MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metnrmlem2 24731
Description: Lemma for metnrm 24733. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
metnrmlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
metnrmlem.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ…)
metnrmlem.u π‘ˆ = βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))
Assertion
Ref Expression
metnrmlem2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑑,𝐷   𝑑,𝐽,𝑦   πœ‘,𝑑   𝑑,𝑇,π‘₯,𝑦   𝑑,𝑆,π‘₯,𝑦   𝑑,𝑋,π‘₯,𝑦   𝑑,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑑)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem metnrmlem2
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.u . . 3 π‘ˆ = βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))
2 metnrmlem.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 metdscn.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
43mopntop 24301 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
52, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
62adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
7 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
8 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
98cldss 22888 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
113mopnuni 24302 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
122, 11syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1310, 12sseqtrrd 4018 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑋)
1413sselda 3977 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑋)
15 metdscn.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
16 metnrmlem.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
17 metnrmlem.4 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ…)
1815, 3, 2, 16, 7, 17metnrmlem1a 24729 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (0 < (πΉβ€˜π‘‘) ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ+))
1918simprd 495 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ+)
2019rphalfcld 13034 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2) ∈ ℝ+)
2120rpxrd 13023 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2) ∈ ℝ*)
223blopn 24364 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝑋 ∧ (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2) ∈ ℝ*) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) ∈ 𝐽)
236, 14, 21, 22syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) ∈ 𝐽)
2423ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) ∈ 𝐽)
25 iunopn 22755 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) ∈ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) ∈ 𝐽)
265, 24, 25syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) ∈ 𝐽)
271, 26eqeltrid 2831 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
28 blcntr 24274 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝑋 ∧ (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2) ∈ ℝ+) β†’ 𝑑 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
296, 14, 20, 28syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
3029snssd 4807 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ {𝑑} βŠ† (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
3130ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 {𝑑} βŠ† (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
32 ss2iun 5008 . . . 4 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 {𝑑} βŠ† (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 {𝑑} βŠ† βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
3331, 32syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 {𝑑} βŠ† βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
34 iunid 5056 . . . 4 βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 {𝑑} = 𝑇
3534eqcomi 2735 . . 3 𝑇 = βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 {𝑑}
3633, 35, 13sstr4g 4022 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
3727, 36jca 511 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  ifcif 4523  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902  βˆͺ ciun 4990   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  infcinf 9438  0cc0 11112  1c1 11113  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  2c2 12271  β„+crp 12980  βˆžMetcxmet 21225  ballcbl 21227  MetOpencmopn 21230  Topctop 22750  Clsdccld 22875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880
This theorem is referenced by:  metnrmlem3  24732
  Copyright terms: Public domain W3C validator