Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
2 | | simpl2 1193 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π)) |
3 | | simpl3l 1229 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π)) |
4 | | simpl3r 1230 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) |
5 | | simpr 486 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) |
6 | | cdlemg35.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
7 | | cdlemg35.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | | cdlemg35.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
9 | | cdlemg35.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
10 | | cdlemg35.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
11 | | cdlemg35.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
12 | | cdlemg35.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
13 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 | cdlemg36 39206 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
14 | 1, 2, 3, 4, 5, 13 | syl113anc 1383 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
15 | | simpl11 1249 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
16 | | simpl12 1250 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
17 | | simpl13 1251 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
18 | | simpl21 1252 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β πΉ β π) |
19 | | simpl22 1253 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β πΊ β π) |
20 | | simpl23 1254 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β π β π) |
21 | | simpr 486 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) |
22 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 | cdlemg37 39181 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
23 | 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 | syl133anc 1394 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
24 | 14, 23 | pm2.61dan 812 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |