Theorem bra0 31875

Description: The Dirac bra of the zero vector. (Contributed by NM, 25-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bra0	⊢ (bra‘0ℎ) = ( ℋ × {0})

Proof of Theorem bra0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 30928	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		brafval 31868	. . . 4 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (bra‘0ℎ) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 0ℎ)))
3		hi02 31022	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih 0ℎ) = 0)
4	3	mpteq2ia 5255	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 0ℎ)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ 0)
5	2, 4	eqtrdi 2781	. . 3 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (bra‘0ℎ) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ 0))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (bra‘0ℎ) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ 0)
7		fconstmpt 5743	. 2 ⊢ ( ℋ × {0}) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ 0)
8	6, 7	eqtr4i 2756	1 ⊢ (bra‘0ℎ) = ( ℋ × {0})

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4632   ↦ cmpt 5235   × cxp 5679  ‘cfv 6553  (class class class)co 7423  0cc0 11154   ℋchba 30844   ·_ih csp 30847  0_ℎc0v 30849  bracbr 30881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-hilex 30924  ax-hv0cl 30928  ax-hvmul0 30935  ax-hfi 31004  ax-his1 31007  ax-his3 31009

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5579  df-po 5593  df-so 5594  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-2 12322  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-bra 31775

This theorem is referenced by:  branmfn  32030