Theorem lmmbr 24422

Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " in a metric space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋) allows us to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 22380. (Contributed by NM, 7-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmmbr.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmmbr.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
lmmbr	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem lmmbr

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmmbr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		lmmbr.2	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3	2	mopntopon 23592	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	4	lmbr 22409	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢))))
6		rpxr 12739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ*)
7	2	blopn 23656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽)
8	6, 7	syl3an3 1164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽)
9		blcntr 23566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))
10		eleq2 2827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → (𝑃 ∈ 𝑢 ↔ 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
11		feq3 6583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → ((𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢 ↔ (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
12	11	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → (∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢 ↔ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
13	10, 12	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
14	13	rspcva 3559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)) → (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
15	14	impancom 452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
16	8, 9, 15	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
17	16	3expa 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
18	17	adantlrl 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
19	18	impancom 452	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)) → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
20	19	ralrimiv 3102	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))
21	2	mopni2 23649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑢) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢)
22		r19.29 3184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢))
23		fss 6617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢) → (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)
24	23	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢 → ((𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢))
25	24	reximdv 3202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢 → (∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢))
26	25	impcom 408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)
27	26	rexlimivw 3211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ (∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)
28	22, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)
29	21, 28	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∧ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑢)) → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)
30	29	3exp2 1353	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑢 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢))))
31	30	impcom 408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑢 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)))
32	31	adantlr 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑢 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)))
33	32	ralrimiv 3102	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢))
34	20, 33	impbida 798	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
35	34	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
36		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)))
37		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
38	35, 36, 37	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
39	1, 38	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶𝑢)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
40	5, 39	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ran crn 5590   ↾ cres 5591  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_pm cpm 8616  ℂcc 10869  ℝ^*cxr 11008  ℤ_≥cuz 12582  ℝ⁺crp 12730  ∞Metcxmet 20582  ballcbl 20584  MetOpencmopn 20587  TopOnctopon 22059  ⇝_𝑡clm 22377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-lm 22380

This theorem is referenced by:  lmmbr2  24423  lmcau  24477