Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemj1 38490
Description: Part of proof of Lemma J of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 19-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemj.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemj.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemj.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.l = (le‘𝐾)
cdlemj.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemj1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑈)‘𝑝) = ((𝑉)‘𝑝))

Proof of Theorem cdlemj1
StepHypRef Expression
1 simp123 1308 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹))
21fveq1d 6688 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑈𝐹)‘𝑝) = ((𝑉𝐹)‘𝑝))
32oveq1d 7197 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → (((𝑈𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹))) = (((𝑉𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹))))
43oveq2d 7198 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑈𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑉𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))))
5 simp11 1204 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 simp131 1309 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → 𝐹𝑇)
7 simp22 1208 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → 𝑔𝑇)
8 simp121 1306 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → 𝑈𝐸)
9 simp33 1212 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))
10 simp132 1310 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
11 simp23 1209 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
12 simp31 1210 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔))
13 cdlemj.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
14 cdlemj.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
15 eqid 2739 . . . . . . 7 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
16 eqid 2739 . . . . . . 7 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
17 cdlemj.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
18 cdlemj.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
19 cdlemj.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
20 cdlemj.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
21 cdlemj.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
22 eqid 2739 . . . . . . 7 ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑈𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑈𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹))))
2313, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22cdlemi 38489 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑔𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔))) → ((𝑈𝑔)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑈𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))))
245, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 23syl323anc 1401 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑈𝑔)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑈𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))))
25 simp122 1307 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → 𝑉𝐸)
26 eqid 2739 . . . . . . 7 ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑉𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑉𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹))))
2713, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 26cdlemi 38489 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑔𝑇) ∧ (𝑉𝐸 ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔))) → ((𝑉𝑔)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑉𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))))
285, 6, 7, 25, 9, 10, 11, 12, 27syl323anc 1401 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑉𝑔)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅𝑔))(meet‘𝐾)(((𝑉𝐹)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔𝐹)))))
294, 24, 283eqtr4d 2784 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑈𝑔)‘𝑝) = ((𝑉𝑔)‘𝑝))
3029oveq1d 7197 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → (((𝑈𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔))) = (((𝑉𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔))))
3130oveq2d 7198 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑈𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑉𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))))
32 simp133 1311 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → 𝑇)
33 simp21 1207 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ≠ ( I ↾ 𝐵))
34 simp32 1211 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → (𝑅𝑔) ≠ (𝑅))
35 eqid 2739 . . . 4 ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑈𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑈𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔))))
3613, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 35cdlemi 38489 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅))) → ((𝑈)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑈𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))))
375, 7, 32, 8, 9, 11, 33, 34, 36syl323anc 1401 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑈)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑈𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))))
38 eqid 2739 . . . 4 ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑉𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑉𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔))))
3913, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 38cdlemi 38489 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑇) ∧ (𝑉𝐸 ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅))) → ((𝑉)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑉𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))))
405, 7, 32, 25, 9, 11, 33, 34, 39syl323anc 1401 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑉)‘𝑝) = ((𝑝(join‘𝐾)(𝑅))(meet‘𝐾)(((𝑉𝑔)‘𝑝)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑔)))))
4131, 37, 403eqtr4d 2784 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))) → ((𝑈)‘𝑝) = ((𝑉)‘𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935   class class class wbr 5040   I cid 5438  ccnv 5534  cres 5537  ccom 5539  cfv 6349  (class class class)co 7182  Basecbs 16598  lecple 16687  joincjn 17682  meetcmee 17683  Atomscatm 36932  HLchlt 37019  LHypclh 37653  LTrncltrn 37770  trLctrl 37827  TEndoctendo 38421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-riotaBAD 36622
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-undef 7980  df-map 8451  df-proset 17666  df-poset 17684  df-plt 17696  df-lub 17712  df-glb 17713  df-join 17714  df-meet 17715  df-p0 17777  df-p1 17778  df-lat 17784  df-clat 17846  df-oposet 36845  df-ol 36847  df-oml 36848  df-covers 36935  df-ats 36936  df-atl 36967  df-cvlat 36991  df-hlat 37020  df-llines 37167  df-lplanes 37168  df-lvols 37169  df-lines 37170  df-psubsp 37172  df-pmap 37173  df-padd 37465  df-lhyp 37657  df-laut 37658  df-ldil 37773  df-ltrn 37774  df-trl 37828  df-tendo 38424
This theorem is referenced by:  cdlemj2  38491
  Copyright terms: Public domain W3C validator