Theorem blssex 24380

Description: Two ways to express the existence of a ball subset. (Contributed by NM, 5-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blssex	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝐴   𝐷,𝑟,𝑥   𝑃,𝑟,𝑥   𝑋,𝑟,𝑥

Proof of Theorem blssex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blss 24378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
2		sstr 3925	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)
3	2	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
4	3	reximdv 3150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
5	1, 4	syl5com 31	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
6	5	3expa 1119	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
7	6	expimpd 453	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) → ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
8	7	adantlr 716	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) → ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
9	8	rexlimdva 3136	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
10		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
12		rpxr 12941	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
13	12	ad2antrl 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
14		blelrn 24370	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (ball‘𝐷))
15	10, 11, 13, 14	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (ball‘𝐷))
16		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
17		blcntr 24366	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟))
18	10, 11, 16, 17	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟))
19		simprr 773	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)
20		eleq2 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑃 ∈ 𝑥 ↔ 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)))
21		sseq1 3942	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
22	20, 21	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)))
23	22	rspcev 3562	. . . 4 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
24	15, 18, 19, 23	syl12anc 837	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
25	24	rexlimdvaa 3137	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
26	9, 25	impbid 212	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3885  ran crn 5621  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℝ^*cxr 11167  ℝ⁺crp 12931  ∞Metcxmet 21326  ballcbl 21328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-sup 9344  df-inf 9345  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-psmet 21333  df-xmet 21334  df-bl 21336

This theorem is referenced by:  blbas  24383  elmopn2  24398  mopni2  24446  metss  24461  tgioo  24749