Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnllysconn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnllysconn 34231
Description: The topology of the complex numbers is locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnllysconn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
cnllysconn 𝐽 ∈ Locally SConn
Proof of Theorem cnllysconn
Dummy variables 𝑒 π‘Ÿ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnllysconn.j . . 3 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
21cnfldtop 24299 . 2 𝐽 ∈ Top
3 cnxmet 24288 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
41cnfldtopn 24297 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
54mopni2 24001 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)
63, 5mp3an1 1448 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)
73a1i 11 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
81cnfldtopon 24298 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
9 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
10 toponss 22428 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ βŠ† β„‚)
118, 9, 10sylancr 587 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ π‘₯ βŠ† β„‚)
12 simplr 767 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
1311, 12sseldd 3983 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
14 rpxr 12982 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
1514ad2antrl 726 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
164blopn 24008 . . . . . . 7 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∈ 𝐽)
177, 13, 15, 16syl3anc 1371 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∈ 𝐽)
18 simprr 771 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)
19 vex 3478 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
2019elpw2 5345 . . . . . . 7 ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∈ 𝒫 π‘₯ ↔ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)
2118, 20sylibr 233 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∈ 𝒫 π‘₯)
2217, 21elind 4194 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 π‘₯))
23 simprl 769 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
24 blcntr 23918 . . . . . 6 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ))
257, 13, 23, 24syl3anc 1371 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ))
26 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) = (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)
27 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)) = (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ))
281, 26, 27blsconn 34230 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)) ∈ SConn)
2913, 15, 28syl2anc 584 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)) ∈ SConn)
30 eleq2 2822 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) β†’ (𝑦 ∈ 𝑒 ↔ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)))
31 oveq2 7416 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑒) = (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)))
3231eleq1d 2818 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑒) ∈ SConn ↔ (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)) ∈ SConn))
3330, 32anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑒 = (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑒 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑒) ∈ SConn) ↔ (𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∧ (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)) ∈ SConn)))
3433rspcev 3612 . . . . 5 (((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) ∧ (𝐽 β†Ύt (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ)) ∈ SConn)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 π‘₯)(𝑦 ∈ 𝑒 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑒) ∈ SConn))
3522, 25, 29, 34syl12anc 835 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))π‘Ÿ) βŠ† π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 π‘₯)(𝑦 ∈ 𝑒 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑒) ∈ SConn))
366, 35rexlimddv 3161 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 π‘₯)(𝑦 ∈ 𝑒 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑒) ∈ SConn))
3736rgen2 3197 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘’ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 π‘₯)(𝑦 ∈ 𝑒 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑒) ∈ SConn)
38 islly 22971 . 2 (𝐽 ∈ Locally SConn ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘’ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 π‘₯)(𝑦 ∈ 𝑒 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑒) ∈ SConn)))
392, 37, 38mpbir2an 709 1 𝐽 ∈ Locally SConn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„*cxr 11246   βˆ’ cmin 11443  β„+crp 12973  abscabs 15180   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  βˆžMetcxmet 20928  ballcbl 20930  β„‚fldccnfld 20943  Topctop 22394  TopOnctopon 22411  Locally clly 22967  SConncsconn 34206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-lly 22969  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-ii 24392  df-htpy 24485  df-phtpy 24486  df-phtpc 24507  df-pconn 34207  df-sconn 34208
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator