Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp123 1308 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πβπΉ) = (πβπΉ)) |
2 | 1 | fveq1d 6845 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πβπΉ)βπ) = ((πβπΉ)βπ)) |
3 | 2 | oveq1d 7373 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (((πβπΉ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(π β β‘πΉ))) = (((πβπΉ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(π β β‘πΉ)))) |
4 | 3 | oveq2d 7374 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((π(joinβπΎ)(π
βπ))(meetβπΎ)(((πβπΉ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(π β β‘πΉ)))) = ((π(joinβπΎ)(π
βπ))(meetβπΎ)(((πβπΉ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(π β β‘πΉ))))) |
5 | | simp11 1204 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
6 | | simp131 1309 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΉ β π) |
7 | | simp22 1208 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π) |
8 | | simp121 1306 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β πΈ) |
9 | | simp33 1212 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
10 | | simp132 1310 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
11 | | simp23 1209 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β ( I βΎ π΅)) |
12 | | simp31 1210 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
βπΉ) β (π
βπ)) |
13 | | cdlemj.b |
. . . . . . 7
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
14 | | cdlemj.l |
. . . . . . 7
β’ β€ =
(leβπΎ) |
15 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(joinβπΎ) =
(joinβπΎ) |
16 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(meetβπΎ) =
(meetβπΎ) |
17 | | cdlemj.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
18 | | cdlemj.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
19 | | cdlemj.t |
. . . . . . 7
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
20 | | cdlemj.r |
. . . . . . 7
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
21 | | cdlemj.e |
. . . . . . 7
β’ πΈ = ((TEndoβπΎ)βπ) |
22 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’ ((π(joinβπΎ)(π
βπ))(meetβπΎ)(((πβπΉ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(π β β‘πΉ)))) = ((π(joinβπΎ)(π
βπ))(meetβπΎ)(((πβπΉ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(π β β‘πΉ)))) |
23 | 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 | cdlemi 39286 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ (π β πΈ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπ))) β ((πβπ)βπ) = ((π(joinβπΎ)(π
βπ))(meetβπΎ)(((πβπΉ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(π β β‘πΉ))))) |
24 | 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 23 | syl323anc 1401 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πβπ)βπ) = ((π(joinβπΎ)(π
βπ))(meetβπΎ)(((πβπΉ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(π β β‘πΉ))))) |
25 | | simp122 1307 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β πΈ) |
26 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’ ((π(joinβπΎ)(π
βπ))(meetβπΎ)(((πβπΉ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(π β β‘πΉ)))) = ((π(joinβπΎ)(π
βπ))(meetβπΎ)(((πβπΉ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(π β β‘πΉ)))) |
27 | 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 26 | cdlemi 39286 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ (π β πΈ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπ))) β ((πβπ)βπ) = ((π(joinβπΎ)(π
βπ))(meetβπΎ)(((πβπΉ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(π β β‘πΉ))))) |
28 | 5, 6, 7, 25, 9, 10, 11, 12, 27 | syl323anc 1401 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πβπ)βπ) = ((π(joinβπΎ)(π
βπ))(meetβπΎ)(((πβπΉ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(π β β‘πΉ))))) |
29 | 4, 24, 28 | 3eqtr4d 2787 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πβπ)βπ) = ((πβπ)βπ)) |
30 | 29 | oveq1d 7373 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (((πβπ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(β β β‘π))) = (((πβπ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(β β β‘π)))) |
31 | 30 | oveq2d 7374 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((π(joinβπΎ)(π
ββ))(meetβπΎ)(((πβπ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(β β β‘π)))) = ((π(joinβπΎ)(π
ββ))(meetβπΎ)(((πβπ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(β β β‘π))))) |
32 | | simp133 1311 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β β β π) |
33 | | simp21 1207 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β β β ( I βΎ π΅)) |
34 | | simp32 1211 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
βπ) β (π
ββ)) |
35 | | eqid 2737 |
. . . 4
β’ ((π(joinβπΎ)(π
ββ))(meetβπΎ)(((πβπ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(β β β‘π)))) = ((π(joinβπΎ)(π
ββ))(meetβπΎ)(((πβπ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(β β β‘π)))) |
36 | 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 35 | cdlemi 39286 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π β§ β β π) β§ (π β πΈ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ β β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
ββ))) β ((πββ)βπ) = ((π(joinβπΎ)(π
ββ))(meetβπΎ)(((πβπ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(β β β‘π))))) |
37 | 5, 7, 32, 8, 9, 11, 33, 34, 36 | syl323anc 1401 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πββ)βπ) = ((π(joinβπΎ)(π
ββ))(meetβπΎ)(((πβπ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(β β β‘π))))) |
38 | | eqid 2737 |
. . . 4
β’ ((π(joinβπΎ)(π
ββ))(meetβπΎ)(((πβπ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(β β β‘π)))) = ((π(joinβπΎ)(π
ββ))(meetβπΎ)(((πβπ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(β β β‘π)))) |
39 | 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 38 | cdlemi 39286 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π β§ β β π) β§ (π β πΈ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ β β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
ββ))) β ((πββ)βπ) = ((π(joinβπΎ)(π
ββ))(meetβπΎ)(((πβπ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(β β β‘π))))) |
40 | 5, 7, 32, 25, 9, 11, 33, 34, 39 | syl323anc 1401 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πββ)βπ) = ((π(joinβπΎ)(π
ββ))(meetβπΎ)(((πβπ)βπ)(joinβπΎ)(π
β(β β β‘π))))) |
41 | 31, 37, 40 | 3eqtr4d 2787 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πββ)βπ) = ((πββ)βπ)) |