Theorem cnllysconn 35925

Description: The topology of the complex numbers is locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnllysconn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnllysconn	⊢ 𝐽 ∈ Locally SConn

Proof of Theorem cnllysconn

Dummy variables 𝑢 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnllysconn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtop 25049	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ Top
3		cnxmet 25038	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
4	1	cnfldtopn 25047	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
5	4	mopni2 24759	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)
6	3, 5	mp3an1 1477	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)
7	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
8	1	cnfldtopon 25048	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
9		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐽)
10		toponss 23192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ⊆ ℂ)
11	8, 9, 10	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ ℂ)
12		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝑥)
13	11, 12	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ℂ)
14		rpxr 13085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
15	14	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
16	4	blopn 24766	. . . . . . 7 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝐽)
17	7, 13, 15, 16	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝐽)
18		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)
19		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
20	19	elpw2 5296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝒫 𝑥 ↔ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)
21	18, 20	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝒫 𝑥)
22	17, 21	elind 4146	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥))
23		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
24		blcntr 24679	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
25	7, 13, 23, 24	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
26		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)
27		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ↾t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) = (𝐽 ↾t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
28	1, 26, 27	blsconn 35924	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝐽 ↾t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SConn)
29	13, 15, 28	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝐽 ↾t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SConn)
30		eleq2 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → (𝑦 ∈ 𝑢 ↔ 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
31		oveq2 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → (𝐽 ↾t 𝑢) = (𝐽 ↾t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
32	31	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ((𝐽 ↾t 𝑢) ∈ SConn ↔ (𝐽 ↾t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SConn))
33	30, 32	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ((𝑦 ∈ 𝑢 ∧ (𝐽 ↾t 𝑢) ∈ SConn) ↔ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ (𝐽 ↾t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SConn)))
34	33	rspcev 3576	. . . . 5 ⊢ (((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ (𝐽 ↾t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SConn)) → ∃𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦 ∈ 𝑢 ∧ (𝐽 ↾t 𝑢) ∈ SConn))
35	22, 25, 29, 34	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → ∃𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦 ∈ 𝑢 ∧ (𝐽 ↾t 𝑢) ∈ SConn))
36	6, 35	rexlimddv 3169	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦 ∈ 𝑢 ∧ (𝐽 ↾t 𝑢) ∈ SConn))
37	36	rgen2 3202	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦 ∈ 𝑢 ∧ (𝐽 ↾t 𝑢) ∈ SConn)
38		islly 23734	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Locally SConn ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦 ∈ 𝑢 ∧ (𝐽 ↾t 𝑢) ∈ SConn)))
39	2, 37, 38	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐽 ∈ Locally SConn

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   ∘ ccom 5652  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℂcc 11155  ℝ^*cxr 11299   − cmin 11498  ℝ⁺crp 13075  abscabs 15354   ↾_t crest 17538  TopOpenctopn 17539  ∞Metcxmet 21610  ballcbl 21612  ℂ_fldccnfld 21625  Topctop 23158  TopOnctopon 23175  Locally clly 23730  SConncsconn 35900

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-xneg 13196  df-xadd 13197  df-xmul 13198  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-rest 17540  df-topn 17541  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-topgen 17561  df-pt 17562  df-prds 17565  df-xrs 17621  df-qtop 17626  df-imas 17627  df-xps 17629  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-mulg 19225  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-psmet 21617  df-xmet 21618  df-met 21619  df-bl 21620  df-mopn 21621  df-cnfld 21626  df-top 23159  df-topon 23176  df-topsp 23198  df-bases 23211  df-cn 23492  df-cnp 23493  df-lly 23732  df-tx 23828  df-hmeo 24021  df-xms 24586  df-ms 24587  df-tms 24588  df-ii 25145  df-cncf 25146  df-htpy 25238  df-phtpy 25239  df-phtpc 25260  df-pconn 35901  df-sconn 35902

This theorem is used by: (None)