Theorem metnrmlem2 24817

Description: Lemma for metnrm 24819. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metnrmlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metnrmlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.4	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
metnrmlem.u	⊢ 𝑈 = ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2))

Assertion

Ref	Expression
metnrmlem2	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑡,𝐷   𝑡,𝐽,𝑦   𝜑,𝑡   𝑡,𝑇,𝑥,𝑦   𝑡,𝑆,𝑥,𝑦   𝑡,𝑋,𝑥,𝑦   𝑡,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑡)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metnrmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metnrmlem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2))
2		metnrmlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		metdscn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	mopntop 24396	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		metnrmlem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
8		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
9	8	cldss 22985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
11	3	mopnuni 24397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
13	10, 12	sseqtrrd 3973	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
14	13	sselda 3935	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑋)
15		metdscn.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
16		metnrmlem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
17		metnrmlem.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
18	15, 3, 2, 16, 7, 17	metnrmlem1a 24815	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 < (𝐹‘𝑡) ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ+))
19	18	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ+)
20	19	rphalfcld 12973	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2) ∈ ℝ+)
21	20	rpxrd 12962	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2) ∈ ℝ*)
22	3	blopn 24456	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝑋 ∧ (if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2) ∈ ℝ*) → (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
23	6, 14, 21, 22	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
24	23	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
25		iunopn 22854	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽) → ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
26	5, 24, 25	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
27	1, 26	eqeltrid 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
28		blcntr 24369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝑋 ∧ (if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2) ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
29	6, 14, 20, 28	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
30	29	snssd 4767	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
31	30	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
32		ss2iun 4967	. . . 4 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) → ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} ⊆ ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} ⊆ ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
34		iunid 5018	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} = 𝑇
35	34	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡}
36	33, 35, 1	3sstr4g 3989	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑈)
37	27, 36	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ifcif 4481  {csn 4582  ∪ cuni 4865  ∪ ciun 4948   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ran crn 5633  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  infcinf 9356  0cc0 11038  1c1 11039  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179   / cdiv 11806  2c2 12212  ℝ⁺crp 12917  ∞Metcxmet 21306  ballcbl 21308  MetOpencmopn 21311  Topctop 22849  Clsdccld 22972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-icc 13280  df-topgen 17375  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977

This theorem is referenced by:  metnrmlem3  24818