MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axmulrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axmulrcl 11185
Description: Closure law for multiplication in the real subfield of complex numbers. Axiom 7 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulrcl 11209 be used later. Instead, in most cases use remulcl 11231. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 31-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
axmulrcl ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)

Proof of Theorem axmulrcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 11162 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ = ๐ด)
2 elreal 11162 . 2 (๐ต โˆˆ โ„ โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ R โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ต)
3 oveq1 7433 . . 3 (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) = (๐ด ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ))
43eleq1d 2814 . 2 (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ ((โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โˆˆ โ„ โ†” (๐ด ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โˆˆ โ„))
5 oveq2 7434 . . 3 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ต โ†’ (๐ด ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) = (๐ด ยท ๐ต))
65eleq1d 2814 . 2 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ต โ†’ ((๐ด ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โˆˆ โ„ โ†” (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„))
7 mulresr 11170 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) = โŸจ(๐‘ฅ ยทR ๐‘ฆ), 0RโŸฉ)
8 mulclsr 11115 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โ†’ (๐‘ฅ ยทR ๐‘ฆ) โˆˆ R)
9 opelreal 11161 . . . 4 (โŸจ(๐‘ฅ ยทR ๐‘ฆ), 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โ†” (๐‘ฅ ยทR ๐‘ฆ) โˆˆ R)
108, 9sylibr 233 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โ†’ โŸจ(๐‘ฅ ยทR ๐‘ฆ), 0RโŸฉ โˆˆ โ„)
117, 10eqeltrd 2829 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โˆˆ โ„)
121, 2, 4, 6, 112gencl 3516 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โŸจcop 4638  (class class class)co 7426  Rcnr 10896  0Rc0r 10897   ยทR cmr 10901  โ„cr 11145   ยท cmul 11151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-ni 10903  df-pli 10904  df-mi 10905  df-lti 10906  df-plpq 10939  df-mpq 10940  df-ltpq 10941  df-enq 10942  df-nq 10943  df-erq 10944  df-plq 10945  df-mq 10946  df-1nq 10947  df-rq 10948  df-ltnq 10949  df-np 11012  df-1p 11013  df-plp 11014  df-mp 11015  df-ltp 11016  df-enr 11086  df-nr 11087  df-plr 11088  df-mr 11089  df-0r 11091  df-m1r 11093  df-c 11152  df-r 11156  df-mul 11158
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator