Theorem blssex 23183

Description: Two ways to express the existence of a ball subset. (Contributed by NM, 5-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blssex	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝐴   𝐷,𝑟,𝑥   𝑃,𝑟,𝑥   𝑋,𝑟,𝑥

Proof of Theorem blssex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blss 23181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
2		sstr 3886	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)
3	2	expcom 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
4	3	reximdv 3184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
5	1, 4	syl5com 31	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
6	5	3expa 1119	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
7	6	expimpd 457	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) → ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
8	7	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) → ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
9	8	rexlimdva 3195	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
10		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
12		rpxr 12484	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
13	12	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
14		blelrn 23173	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (ball‘𝐷))
15	10, 11, 13, 14	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (ball‘𝐷))
16		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
17		blcntr 23169	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟))
18	10, 11, 16, 17	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟))
19		simprr 773	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)
20		eleq2 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑃 ∈ 𝑥 ↔ 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)))
21		sseq1 3903	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
22	20, 21	anbi12d 634	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)))
23	22	rspcev 3527	. . . 4 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
24	15, 18, 19, 23	syl12anc 836	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
25	24	rexlimdvaa 3196	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
26	9, 25	impbid 215	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3055   ⊆ wss 3844  ran crn 5527  ‘cfv 6340  (class class class)co 7173  ℝ^*cxr 10755  ℝ⁺crp 12475  ∞Metcxmet 20205  ballcbl 20207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695  ax-pre-sup 10696

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-er 8323  df-map 8442  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-sup 8982  df-inf 8983  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-div 11379  df-nn 11720  df-2 11782  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-q 12434  df-rp 12476  df-xneg 12593  df-xadd 12594  df-xmul 12595  df-psmet 20212  df-xmet 20213  df-bl 20215

This theorem is referenced by:  blbas  23186  elmopn2  23201  mopni2  23249  metss  23264  tgioo  23551