Theorem metnrmlem2 23757

Description: Lemma for metnrm 23759. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metnrmlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metnrmlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.4	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
metnrmlem.u	⊢ 𝑈 = ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2))

Assertion

Ref	Expression
metnrmlem2	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑡,𝐷   𝑡,𝐽,𝑦   𝜑,𝑡   𝑡,𝑇,𝑥,𝑦   𝑡,𝑆,𝑥,𝑦   𝑡,𝑋,𝑥,𝑦   𝑡,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑡)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metnrmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metnrmlem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2))
2		metnrmlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		metdscn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	mopntop 23338	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6	2	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		metnrmlem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
8		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
9	8	cldss 21926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
11	3	mopnuni 23339	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
13	10, 12	sseqtrrd 3942	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
14	13	sselda 3901	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑋)
15		metdscn.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
16		metnrmlem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
17		metnrmlem.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
18	15, 3, 2, 16, 7, 17	metnrmlem1a 23755	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 < (𝐹‘𝑡) ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ+))
19	18	simprd 499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ+)
20	19	rphalfcld 12640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2) ∈ ℝ+)
21	20	rpxrd 12629	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2) ∈ ℝ*)
22	3	blopn 23398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝑋 ∧ (if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2) ∈ ℝ*) → (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
23	6, 14, 21, 22	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
24	23	ralrimiva 3105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
25		iunopn 21795	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽) → ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
26	5, 24, 25	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
27	1, 26	eqeltrid 2842	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
28		blcntr 23311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝑋 ∧ (if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2) ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
29	6, 14, 20, 28	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
30	29	snssd 4722	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
31	30	ralrimiva 3105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
32		ss2iun 4922	. . . 4 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) → ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} ⊆ ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} ⊆ ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
34		iunid 4969	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} = 𝑇
35	34	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡}
36	33, 35, 1	3sstr4g 3946	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑈)
37	27, 36	jca 515	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061   ∩ cin 3865   ⊆ wss 3866  ∅c0 4237  ifcif 4439  {csn 4541  ∪ cuni 4819  ∪ ciun 4904   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135  ran crn 5552  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  infcinf 9057  0cc0 10729  1c1 10730  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867   ≤ cle 10868   / cdiv 11489  2c2 11885  ℝ⁺crp 12586  ∞Metcxmet 20348  ballcbl 20350  MetOpencmopn 20353  Topctop 21790  Clsdccld 21913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-icc 12942  df-topgen 16948  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-top 21791  df-topon 21808  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918

This theorem is referenced by:  metnrmlem3  23758