Theorem metnrmlem2 24794

Description: Lemma for metnrm 24796. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metnrmlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metnrmlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.4	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
metnrmlem.u	⊢ 𝑈 = ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2))

Assertion

Ref	Expression
metnrmlem2	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑡,𝐷   𝑡,𝐽,𝑦   𝜑,𝑡   𝑡,𝑇,𝑥,𝑦   𝑡,𝑆,𝑥,𝑦   𝑡,𝑋,𝑥,𝑦   𝑡,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑡)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metnrmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metnrmlem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2))
2		metnrmlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		metdscn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	mopntop 24364	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6	2	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		metnrmlem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
8		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
9	8	cldss 22951	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
11	3	mopnuni 24365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
13	10, 12	sseqtrrd 4014	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
14	13	sselda 3972	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑋)
15		metdscn.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
16		metnrmlem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
17		metnrmlem.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
18	15, 3, 2, 16, 7, 17	metnrmlem1a 24792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 < (𝐹‘𝑡) ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ+))
19	18	simprd 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ+)
20	19	rphalfcld 13060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2) ∈ ℝ+)
21	20	rpxrd 13049	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2) ∈ ℝ*)
22	3	blopn 24427	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝑋 ∧ (if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2) ∈ ℝ*) → (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
23	6, 14, 21, 22	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
24	23	ralrimiva 3136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
25		iunopn 22818	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽) → ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
26	5, 24, 25	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
27	1, 26	eqeltrid 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
28		blcntr 24337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝑋 ∧ (if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2) ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
29	6, 14, 20, 28	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
30	29	snssd 4808	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
31	30	ralrimiva 3136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
32		ss2iun 5009	. . . 4 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) → ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} ⊆ ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} ⊆ ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
34		iunid 5058	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} = 𝑇
35	34	eqcomi 2734	. . 3 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡}
36	33, 35, 1	3sstr4g 4018	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑈)
37	27, 36	jca 510	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939  ∅c0 4318  ifcif 4524  {csn 4624  ∪ cuni 4903  ∪ ciun 4991   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  ran crn 5673  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  infcinf 9464  0cc0 11138  1c1 11139  ℝ^*cxr 11277   < clt 11278   ≤ cle 11279   / cdiv 11901  2c2 12297  ℝ⁺crp 13006  ∞Metcxmet 21268  ballcbl 21270  MetOpencmopn 21273  Topctop 22813  Clsdccld 22938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-icc 13363  df-topgen 17424  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943

This theorem is referenced by:  metnrmlem3  24795