Theorem axmulcom 11053

Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom 8 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcom 11077 be used later. Instead, use mulcom 11099. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axmulcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem axmulcom

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 11040	. 2 ⊢ ℂ = ((R × R) / ◡ E )
2		mulcnsrec 11042	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩]◡ E · [⟨𝑧, 𝑤⟩]◡ E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩]◡ E )
3		mulcnsrec 11042	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩]◡ E · [⟨𝑥, 𝑦⟩]◡ E ) = [⟨((𝑧 ·R 𝑥) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑦))), ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦))⟩]◡ E )
4		mulcomsr 10987	. . 3 ⊢ (𝑥 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑥)
5		mulcomsr 10987	. . . 4 ⊢ (𝑦 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑦)
6	5	oveq2i 7363	. . 3 ⊢ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) = (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑦))
7	4, 6	oveq12i 7364	. 2 ⊢ ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) = ((𝑧 ·R 𝑥) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑦)))
8		mulcomsr 10987	. . . 4 ⊢ (𝑦 ·R 𝑧) = (𝑧 ·R 𝑦)
9		mulcomsr 10987	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 𝑥)
10	8, 9	oveq12i 7364	. . 3 ⊢ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) = ((𝑧 ·R 𝑦) +R (𝑤 ·R 𝑥))
11		addcomsr 10985	. . 3 ⊢ ((𝑧 ·R 𝑦) +R (𝑤 ·R 𝑥)) = ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦))
12	10, 11	eqtri 2756	. 2 ⊢ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) = ((𝑤 ·R 𝑥) +R (𝑧 ·R 𝑦))
13	1, 2, 3, 7, 12	ecovcom 8753	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   E cep 5518  ^◡ccnv 5618  (class class class)co 7352  Rcnr 10763  -1_Rcm1r 10766   +_R cplr 10767   ·_R cmr 10768  ℂcc 11011   · cmul 11018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-oadd 8395  df-omul 8396  df-er 8628  df-ec 8630  df-qs 8634  df-ni 10770  df-pli 10771  df-mi 10772  df-lti 10773  df-plpq 10806  df-mpq 10807  df-ltpq 10808  df-enq 10809  df-nq 10810  df-erq 10811  df-plq 10812  df-mq 10813  df-1nq 10814  df-rq 10815  df-ltnq 10816  df-np 10879  df-plp 10881  df-mp 10882  df-ltp 10883  df-enr 10953  df-nr 10954  df-plr 10955  df-mr 10956  df-c 11019  df-mul 11025

This theorem is referenced by: (None)