Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemj1 36889
 Description: Part of proof of Lemma J of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 19-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemj.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemj.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemj.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.l = (le‘𝐾)
cdlemj.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemj1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑈)‘𝑝) = ((𝑉)‘𝑝))

Proof of Theorem cdlemj1
StepHypRef Expression
1 simp123 1410 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹))
21fveq1d 6435 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑈𝐹)‘𝑝) = ((𝑉𝐹)‘𝑝))
32oveq1d 6920 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → (((𝑈𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹))) = (((𝑉𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹))))
43oveq2d 6921 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑈𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑉𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))))
5 simp11 1264 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 simp131 1411 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → 𝐹𝑇)
7 simp22 1268 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → 𝑔𝑇)
8 simp121 1408 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → 𝑈𝐸)
9 simp33 1272 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))
10 simp132 1412 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
11 simp23 1269 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
12 simp31 1270 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔))
13 cdlemj.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
14 cdlemj.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
15 eqid 2825 . . . . . . 7 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
16 eqid 2825 . . . . . . 7 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
17 cdlemj.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
18 cdlemj.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
19 cdlemj.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
20 cdlemj.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
21 cdlemj.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
22 eqid 2825 . . . . . . 7 ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑈𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑈𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹))))
2313, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22cdlemi 36888 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑔𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔))) → ((𝑈𝑔)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑈𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))))
245, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 23syl323anc 1523 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑈𝑔)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑈𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))))
25 simp122 1409 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → 𝑉𝐸)
26 eqid 2825 . . . . . . 7 ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑉𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑉𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹))))
2713, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 26cdlemi 36888 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑔𝑇) ∧ (𝑉𝐸 ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔))) → ((𝑉𝑔)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑉𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))))
285, 6, 7, 25, 9, 10, 11, 12, 27syl323anc 1523 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑉𝑔)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑉𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))))
294, 24, 283eqtr4d 2871 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑈𝑔)‘𝑝) = ((𝑉𝑔)‘𝑝))
3029oveq1d 6920 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → (((𝑈𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔))) = (((𝑉𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔))))
3130oveq2d 6921 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑈𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑉𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))))
32 simp133 1413 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → 𝑇)
33 simp21 1267 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ≠ ( I ↾ 𝐵))
34 simp32 1271 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → (𝑅𝑔) ≠ (𝑅))
35 eqid 2825 . . . 4 ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑈𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑈𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔))))
3613, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 35cdlemi 36888 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅))) → ((𝑈)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑈𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))))
375, 7, 32, 8, 9, 11, 33, 34, 36syl323anc 1523 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑈)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑈𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))))
38 eqid 2825 . . . 4 ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑉𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑉𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔))))
3913, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 38cdlemi 36888 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑇) ∧ (𝑉𝐸 ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅))) → ((𝑉)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑉𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))))
405, 7, 32, 25, 9, 11, 33, 34, 39syl323anc 1523 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑉)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑉𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))))
4131, 37, 403eqtr4d 2871 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑈)‘𝑝) = ((𝑉)‘𝑝))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999   class class class wbr 4873   I cid 5249  ◡ccnv 5341   ↾ cres 5344   ∘ ccom 5346  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  lecple 16312  joincjn 17297  meetcmee 17298  Atomscatm 35331  HLchlt 35418  LHypclh 36052  LTrncltrn 36169  trLctrl 36226  TEndoctendo 36820 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-riotaBAD 35021 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-undef 7664  df-map 8124  df-proset 17281  df-poset 17299  df-plt 17311  df-lub 17327  df-glb 17328  df-join 17329  df-meet 17330  df-p0 17392  df-p1 17393  df-lat 17399  df-clat 17461  df-oposet 35244  df-ol 35246  df-oml 35247  df-covers 35334  df-ats 35335  df-atl 35366  df-cvlat 35390  df-hlat 35419  df-llines 35566  df-lplanes 35567  df-lvols 35568  df-lines 35569  df-psubsp 35571  df-pmap 35572  df-padd 35864  df-lhyp 36056  df-laut 36057  df-ldil 36172  df-ltrn 36173  df-trl 36227  df-tendo 36823 This theorem is referenced by:  cdlemj2  36890
 Copyright terms: Public domain W3C validator