MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metnrmlem2 24239
Description: Lemma for metnrm 24241. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
metnrmlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
metnrmlem.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ…)
metnrmlem.u π‘ˆ = βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))
Assertion
Ref Expression
metnrmlem2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑑,𝐷   𝑑,𝐽,𝑦   πœ‘,𝑑   𝑑,𝑇,π‘₯,𝑦   𝑑,𝑆,π‘₯,𝑦   𝑑,𝑋,π‘₯,𝑦   𝑑,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑑)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem metnrmlem2
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.u . . 3 π‘ˆ = βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))
2 metnrmlem.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 metdscn.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
43mopntop 23809 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
52, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
62adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
7 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
8 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
98cldss 22396 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
113mopnuni 23810 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
122, 11syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1310, 12sseqtrrd 3990 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑋)
1413sselda 3949 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑋)
15 metdscn.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
16 metnrmlem.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
17 metnrmlem.4 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ…)
1815, 3, 2, 16, 7, 17metnrmlem1a 24237 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (0 < (πΉβ€˜π‘‘) ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ+))
1918simprd 497 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ+)
2019rphalfcld 12976 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2) ∈ ℝ+)
2120rpxrd 12965 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2) ∈ ℝ*)
223blopn 23872 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝑋 ∧ (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2) ∈ ℝ*) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) ∈ 𝐽)
236, 14, 21, 22syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) ∈ 𝐽)
2423ralrimiva 3144 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) ∈ 𝐽)
25 iunopn 22263 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) ∈ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) ∈ 𝐽)
265, 24, 25syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) ∈ 𝐽)
271, 26eqeltrid 2842 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
28 blcntr 23782 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝑋 ∧ (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2) ∈ ℝ+) β†’ 𝑑 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
296, 14, 20, 28syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
3029snssd 4774 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ {𝑑} βŠ† (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
3130ralrimiva 3144 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 {𝑑} βŠ† (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
32 ss2iun 4977 . . . 4 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 {𝑑} βŠ† (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 {𝑑} βŠ† βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
3331, 32syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 {𝑑} βŠ† βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
34 iunid 5025 . . . 4 βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 {𝑑} = 𝑇
3534eqcomi 2746 . . 3 𝑇 = βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 {𝑑}
3633, 35, 13sstr4g 3994 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
3727, 36jca 513 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  ifcif 4491  {csn 4591  βˆͺ cuni 4870  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ran crn 5639  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  infcinf 9384  0cc0 11058  1c1 11059  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  2c2 12215  β„+crp 12922  βˆžMetcxmet 20797  ballcbl 20799  MetOpencmopn 20802  Topctop 22258  Clsdccld 22383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-icc 13278  df-topgen 17332  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388
This theorem is referenced by:  metnrmlem3  24240
  Copyright terms: Public domain W3C validator