MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axmulcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axmulcom 10233
Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom 8 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcom 10257 be used later. Instead, use mulcom 10279. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulcom ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem axmulcom
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 10220 . 2 ℂ = ((R × R) / E )
2 mulcnsrec 10222 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] E · [⟨𝑧, 𝑤⟩] E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩] E )
3 mulcnsrec 10222 . 2 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑥R𝑦R)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] E · [⟨𝑥, 𝑦⟩] E ) = [⟨((𝑧 ·R 𝑥) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑦))), ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦))⟩] E )
4 mulcomsr 10167 . . 3 (𝑥 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑥)
5 mulcomsr 10167 . . . 4 (𝑦 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑦)
65oveq2i 6857 . . 3 (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) = (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑦))
74, 6oveq12i 6858 . 2 ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) = ((𝑧 ·R 𝑥) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑦)))
8 mulcomsr 10167 . . . 4 (𝑦 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑦)
9 mulcomsr 10167 . . . 4 (𝑥 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑥)
108, 9oveq12i 6858 . . 3 ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) = ((𝑧 ·R 𝑦) +R (𝑤 ·R 𝑥))
11 addcomsr 10165 . . 3 ((𝑧 ·R 𝑦) +R (𝑤 ·R 𝑥)) = ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦))
1210, 11eqtri 2787 . 2 ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) = ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦))
131, 2, 3, 7, 12ecovcom 8061 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155   E cep 5191  ccnv 5278  (class class class)co 6846  Rcnr 9944  -1Rcm1r 9947   +R cplr 9948   ·R cmr 9949  cc 10191   · cmul 10198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-omul 7773  df-er 7951  df-ec 7953  df-qs 7957  df-ni 9951  df-pli 9952  df-mi 9953  df-lti 9954  df-plpq 9987  df-mpq 9988  df-ltpq 9989  df-enq 9990  df-nq 9991  df-erq 9992  df-plq 9993  df-mq 9994  df-1nq 9995  df-rq 9996  df-ltnq 9997  df-np 10060  df-plp 10062  df-mp 10063  df-ltp 10064  df-enr 10134  df-nr 10135  df-plr 10136  df-mr 10137  df-c 10199  df-mul 10205
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator