Theorem cdlemg38 39455

Description: Use cdlemg37 39429 to eliminate ∃𝑟 ∈ 𝐴 from cdlemg36 39454. TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 31-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg35.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg35.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemg35.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemg35.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg35.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg35.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg35.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg38	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) = ((𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ∧ 𝑊))

Proof of Theorem cdlemg38

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)))
2		simpl2 1192	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))) → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄))
3		simpl3l 1228	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))) → ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃))
4		simpl3r 1229	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))) → (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))
5		simpr 485	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))
6		cdlemg35.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		cdlemg35.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		cdlemg35.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9		cdlemg35.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10		cdlemg35.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		cdlemg35.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12		cdlemg35.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
13	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cdlemg36 39454	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) = ((𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ∧ 𝑊))
14	1, 2, 3, 4, 5, 13	syl113anc 1382	. 2 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) = ((𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ∧ 𝑊))
15		simpl11 1248	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		simpl12 1249	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
17		simpl13 1250	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊))
18		simpl21 1251	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
19		simpl22 1252	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
20		simpl23 1253	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))) → 𝑃 ≠ 𝑄)
21		simpr 485	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))) → ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))
22	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cdlemg37 39429	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) = ((𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ∧ 𝑊))
23	15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22	syl133anc 1393	. 2 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) = ((𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ∧ 𝑊))
24	14, 23	pm2.61dan 811	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) = ((𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ∧ 𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   class class class wbr 5142  ‘cfv 6533  (class class class)co 7394  lecple 17188  joincjn 18248  meetcmee 18249  Atomscatm 38002  HLchlt 38089  LHypclh 38724  LTrncltrn 38841  trLctrl 38898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-riotaBAD 37692

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5568  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-undef 8242  df-map 8807  df-proset 18232  df-poset 18250  df-plt 18267  df-lub 18283  df-glb 18284  df-join 18285  df-meet 18286  df-p0 18362  df-p1 18363  df-lat 18369  df-clat 18436  df-oposet 37915  df-ol 37917  df-oml 37918  df-covers 38005  df-ats 38006  df-atl 38037  df-cvlat 38061  df-hlat 38090  df-llines 38238  df-lplanes 38239  df-lvols 38240  df-lines 38241  df-psubsp 38243  df-pmap 38244  df-padd 38536  df-lhyp 38728  df-laut 38729  df-ldil 38844  df-ltrn 38845  df-trl 38899

This theorem is referenced by:  cdlemg39  39456