Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemj1 37949
Description: Part of proof of Lemma J of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 19-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemj.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemj.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemj.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.l = (le‘𝐾)
cdlemj.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemj1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑈)‘𝑝) = ((𝑉)‘𝑝))

Proof of Theorem cdlemj1
StepHypRef Expression
1 simp123 1301 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹))
21fveq1d 6665 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑈𝐹)‘𝑝) = ((𝑉𝐹)‘𝑝))
32oveq1d 7163 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → (((𝑈𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹))) = (((𝑉𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹))))
43oveq2d 7164 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑈𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑉𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))))
5 simp11 1197 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 simp131 1302 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → 𝐹𝑇)
7 simp22 1201 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → 𝑔𝑇)
8 simp121 1299 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → 𝑈𝐸)
9 simp33 1205 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))
10 simp132 1303 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
11 simp23 1202 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
12 simp31 1203 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔))
13 cdlemj.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
14 cdlemj.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
15 eqid 2819 . . . . . . 7 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
16 eqid 2819 . . . . . . 7 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
17 cdlemj.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
18 cdlemj.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
19 cdlemj.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
20 cdlemj.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
21 cdlemj.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
22 eqid 2819 . . . . . . 7 ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑈𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑈𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹))))
2313, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22cdlemi 37948 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑔𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔))) → ((𝑈𝑔)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑈𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))))
245, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 23syl323anc 1394 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑈𝑔)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑈𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))))
25 simp122 1300 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → 𝑉𝐸)
26 eqid 2819 . . . . . . 7 ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑉𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑉𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹))))
2713, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 26cdlemi 37948 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑔𝑇) ∧ (𝑉𝐸 ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔))) → ((𝑉𝑔)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑉𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))))
285, 6, 7, 25, 9, 10, 11, 12, 27syl323anc 1394 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑉𝑔)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑉𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))))
294, 24, 283eqtr4d 2864 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑈𝑔)‘𝑝) = ((𝑉𝑔)‘𝑝))
3029oveq1d 7163 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → (((𝑈𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔))) = (((𝑉𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔))))
3130oveq2d 7164 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑈𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑉𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))))
32 simp133 1304 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → 𝑇)
33 simp21 1200 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ≠ ( I ↾ 𝐵))
34 simp32 1204 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → (𝑅𝑔) ≠ (𝑅))
35 eqid 2819 . . . 4 ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑈𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑈𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔))))
3613, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 35cdlemi 37948 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅))) → ((𝑈)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑈𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))))
375, 7, 32, 8, 9, 11, 33, 34, 36syl323anc 1394 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑈)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑈𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))))
38 eqid 2819 . . . 4 ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑉𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑉𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔))))
3913, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 38cdlemi 37948 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑇) ∧ (𝑉𝐸 ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅))) → ((𝑉)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑉𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))))
405, 7, 32, 25, 9, 11, 33, 34, 39syl323anc 1394 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑉)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑉𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))))
4131, 37, 403eqtr4d 2864 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑈)‘𝑝) = ((𝑉)‘𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014   class class class wbr 5057   I cid 5452  ccnv 5547  cres 5550  ccom 5552  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  lecple 16564  joincjn 17546  meetcmee 17547  Atomscatm 36391  HLchlt 36478  LHypclh 37112  LTrncltrn 37229  trLctrl 37286  TEndoctendo 37880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-riotaBAD 36081
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-undef 7931  df-map 8400  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36304  df-ol 36306  df-oml 36307  df-covers 36394  df-ats 36395  df-atl 36426  df-cvlat 36450  df-hlat 36479  df-llines 36626  df-lplanes 36627  df-lvols 36628  df-lines 36629  df-psubsp 36631  df-pmap 36632  df-padd 36924  df-lhyp 37116  df-laut 37117  df-ldil 37232  df-ltrn 37233  df-trl 37287  df-tendo 37883
This theorem is referenced by:  cdlemj2  37950
  Copyright terms: Public domain W3C validator