Theorem metnrmlem2 24023

Description: Lemma for metnrm 24025. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metnrmlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metnrmlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.4	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
metnrmlem.u	⊢ 𝑈 = ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2))

Assertion

Ref	Expression
metnrmlem2	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑡,𝐷   𝑡,𝐽,𝑦   𝜑,𝑡   𝑡,𝑇,𝑥,𝑦   𝑡,𝑆,𝑥,𝑦   𝑡,𝑋,𝑥,𝑦   𝑡,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑡)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metnrmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metnrmlem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2))
2		metnrmlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		metdscn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	mopntop 23593	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		metnrmlem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
8		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
9	8	cldss 22180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
11	3	mopnuni 23594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
13	10, 12	sseqtrrd 3962	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
14	13	sselda 3921	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑋)
15		metdscn.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
16		metnrmlem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
17		metnrmlem.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
18	15, 3, 2, 16, 7, 17	metnrmlem1a 24021	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 < (𝐹‘𝑡) ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ+))
19	18	simprd 496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ+)
20	19	rphalfcld 12784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2) ∈ ℝ+)
21	20	rpxrd 12773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2) ∈ ℝ*)
22	3	blopn 23656	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝑋 ∧ (if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2) ∈ ℝ*) → (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
23	6, 14, 21, 22	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
24	23	ralrimiva 3103	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
25		iunopn 22047	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽) → ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
26	5, 24, 25	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
27	1, 26	eqeltrid 2843	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
28		blcntr 23566	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝑋 ∧ (if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2) ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
29	6, 14, 20, 28	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
30	29	snssd 4742	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
31	30	ralrimiva 3103	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
32		ss2iun 4942	. . . 4 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) → ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} ⊆ ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} ⊆ ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
34		iunid 4990	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} = 𝑇
35	34	eqcomi 2747	. . 3 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡}
36	33, 35, 1	3sstr4g 3966	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑈)
37	27, 36	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ifcif 4459  {csn 4561  ∪ cuni 4839  ∪ ciun 4924   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  infcinf 9200  0cc0 10871  1c1 10872  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010   / cdiv 11632  2c2 12028  ℝ⁺crp 12730  ∞Metcxmet 20582  ballcbl 20584  MetOpencmopn 20587  Topctop 22042  Clsdccld 22167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-icc 13086  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172

This theorem is referenced by:  metnrmlem3  24024