Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heibor1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem heibor1 33920
Description: One half of heibor 33931, that does not require any Choice. A compact metric space is complete and totally bounded. We prove completeness in cmpcmet 23328 and total boundedness here, which follows trivially from the fact that the set of all 𝑟-balls is an open cover of 𝑋, so finitely many cover 𝑋. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
heibor1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋)))

Proof of Theorem heibor1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.1 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2 simpll 774 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (𝑥 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑥:ℕ⟶𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3 simplr 776 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (𝑥 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑥:ℕ⟶𝑋)) → 𝐽 ∈ Comp)
4 simprl 778 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (𝑥 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑥:ℕ⟶𝑋)) → 𝑥 ∈ (Cau‘𝐷))
5 simprr 780 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (𝑥 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑥:ℕ⟶𝑋)) → 𝑥:ℕ⟶𝑋)
61, 2, 3, 4, 5heibor1lem 33919 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (𝑥 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑥:ℕ⟶𝑋)) → 𝑥 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
76expr 446 . . . 4 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑥 ∈ (Cau‘𝐷)) → (𝑥:ℕ⟶𝑋𝑥 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
87ralrimiva 3154 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → ∀𝑥 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑥:ℕ⟶𝑋𝑥 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
9 nnuz 11941 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
10 1zzd 11674 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → 1 ∈ ℤ)
11 simpl 470 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
129, 1, 10, 11iscmet3 23303 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑥 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑥:ℕ⟶𝑋𝑥 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))))
138, 12mpbird 248 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
14 simplr 776 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐽 ∈ Comp)
15 metxmet 22352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑋𝑧𝑋)
17 rpxr 12054 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
181blopn 22518 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
1915, 16, 17, 18syl3an 1192 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
20193com23 1149 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+𝑧𝑋) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
21203expa 1140 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
22 eleq1a 2880 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽 → (𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑦𝐽))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑦𝐽))
2423rexlimdva 3219 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑦𝐽))
2524adantlr 697 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑦𝐽))
2625abssdv 3873 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ⊆ 𝐽)
2715ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
281mopnuni 22459 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑋 = 𝐽)
30 blcntr 22431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))
3115, 30syl3an1 1195 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))
32313com23 1149 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))
33323expa 1140 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))
34 ovex 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ V
3534elabrex 6725 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑋 → (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
3635adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
37 elunii 4635 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}) → 𝑧 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
3833, 36, 37syl2anc 575 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
3938ralrimiva 3154 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑧𝑋 𝑧 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
4039adantlr 697 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑧𝑋 𝑧 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
41 nfcv 2948 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑋
42 nfre1 3192 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)
4342nfab 2953 . . . . . . . . . . . 12 𝑧{𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}
4443nfuni 4636 . . . . . . . . . . 11 𝑧 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}
4541, 44dfss3f 3790 . . . . . . . . . 10 (𝑋 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ↔ ∀𝑧𝑋 𝑧 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
4640, 45sylibr 225 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑋 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
4729, 46eqsstr3d 3837 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐽 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
4826unissd 4656 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ⊆ 𝐽)
4947, 48eqssd 3815 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐽 = {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
50 eqid 2806 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
5150cmpcov 21406 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Comp ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ⊆ 𝐽 𝐽 = {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∩ Fin) 𝐽 = 𝑥)
5214, 26, 49, 51syl3anc 1483 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∩ Fin) 𝐽 = 𝑥)
53 elin 3995 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝑥 ∈ Fin))
54 ancom 450 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}))
5553, 54bitri 266 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}))
5655anbi1i 612 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}) ∧ 𝐽 = 𝑥))
57 anass 456 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}) ∧ 𝐽 = 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥)))
5856, 57bitri 266 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥)))
5958rexbii2 3227 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ (𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∩ Fin) 𝐽 = 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ Fin (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥))
6052, 59sylib 209 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ Fin (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥))
61 ancom 450 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥) ↔ ( 𝐽 = 𝑥𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}))
62 eqcom 2813 . . . . . . . . . 10 ( 𝑥 = 𝑋𝑋 = 𝑥)
6329eqeq1d 2808 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑋 = 𝑥 𝐽 = 𝑥))
6462, 63syl5rbb 275 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ( 𝐽 = 𝑥 𝑥 = 𝑋))
6564anbi1d 617 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (( 𝐽 = 𝑥𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}) ↔ ( 𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})))
6661, 65syl5bb 274 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥) ↔ ( 𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})))
67 elpwi 4361 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} → 𝑥 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
68 ssabral 3870 . . . . . . . . 9 (𝑥 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ↔ ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))
6967, 68sylib 209 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} → ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))
7069anim2i 605 . . . . . . 7 (( 𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}) → ( 𝑥 = 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)))
7166, 70syl6bi 244 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥) → ( 𝑥 = 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))))
7271reximdv 3203 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 ∈ Fin (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ Fin ( 𝑥 = 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))))
7360, 72mpd 15 . . . 4 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ Fin ( 𝑥 = 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)))
7473ralrimiva 3154 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ Fin ( 𝑥 = 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)))
75 istotbnd 33879 . . 3 (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ Fin ( 𝑥 = 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))))
7611, 74, 75sylanbrc 574 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋))
7713, 76jca 503 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  {cab 2792  wral 3096  wrex 3097  cin 3768  wss 3769  𝒫 cpw 4351   cuni 4630  dom cdm 5311  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874  Fincfn 8192  1c1 10222  *cxr 10358  cn 11305  +crp 12046  ∞Metcxmt 19939  Metcme 19940  ballcbl 19941  MetOpencmopn 19944  𝑡clm 21244  Compccmp 21403  Caucca 23263  CMetcms 23264  TotBndctotbnd 33876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cc 9542  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-omul 7801  df-er 7979  df-map 8094  df-pm 8095  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fi 8556  df-sup 8587  df-inf 8588  df-oi 8654  df-card 9048  df-acn 9051  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-xneg 12162  df-xadd 12163  df-xmul 12164  df-ico 12399  df-fz 12550  df-fl 12817  df-seq 13025  df-exp 13084  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-clim 14442  df-rlim 14443  df-rest 16288  df-topgen 16309  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-top 20912  df-topon 20929  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-lm 21247  df-cmp 21404  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-cfil 23265  df-cau 23266  df-cmet 23267  df-totbnd 33878
This theorem is referenced by:  heibor  33931
  Copyright terms: Public domain W3C validator