Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnllysconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnllysconn 35230
Description: The topology of the complex numbers is locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnllysconn.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cnllysconn 𝐽 ∈ Locally SConn

Proof of Theorem cnllysconn
Dummy variables 𝑢 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnllysconn.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtop 24820 . 2 𝐽 ∈ Top
3 cnxmet 24809 . . . . 5 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
41cnfldtopn 24818 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
54mopni2 24522 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥𝐽𝑦𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)
63, 5mp3an1 1447 . . . 4 ((𝑥𝐽𝑦𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)
73a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
81cnfldtopon 24819 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
9 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑥𝐽)
10 toponss 22949 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥 ⊆ ℂ)
118, 9, 10sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ ℂ)
12 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑦𝑥)
1311, 12sseldd 3996 . . . . . . 7 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ℂ)
14 rpxr 13042 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
1514ad2antrl 728 . . . . . . 7 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
164blopn 24529 . . . . . . 7 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝐽)
177, 13, 15, 16syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝐽)
18 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)
19 vex 3482 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
2019elpw2 5340 . . . . . . 7 ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝒫 𝑥 ↔ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)
2118, 20sylibr 234 . . . . . 6 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ 𝒫 𝑥)
2217, 21elind 4210 . . . . 5 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥))
23 simprl 771 . . . . . 6 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
24 blcntr 24439 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
257, 13, 23, 24syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
26 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)
27 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) = (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
281, 26, 27blsconn 35229 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SConn)
2913, 15, 28syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SConn)
30 eleq2 2828 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → (𝑦𝑢𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
31 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → (𝐽t 𝑢) = (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
3231eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ((𝐽t 𝑢) ∈ SConn ↔ (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SConn))
3330, 32anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → ((𝑦𝑢 ∧ (𝐽t 𝑢) ∈ SConn) ↔ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SConn)))
3433rspcev 3622 . . . . 5 (((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ (𝐽t (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ SConn)) → ∃𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑢 ∧ (𝐽t 𝑢) ∈ SConn))
3522, 25, 29, 34syl12anc 837 . . . 4 (((𝑥𝐽𝑦𝑥) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑥)) → ∃𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑢 ∧ (𝐽t 𝑢) ∈ SConn))
366, 35rexlimddv 3159 . . 3 ((𝑥𝐽𝑦𝑥) → ∃𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑢 ∧ (𝐽t 𝑢) ∈ SConn))
3736rgen2 3197 . 2 𝑥𝐽𝑦𝑥𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑢 ∧ (𝐽t 𝑢) ∈ SConn)
38 islly 23492 . 2 (𝐽 ∈ Locally SConn ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥𝐽𝑦𝑥𝑢 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑢 ∧ (𝐽t 𝑢) ∈ SConn)))
392, 37, 38mpbir2an 711 1 𝐽 ∈ Locally SConn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605  ccom 5693  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  *cxr 11292  cmin 11490  +crp 13032  abscabs 15270  t crest 17467  TopOpenctopn 17468  ∞Metcxmet 21367  ballcbl 21369  fldccnfld 21382  Topctop 22915  TopOnctopon 22932  Locally clly 23488  SConncsconn 35205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-lly 23490  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-ii 24917  df-cncf 24918  df-htpy 25016  df-phtpy 25017  df-phtpc 25038  df-pconn 35206  df-sconn 35207
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator