Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp221 1315 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β (π
βπΉ) = (π
βπ)) |
3 | | simp13l 1289 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β πΊ β π) |
4 | | simp12 1205 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π)) |
5 | | simp3l3 1281 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β (π
βπ·) β (π
βπΉ)) |
6 | | simp3r 1203 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β (π
βπΊ) β (π
βπ·)) |
7 | 6 | necomd 2996 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β (π
βπ·) β (π
βπΊ)) |
8 | 5, 7 | jca 513 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΊ))) |
9 | | simp222 1316 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
10 | | simp23l 1295 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β πΊ β ( I βΎ π΅)) |
11 | | simp223 1317 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β π· β ( I βΎ π΅)) |
12 | 9, 10, 11 | 3jca 1129 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅))) |
13 | | simp21 1207 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
14 | | cdlemk3.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
15 | | cdlemk3.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
16 | | cdlemk3.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
17 | | cdlemk3.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
18 | | cdlemk3.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
19 | | cdlemk3.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
20 | | cdlemk3.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
21 | | cdlemk3.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
22 | | cdlemk3.s |
. . . 4
β’ π = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))))) |
23 | | cdlemk3.u1 |
. . . 4
β’ π = (π β π, π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (((πβπ)βπ) β¨ (π
β(π β β‘π)))))) |
24 | 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 | cdlemkuel-3 39407 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π·ππΊ) β π) |
25 | 1, 2, 3, 4, 8, 12,
13, 24 | syl313anc 1395 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β (π·ππΊ) β π) |
26 | | simp121 1306 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β πΉ β π) |
27 | | simp13r 1290 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β πΆ β π) |
28 | | simp123 1308 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β π β π) |
29 | | simp3l2 1280 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) |
30 | | simp3l1 1279 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β (π
βπΊ) β (π
βπΆ)) |
31 | 30 | necomd 2996 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β (π
βπΆ) β (π
βπΊ)) |
32 | 29, 31 | jca 513 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β ((π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΊ))) |
33 | | simp23r 1296 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β πΆ β ( I βΎ π΅)) |
34 | 9, 10, 33 | 3jca 1129 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) |
35 | 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 | cdlemkuel-3 39407 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (πΉ β π β§ πΆ β π β§ π β π) β§ (((π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΆππΊ) β π) |
36 | 1, 2, 3, 26, 27, 28, 32, 34, 13, 35 | syl333anc 1403 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β (πΆππΊ) β π) |
37 | 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 | cdlemk26-3 39415 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β ((π·ππΊ)βπ) = ((πΆππΊ)βπ)) |
38 | 15, 18, 19, 20 | cdlemd 38716 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π·ππΊ) β π β§ (πΆππΊ) β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π·ππΊ)βπ) = ((πΆππΊ)βπ)) β (π·ππΊ) = (πΆππΊ)) |
39 | 1, 25, 36, 13, 37, 38 | syl311anc 1385 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·))) β (π·ππΊ) = (πΆππΊ)) |