MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axaddass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axaddass 11151
Description: Addition of complex numbers is associative. This theorem transfers the associative laws for the real and imaginary signed real components of complex number pairs, to complex number addition itself. Axiom 9 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-addass 11175 be used later. Instead, use addass 11197. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axaddass ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem axaddass
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 11137 . 2 ℂ = ((R × R) / E )
2 addcnsrec 11138 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] E + [⟨𝑧, 𝑤⟩] E ) = [⟨(𝑥 +R 𝑧), (𝑦 +R 𝑤)⟩] E )
3 addcnsrec 11138 . 2 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] E + [⟨𝑣, 𝑢⟩] E ) = [⟨(𝑧 +R 𝑣), (𝑤 +R 𝑢)⟩] E )
4 addcnsrec 11138 . 2 ((((𝑥 +R 𝑧) ∈ R ∧ (𝑦 +R 𝑤) ∈ R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ([⟨(𝑥 +R 𝑧), (𝑦 +R 𝑤)⟩] E + [⟨𝑣, 𝑢⟩] E ) = [⟨((𝑥 +R 𝑧) +R 𝑣), ((𝑦 +R 𝑤) +R 𝑢)⟩] E )
5 addcnsrec 11138 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ ((𝑧 +R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑤 +R 𝑢) ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] E + [⟨(𝑧 +R 𝑣), (𝑤 +R 𝑢)⟩] E ) = [⟨(𝑥 +R (𝑧 +R 𝑣)), (𝑦 +R (𝑤 +R 𝑢))⟩] E )
6 addclsr 11078 . . . 4 ((𝑥R𝑧R) → (𝑥 +R 𝑧) ∈ R)
7 addclsr 11078 . . . 4 ((𝑦R𝑤R) → (𝑦 +R 𝑤) ∈ R)
86, 7anim12i 614 . . 3 (((𝑥R𝑧R) ∧ (𝑦R𝑤R)) → ((𝑥 +R 𝑧) ∈ R ∧ (𝑦 +R 𝑤) ∈ R))
98an4s 659 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑥 +R 𝑧) ∈ R ∧ (𝑦 +R 𝑤) ∈ R))
10 addclsr 11078 . . . 4 ((𝑧R𝑣R) → (𝑧 +R 𝑣) ∈ R)
11 addclsr 11078 . . . 4 ((𝑤R𝑢R) → (𝑤 +R 𝑢) ∈ R)
1210, 11anim12i 614 . . 3 (((𝑧R𝑣R) ∧ (𝑤R𝑢R)) → ((𝑧 +R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑤 +R 𝑢) ∈ R))
1312an4s 659 . 2 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑧 +R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑤 +R 𝑢) ∈ R))
14 addasssr 11083 . 2 ((𝑥 +R 𝑧) +R 𝑣) = (𝑥 +R (𝑧 +R 𝑣))
15 addasssr 11083 . 2 ((𝑦 +R 𝑤) +R 𝑢) = (𝑦 +R (𝑤 +R 𝑢))
161, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 14, 15ecovass 8818 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107   E cep 5580  ccnv 5676  (class class class)co 7409  Rcnr 10860   +R cplr 10864  cc 11108   + caddc 11113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-ni 10867  df-pli 10868  df-mi 10869  df-lti 10870  df-plpq 10903  df-mpq 10904  df-ltpq 10905  df-enq 10906  df-nq 10907  df-erq 10908  df-plq 10909  df-mq 10910  df-1nq 10911  df-rq 10912  df-ltnq 10913  df-np 10976  df-plp 10978  df-ltp 10980  df-enr 11050  df-nr 11051  df-plr 11052  df-c 11116  df-add 11121
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator