊢ ℋ ∈ V
4	3, 3	elmap 8292	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ↔ 𝑢: ℋ⟶ ℋ)
5	4	anbi1i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))
6		3anass 1088	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
7	2, 5, 6	3bitr4g 315	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → ((𝑢 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
8	7	iotabidv 6217	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (℩𝑢(𝑢 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))) = (℩𝑢(𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
9		df-riota 6984	. . 3 ⊢ (℩𝑢 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) = (℩𝑢(𝑢 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (℩𝑢 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) = (℩𝑢(𝑢 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
11		dfadj2 29349	. . 3 ⊢ adjℎ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))}
12		feq1 6370	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑇: ℋ⟶ ℋ))
13		fveq1 6544	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡‘𝑦) = (𝑇‘𝑦))
14	13	oveq2d 7039	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)))
15	14	eqeq1d 2799	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))
16	15	2ralbidv 3168	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))
17	12, 16	3anbi13d 1430	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
18	11, 17	fvopab5 6672	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘𝑇) = (℩𝑢(𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
19	8, 10, 18	3eqtr4rd 2844	1 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘𝑇) = (℩𝑢 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107  dom cdm 5450  ℩cio 6194  ⟶wf 6228  ‘cfv 6232  ℩crio 6983  (class class class)co 7023   ↑_𝑚 cmap 8263   ℋchba 28383   ·_ih csp 28386  adj_ℎcado 28419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-hilex 28463  ax-hfi 28543  ax-his1 28546

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-po 5369  df-so 5370  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-2 11554  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-adjh 29313

This theorem is referenced by:  adjval2  29355  adjbdln  29547