Theorem bra0 31979

Description: The Dirac bra of the zero vector. (Contributed by NM, 25-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bra0	⊢ (bra‘0ℎ) = ( ℋ × {0})

Proof of Theorem bra0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 31032	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		brafval 31972	. . . 4 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (bra‘0ℎ) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 0ℎ)))
3		hi02 31126	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih 0ℎ) = 0)
4	3	mpteq2ia 5251	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑥 ·ih 0ℎ)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ 0)
5	2, 4	eqtrdi 2791	. . 3 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (bra‘0ℎ) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ 0))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (bra‘0ℎ) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ 0)
7		fconstmpt 5751	. 2 ⊢ ( ℋ × {0}) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ 0)
8	6, 7	eqtr4i 2766	1 ⊢ (bra‘0ℎ) = ( ℋ × {0})

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {csn 4631   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153   ℋchba 30948   ·_ih csp 30951  0_ℎc0v 30953  bracbr 30985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-hilex 31028  ax-hv0cl 31032  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his3 31113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-bra 31879

This theorem is referenced by:  branmfn  32134