MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metnrmlem2 23757
Description: Lemma for metnrm 23759. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metnrmlem.1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metnrmlem.2 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.3 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.4 (𝜑 → (𝑆𝑇) = ∅)
metnrmlem.u 𝑈 = 𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2))
Assertion
Ref Expression
metnrmlem2 (𝜑 → (𝑈𝐽𝑇𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑡,𝐷   𝑡,𝐽,𝑦   𝜑,𝑡   𝑡,𝑇,𝑥,𝑦   𝑡,𝑆,𝑥,𝑦   𝑡,𝑋,𝑥,𝑦   𝑡,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑡)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metnrmlem2
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.u . . 3 𝑈 = 𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2))
2 metnrmlem.1 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 metdscn.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
43mopntop 23338 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
62adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
8 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 𝐽
98cldss 21926 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑇 𝐽)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 𝐽)
113mopnuni 23339 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
122, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 = 𝐽)
1310, 12sseqtrrd 3942 . . . . . . 7 (𝜑𝑇𝑋)
1413sselda 3901 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑋)
15 metdscn.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
16 metnrmlem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
17 metnrmlem.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑇) = ∅)
1815, 3, 2, 16, 7, 17metnrmlem1a 23755 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (0 < (𝐹𝑡) ∧ if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) ∈ ℝ+))
1918simprd 499 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) ∈ ℝ+)
2019rphalfcld 12640 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2) ∈ ℝ+)
2120rpxrd 12629 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2) ∈ ℝ*)
223blopn 23398 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑡𝑋 ∧ (if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2) ∈ ℝ*) → (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
236, 14, 21, 22syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
2423ralrimiva 3105 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
25 iunopn 21795 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽) → 𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
265, 24, 25syl2anc 587 . . 3 (𝜑 𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
271, 26eqeltrid 2842 . 2 (𝜑𝑈𝐽)
28 blcntr 23311 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑡𝑋 ∧ (if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2) ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)))
296, 14, 20, 28syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)))
3029snssd 4722 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)))
3130ralrimiva 3105 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)))
32 ss2iun 4922 . . . 4 (∀𝑡𝑇 {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)) → 𝑡𝑇 {𝑡} ⊆ 𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)))
3331, 32syl 17 . . 3 (𝜑 𝑡𝑇 {𝑡} ⊆ 𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)))
34 iunid 4969 . . . 4 𝑡𝑇 {𝑡} = 𝑇
3534eqcomi 2746 . . 3 𝑇 = 𝑡𝑇 {𝑡}
3633, 35, 13sstr4g 3946 . 2 (𝜑𝑇𝑈)
3727, 36jca 515 1 (𝜑 → (𝑈𝐽𝑇𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  cin 3865  wss 3866  c0 4237  ifcif 4439  {csn 4541   cuni 4819   ciun 4904   class class class wbr 5053  cmpt 5135  ran crn 5552  cfv 6380  (class class class)co 7213  infcinf 9057  0cc0 10729  1c1 10730  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868   / cdiv 11489  2c2 11885  +crp 12586  ∞Metcxmet 20348  ballcbl 20350  MetOpencmopn 20353  Topctop 21790  Clsdccld 21913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-icc 12942  df-topgen 16948  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-top 21791  df-topon 21808  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918
This theorem is referenced by:  metnrmlem3  23758
  Copyright terms: Public domain W3C validator