Theorem cnllysconn 33207

Description: The topology of the complex numbers is locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnllysconn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnllysconn	⊢ 𝐽 ∈ Locally SConn

Proof of Theorem cnllysconn

Dummy variables 𝑢 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnllysconn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtop 23947	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ Top
3		cnxmet 23936	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
4	1	cnfldtopn 23945	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
5	4	mopni2 23649	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)
6	3, 5	mp3an1 1447	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)
7	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
8	1	cnfldtopon 23946	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
9		simpll 764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐽)
10		toponss 22076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ⊆ ℂ)
11	8, 9, 10	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ ℂ)
12		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝑥)
13	11, 12	sseldd 3922	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ℂ)
14		rpxr 12739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
15	14	ad2antrl 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
16	4	blopn 23656	. . . . . . 7 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝐽)
17	7, 13, 15, 16	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝐽)
18		simprr 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)
19		vex 3436	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
20	19	elpw2 5269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝒫 𝑥 ↔ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)
21	18, 20	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝒫 𝑥)
22	17, 21	elind 4128	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥))
23		simprl 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
24		blcntr 23566	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
25	7, 13, 23, 24	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
26		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)
27		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ↾t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) = (𝐽 ↾t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
28	1, 26, 27	blsconn 33206	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝐽 ↾t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SConn)
29	13, 15, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝐽 ↾t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SConn)
30		eleq2 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → (𝑦 ∈ 𝑢 ↔ 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
31		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → (𝐽 ↾t 𝑢) = (𝐽 ↾t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
32	31	eleq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ((𝐽 ↾t 𝑢) ∈ SConn ↔ (𝐽 ↾t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SConn))
33	30, 32	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ((𝑦 ∈ 𝑢 ∧ (𝐽 ↾t 𝑢) ∈ SConn) ↔ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ (𝐽 ↾t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SConn)))
34	33	rspcev 3561	. . . . 5 ⊢ (((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ (𝐽 ↾t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SConn)) → ∃𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦 ∈ 𝑢 ∧ (𝐽 ↾t 𝑢) ∈ SConn))
35	22, 25, 29, 34	syl12anc 834	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → ∃𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦 ∈ 𝑢 ∧ (𝐽 ↾t 𝑢) ∈ SConn))
36	6, 35	rexlimddv 3220	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦 ∈ 𝑢 ∧ (𝐽 ↾t 𝑢) ∈ SConn))
37	36	rgen2 3120	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦 ∈ 𝑢 ∧ (𝐽 ↾t 𝑢) ∈ SConn)
38		islly 22619	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Locally SConn ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦 ∈ 𝑢 ∧ (𝐽 ↾t 𝑢) ∈ SConn)))
39	2, 37, 38	mpbir2an 708	1 ⊢ 𝐽 ∈ Locally SConn

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝ^*cxr 11008   − cmin 11205  ℝ⁺crp 12730  abscabs 14945   ↾_t crest 17131  TopOpenctopn 17132  ∞Metcxmet 20582  ballcbl 20584  ℂ_fldccnfld 20597  Topctop 22042  TopOnctopon 22059  Locally clly 22615  SConncsconn 33182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-lly 22617  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-ii 24040  df-htpy 24133  df-phtpy 24134  df-phtpc 24155  df-pconn 33183  df-sconn 33184

This theorem is referenced by: (None)