Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemj1 39287
Description: Part of proof of Lemma J of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 19-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemj.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemj.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemj.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemj.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemj.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemj.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemj.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdlemj1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ ((π‘ˆβ€˜β„Ž)β€˜π‘) = ((π‘‰β€˜β„Ž)β€˜π‘))

Proof of Theorem cdlemj1
StepHypRef Expression
1 simp123 1308 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ))
21fveq1d 6845 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘) = ((π‘‰β€˜πΉ)β€˜π‘))
32oveq1d 7373 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ (((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝐹))) = (((π‘‰β€˜πΉ)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝐹))))
43oveq2d 7374 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝐹)))) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((π‘‰β€˜πΉ)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝐹)))))
5 simp11 1204 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 simp131 1309 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
7 simp22 1208 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
8 simp121 1306 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
9 simp33 1212 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))
10 simp132 1310 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
11 simp23 1209 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
12 simp31 1210 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”))
13 cdlemj.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
14 cdlemj.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
15 eqid 2737 . . . . . . 7 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
16 eqid 2737 . . . . . . 7 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
17 cdlemj.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
18 cdlemj.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
19 cdlemj.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
20 cdlemj.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
21 cdlemj.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
22 eqid 2737 . . . . . . 7 ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝐹)))) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝐹))))
2313, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22cdlemi 39286 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”))) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘”)β€˜π‘) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝐹)))))
245, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 23syl323anc 1401 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘”)β€˜π‘) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝐹)))))
25 simp122 1307 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
26 eqid 2737 . . . . . . 7 ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((π‘‰β€˜πΉ)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝐹)))) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((π‘‰β€˜πΉ)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝐹))))
2713, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 26cdlemi 39286 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”))) β†’ ((π‘‰β€˜π‘”)β€˜π‘) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((π‘‰β€˜πΉ)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝐹)))))
285, 6, 7, 25, 9, 10, 11, 12, 27syl323anc 1401 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ ((π‘‰β€˜π‘”)β€˜π‘) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((π‘‰β€˜πΉ)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝐹)))))
294, 24, 283eqtr4d 2787 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘”)β€˜π‘) = ((π‘‰β€˜π‘”)β€˜π‘))
3029oveq1d 7373 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘”)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(β„Ž ∘ ◑𝑔))) = (((π‘‰β€˜π‘”)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(β„Ž ∘ ◑𝑔))))
3130oveq2d 7374 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β„Ž))(meetβ€˜πΎ)(((π‘ˆβ€˜π‘”)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(β„Ž ∘ ◑𝑔)))) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β„Ž))(meetβ€˜πΎ)(((π‘‰β€˜π‘”)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(β„Ž ∘ ◑𝑔)))))
32 simp133 1311 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ β„Ž ∈ 𝑇)
33 simp21 1207 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
34 simp32 1211 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž))
35 eqid 2737 . . . 4 ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β„Ž))(meetβ€˜πΎ)(((π‘ˆβ€˜π‘”)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(β„Ž ∘ ◑𝑔)))) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β„Ž))(meetβ€˜πΎ)(((π‘ˆβ€˜π‘”)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(β„Ž ∘ ◑𝑔))))
3613, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 35cdlemi 39286 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) β†’ ((π‘ˆβ€˜β„Ž)β€˜π‘) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β„Ž))(meetβ€˜πΎ)(((π‘ˆβ€˜π‘”)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(β„Ž ∘ ◑𝑔)))))
375, 7, 32, 8, 9, 11, 33, 34, 36syl323anc 1401 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ ((π‘ˆβ€˜β„Ž)β€˜π‘) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β„Ž))(meetβ€˜πΎ)(((π‘ˆβ€˜π‘”)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(β„Ž ∘ ◑𝑔)))))
38 eqid 2737 . . . 4 ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β„Ž))(meetβ€˜πΎ)(((π‘‰β€˜π‘”)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(β„Ž ∘ ◑𝑔)))) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β„Ž))(meetβ€˜πΎ)(((π‘‰β€˜π‘”)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(β„Ž ∘ ◑𝑔))))
3913, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 38cdlemi 39286 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž))) β†’ ((π‘‰β€˜β„Ž)β€˜π‘) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β„Ž))(meetβ€˜πΎ)(((π‘‰β€˜π‘”)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(β„Ž ∘ ◑𝑔)))))
405, 7, 32, 25, 9, 11, 33, 34, 39syl323anc 1401 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ ((π‘‰β€˜β„Ž)β€˜π‘) = ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β„Ž))(meetβ€˜πΎ)(((π‘‰β€˜π‘”)β€˜π‘)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(β„Ž ∘ ◑𝑔)))))
4131, 37, 403eqtr4d 2787 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž ∈ 𝑇)) ∧ (β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜π‘”) ∧ (π‘…β€˜π‘”) β‰  (π‘…β€˜β„Ž) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ ((π‘ˆβ€˜β„Ž)β€˜π‘) = ((π‘‰β€˜β„Ž)β€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5106   I cid 5531  β—‘ccnv 5633   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  lecple 17141  joincjn 18201  meetcmee 18202  Atomscatm 37728  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  trLctrl 38624  TEndoctendo 39218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625  df-tendo 39221
This theorem is referenced by:  cdlemj2  39288
  Copyright terms: Public domain W3C validator