MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmmbr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmmbr 23338
Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " in a metric space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋) allows us to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 21316. (Contributed by NM, 7-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmbr.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmmbr.3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Assertion
Ref Expression
lmmbr (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem lmmbr
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmmbr.3 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 lmmbr.2 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
32mopntopon 22526 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
54lmbr 21345 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢))))
6 rpxr 12042 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*)
72blopn 22587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽)
86, 7syl3an3 1205 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽)
9 blcntr 22500 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))
10 eleq2 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → (𝑃𝑢𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
11 feq3 6208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → ((𝐹𝑦):𝑦𝑢 ↔ (𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
1211rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → (∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢 ↔ ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
1310, 12imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → ((𝑃𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
1413rspcva 3460 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢)) → (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
1514impancom 443 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) → (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
168, 9, 15syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
17163expa 1147 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
1817adantlrl 711 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
1918impancom 443 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋)) ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢)) → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
2019ralrimiv 3112 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋)) ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))
212mopni2 22580 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑢𝐽𝑃𝑢) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢)
22 r19.29 3219 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢))
23 fss 6238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢) → (𝐹𝑦):𝑦𝑢)
2423expcom 402 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢 → ((𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → (𝐹𝑦):𝑦𝑢))
2524reximdv 3162 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢 → (∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢))
2625impcom 396 . . . . . . . . . . . . 13 ((∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢)
2726rexlimivw 3176 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥 ∈ ℝ+ (∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢)
2822, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢)
2921, 28sylan2 586 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∧ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑢𝐽𝑃𝑢)) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢)
30293exp2 1463 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑢𝐽 → (𝑃𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢))))
3130impcom 396 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑢𝐽 → (𝑃𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢)))
3231adantlr 706 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑢𝐽 → (𝑃𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢)))
3332ralrimiv 3112 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) → ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢))
3420, 33impbida 835 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋)) → (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
3534pm5.32da 574 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
36 df-3an 1109 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢)))
37 df-3an 1109 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
3835, 36, 373bitr4g 305 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
391, 38syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦𝑢)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
405, 39bitrd 270 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  wss 3734   class class class wbr 4811  ran crn 5280  cres 5281  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6844  pm cpm 8063  cc 10189  *cxr 10329  cuz 11889  +crp 12031  ∞Metcxmet 20007  ballcbl 20009  MetOpencmopn 20012  TopOnctopon 20997  𝑡clm 21313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-map 8064  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-sup 8557  df-inf 8558  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-xneg 12149  df-xadd 12150  df-xmul 12151  df-topgen 16373  df-psmet 20014  df-xmet 20015  df-bl 20017  df-mopn 20018  df-top 20981  df-topon 20998  df-bases 21033  df-lm 21316
This theorem is referenced by:  lmmbr2  23339  lmcau  23393
  Copyright terms: Public domain W3C validator