Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnllysconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnllysconn 34725
Description: The topology of the complex numbers is locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnllysconn.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cnllysconn 𝐽 ∈ Locally SConn

Proof of Theorem cnllysconn
Dummy variables 𝑢 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnllysconn.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtop 24622 . 2 𝐽 ∈ Top
3 cnxmet 24611 . . . . 5 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
41cnfldtopn 24620 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
54mopni2 24324 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥𝐽𝑦𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)
63, 5mp3an1 1444 . . . 4 ((𝑥𝐽𝑦𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)
73a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
81cnfldtopon 24621 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
9 simpll 764 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑥𝐽)
10 toponss 22751 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥 ⊆ ℂ)
118, 9, 10sylancr 586 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ ℂ)
12 simplr 766 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑦𝑥)
1311, 12sseldd 3975 . . . . . . 7 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ℂ)
14 rpxr 12980 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
1514ad2antrl 725 . . . . . . 7 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
164blopn 24331 . . . . . . 7 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝐽)
177, 13, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝐽)
18 simprr 770 . . . . . . 7 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)
19 vex 3470 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
2019elpw2 5335 . . . . . . 7 ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝒫 𝑥 ↔ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)
2118, 20sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝒫 𝑥)
2217, 21elind 4186 . . . . 5 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥))
23 simprl 768 . . . . . 6 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
24 blcntr 24241 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
257, 13, 23, 24syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
26 eqid 2724 . . . . . . 7 (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)
27 eqid 2724 . . . . . . 7 (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) = (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
281, 26, 27blsconn 34724 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SConn)
2913, 15, 28syl2anc 583 . . . . 5 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SConn)
30 eleq2 2814 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → (𝑦𝑢𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
31 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → (𝐽t 𝑢) = (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
3231eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ((𝐽t 𝑢) ∈ SConn ↔ (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SConn))
3330, 32anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ((𝑦𝑢 ∧ (𝐽t 𝑢) ∈ SConn) ↔ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SConn)))
3433rspcev 3604 . . . . 5 (((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SConn)) → ∃𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑢 ∧ (𝐽t 𝑢) ∈ SConn))
3522, 25, 29, 34syl12anc 834 . . . 4 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → ∃𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑢 ∧ (𝐽t 𝑢) ∈ SConn))
366, 35rexlimddv 3153 . . 3 ((𝑥𝐽𝑦𝑥) → ∃𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑢 ∧ (𝐽t 𝑢) ∈ SConn))
3736rgen2 3189 . 2 𝑥𝐽𝑦𝑥𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑢 ∧ (𝐽t 𝑢) ∈ SConn)
38 islly 23294 . 2 (𝐽 ∈ Locally SConn ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥𝐽𝑦𝑥𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑢 ∧ (𝐽t 𝑢) ∈ SConn)))
392, 37, 38mpbir2an 708 1 𝐽 ∈ Locally SConn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053  wrex 3062  cin 3939  wss 3940  𝒫 cpw 4594  ccom 5670  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11104  *cxr 11244  cmin 11441  +crp 12971  abscabs 15178  t crest 17365  TopOpenctopn 17366  ∞Metcxmet 21213  ballcbl 21215  fldccnfld 21228  Topctop 22717  TopOnctopon 22734  Locally clly 23290  SConncsconn 34700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-lly 23292  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-ii 24719  df-cncf 24720  df-htpy 24818  df-phtpy 24819  df-phtpc 24840  df-pconn 34701  df-sconn 34702
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator