Theorem metnrmlem2 23470

Description: Lemma for metnrm 23472. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metnrmlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metnrmlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.4	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
metnrmlem.u	⊢ 𝑈 = ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2))

Assertion

Ref	Expression
metnrmlem2	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑡,𝐷   𝑡,𝐽,𝑦   𝜑,𝑡   𝑡,𝑇,𝑥,𝑦   𝑡,𝑆,𝑥,𝑦   𝑡,𝑋,𝑥,𝑦   𝑡,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑡)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metnrmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metnrmlem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2))
2		metnrmlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		metdscn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	mopntop 23052	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6	2	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		metnrmlem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
8		eqid 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
9	8	cldss 21639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
11	3	mopnuni 23053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
13	10, 12	sseqtrrd 4010	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
14	13	sselda 3969	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑋)
15		metdscn.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
16		metnrmlem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
17		metnrmlem.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
18	15, 3, 2, 16, 7, 17	metnrmlem1a 23468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 < (𝐹‘𝑡) ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ+))
19	18	simprd 498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ+)
20	19	rphalfcld 12446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2) ∈ ℝ+)
21	20	rpxrd 12435	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2) ∈ ℝ*)
22	3	blopn 23112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝑋 ∧ (if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2) ∈ ℝ*) → (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
23	6, 14, 21, 22	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
24	23	ralrimiva 3184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
25		iunopn 21508	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽) → ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
26	5, 24, 25	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
27	1, 26	eqeltrid 2919	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
28		blcntr 23025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝑋 ∧ (if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2) ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
29	6, 14, 20, 28	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
30	29	snssd 4744	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
31	30	ralrimiva 3184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
32		ss2iun 4939	. . . 4 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)) → ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} ⊆ ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} ⊆ ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹‘𝑡), 1, (𝐹‘𝑡)) / 2)))
34		iunid 4986	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡} = 𝑇
35	34	eqcomi 2832	. . 3 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝑡 ∈ 𝑇 {𝑡}
36	33, 35, 1	3sstr4g 4014	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑈)
37	27, 36	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  ifcif 4469  {csn 4569  ∪ cuni 4840  ∪ ciun 4921   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ran crn 5558  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  infcinf 8907  0cc0 10539  1c1 10540  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677   ≤ cle 10678   / cdiv 11299  2c2 11695  ℝ⁺crp 12392  ∞Metcxmet 20532  ballcbl 20534  MetOpencmopn 20537  Topctop 21503  Clsdccld 21626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-icc 12748  df-topgen 16719  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-top 21504  df-topon 21521  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631

This theorem is referenced by:  metnrmlem3  23471