Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnllysconn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnllysconn 34888
Description: The topology of the complex numbers is locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnllysconn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
cnllysconn 𝐽 ∈ Locally SConn
Proof of Theorem cnllysconn
Dummy variables 𝑒 π‘Ÿ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnllysconn.j . . 3 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
21cnfldtop 24720 . 2 𝐽 ∈ Top
3 cnxmet 24709 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
41cnfldtopn 24718 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
54mopni2 24422 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)
63, 5mp3an1 1444 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)
73a1i 11 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
81cnfldtopon 24719 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
9 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
10 toponss 22849 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ βŠ† β„‚)
118, 9, 10sylancr 585 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ π‘₯ βŠ† β„‚)
12 simplr 767 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
1311, 12sseldd 3983 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
14 rpxr 13023 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
1514ad2antrl 726 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
164blopn 24429 . . . . . . 7 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∈ 𝐽)
177, 13, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∈ 𝐽)
18 simprr 771 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)
19 vex 3477 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
2019elpw2 5351 . . . . . . 7 ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∈ 𝒫 π‘₯ ↔ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)
2118, 20sylibr 233 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∈ 𝒫 π‘₯)
2217, 21elind 4196 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 π‘₯))
23 simprl 769 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
24 blcntr 24339 . . . . . 6 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ))
257, 13, 23, 24syl3anc 1368 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ))
26 eqid 2728 . . . . . . 7 (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) = (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)
27 eqid 2728 . . . . . . 7 (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)) = (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ))
281, 26, 27blsconn 34887 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)) ∈ SConn)
2913, 15, 28syl2anc 582 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)) ∈ SConn)
30 eleq2 2818 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) β†’ (𝑦 ∈ 𝑒 ↔ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)))
31 oveq2 7434 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑒) = (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)))
3231eleq1d 2814 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑒) ∈ SConn ↔ (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)) ∈ SConn))
3330, 32anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑒 = (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑒 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑒) ∈ SConn) ↔ (𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∧ (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)) ∈ SConn)))
3433rspcev 3611 . . . . 5 (((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∧ (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)) ∈ SConn)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 π‘₯)(𝑦 ∈ 𝑒 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑒) ∈ SConn))
3522, 25, 29, 34syl12anc 835 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 π‘₯)(𝑦 ∈ 𝑒 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑒) ∈ SConn))
366, 35rexlimddv 3158 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 π‘₯)(𝑦 ∈ 𝑒 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑒) ∈ SConn))
3736rgen2 3195 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘’ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 π‘₯)(𝑦 ∈ 𝑒 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑒) ∈ SConn)
38 islly 23392 . 2 (𝐽 ∈ Locally SConn ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘’ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 π‘₯)(𝑦 ∈ 𝑒 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑒) ∈ SConn)))
392, 37, 38mpbir2an 709 1 𝐽 ∈ Locally SConn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606   ∘ ccom 5686  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  β„*cxr 11285   βˆ’ cmin 11482  β„+crp 13014  abscabs 15221   β†Ύt crest 17409  TopOpenctopn 17410  βˆžMetcxmet 21271  ballcbl 21273  β„‚fldccnfld 21286  Topctop 22815  TopOnctopon 22832  Locally clly 23388  SConncsconn 34863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-lly 23390  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-ii 24817  df-cncf 24818  df-htpy 24916  df-phtpy 24917  df-phtpc 24938  df-pconn 34864  df-sconn 34865
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator