Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnllysconn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnllysconn 34764
Description: The topology of the complex numbers is locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnllysconn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
cnllysconn 𝐽 ∈ Locally SConn
Proof of Theorem cnllysconn
Dummy variables 𝑒 π‘Ÿ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnllysconn.j . . 3 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
21cnfldtop 24655 . 2 𝐽 ∈ Top
3 cnxmet 24644 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
41cnfldtopn 24653 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
54mopni2 24357 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)
63, 5mp3an1 1444 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)
73a1i 11 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
81cnfldtopon 24654 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
9 simpll 764 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
10 toponss 22784 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ βŠ† β„‚)
118, 9, 10sylancr 586 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ π‘₯ βŠ† β„‚)
12 simplr 766 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
1311, 12sseldd 3978 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
14 rpxr 12989 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
1514ad2antrl 725 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
164blopn 24364 . . . . . . 7 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∈ 𝐽)
177, 13, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∈ 𝐽)
18 simprr 770 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)
19 vex 3472 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
2019elpw2 5338 . . . . . . 7 ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∈ 𝒫 π‘₯ ↔ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)
2118, 20sylibr 233 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∈ 𝒫 π‘₯)
2217, 21elind 4189 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 π‘₯))
23 simprl 768 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
24 blcntr 24274 . . . . . 6 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ))
257, 13, 23, 24syl3anc 1368 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ))
26 eqid 2726 . . . . . . 7 (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) = (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)
27 eqid 2726 . . . . . . 7 (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)) = (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ))
281, 26, 27blsconn 34763 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)) ∈ SConn)
2913, 15, 28syl2anc 583 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)) ∈ SConn)
30 eleq2 2816 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) β†’ (𝑦 ∈ 𝑒 ↔ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)))
31 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑒) = (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)))
3231eleq1d 2812 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑒) ∈ SConn ↔ (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)) ∈ SConn))
3330, 32anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑒 = (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑒 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑒) ∈ SConn) ↔ (𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∧ (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)) ∈ SConn)))
3433rspcev 3606 . . . . 5 (((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∧ (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)) ∈ SConn)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 π‘₯)(𝑦 ∈ 𝑒 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑒) ∈ SConn))
3522, 25, 29, 34syl12anc 834 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 π‘₯)(𝑦 ∈ 𝑒 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑒) ∈ SConn))
366, 35rexlimddv 3155 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 π‘₯)(𝑦 ∈ 𝑒 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑒) ∈ SConn))
3736rgen2 3191 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘’ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 π‘₯)(𝑦 ∈ 𝑒 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑒) ∈ SConn)
38 islly 23327 . 2 (𝐽 ∈ Locally SConn ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘’ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 π‘₯)(𝑦 ∈ 𝑒 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑒) ∈ SConn)))
392, 37, 38mpbir2an 708 1 𝐽 ∈ Locally SConn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„*cxr 11251   βˆ’ cmin 11448  β„+crp 12980  abscabs 15187   β†Ύt crest 17375  TopOpenctopn 17376  βˆžMetcxmet 21225  ballcbl 21227  β„‚fldccnfld 21240  Topctop 22750  TopOnctopon 22767  Locally clly 23323  SConncsconn 34739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-lly 23325  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-ii 24752  df-cncf 24753  df-htpy 24851  df-phtpy 24852  df-phtpc 24873  df-pconn 34740  df-sconn 34741
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator