Theorem lmmbr 25210

Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " in a metric space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋) allows to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 23167. (Contributed by NM, 7-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmmbr.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmmbr.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
lmmbr	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem lmmbr

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmmbr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		lmmbr.2	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3	2	mopntopon 24378	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	4	lmbr 23196	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢))))
6		rpxr 13018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ*)
7	2	blopn 24439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽)
8	6, 7	syl3an3 1165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽)
9		blcntr 24352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))
10		eleq2 2823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → (𝑃 ∈ 𝑢 ↔ 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
11		feq3 6688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → ((𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢 ↔ (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
12	11	rexbidv 3164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → (∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢 ↔ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
13	10, 12	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
14	13	rspcva 3599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)) → (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
15	14	impancom 451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
16	8, 9, 15	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
17	16	3expa 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
18	17	adantlrl 720	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
19	18	impancom 451	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)) → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
20	19	ralrimiv 3131	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))
21	2	mopni2 24432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑢) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢)
22		r19.29 3101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢))
23		fss 6722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢) → (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)
24	23	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢 → ((𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢))
25	24	reximdv 3155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢 → (∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢))
26	25	impcom 407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)
27	26	rexlimivw 3137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ (∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)
28	22, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)
29	21, 28	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∧ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑢)) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)
30	29	3exp2 1355	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑢 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢))))
31	30	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑢 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)))
32	31	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑢 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)))
33	32	ralrimiv 3131	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢))
34	20, 33	impbida 800	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
35	34	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
36		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)))
37		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
38	35, 36, 37	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
39	1, 38	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
40	5, 39	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  ran crn 5655   ↾ cres 5656  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_pm cpm 8841  ℂcc 11127  ℝ^*cxr 11268  ℤ_≥cuz 12852  ℝ⁺crp 13008  ∞Metcxmet 21300  ballcbl 21302  MetOpencmopn 21305  TopOnctopon 22848  ⇝_𝑡clm 23164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-topgen 17457  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-top 22832  df-topon 22849  df-bases 22884  df-lm 23167

This theorem is referenced by:  lmmbr2  25211  lmcau  25265