Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (πΊ β πΌ) β ( I βΎ π΅))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp31 1210 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (πΊ β πΌ) β ( I βΎ π΅))) β πΌ β π) |
3 | | simp13l 1289 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (πΊ β πΌ) β ( I βΎ π΅))) β πΊ β π) |
4 | | cdlemk5.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
5 | | cdlemk5.t |
. . . . . 6
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
6 | 4, 5 | ltrncom 39247 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΌ β π β§ πΊ β π) β (πΌ β πΊ) = (πΊ β πΌ)) |
7 | 1, 2, 3, 6 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (πΊ β πΌ) β ( I βΎ π΅))) β (πΌ β πΊ) = (πΊ β πΌ)) |
8 | 7 | csbeq1d 3860 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (πΊ β πΌ) β ( I βΎ π΅))) β β¦(πΌ β πΊ) / πβ¦π = β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π) |
9 | 8 | fveq1d 6845 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (πΊ β πΌ) β ( I βΎ π΅))) β (β¦(πΌ β πΊ) / πβ¦πβπ) = (β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦πβπ)) |
10 | | simp12 1205 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (πΊ β πΌ) β ( I βΎ π΅))) β (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅))) |
11 | | simp32 1211 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (πΊ β πΌ) β ( I βΎ π΅))) β πΌ β ( I βΎ π΅)) |
12 | 2, 11 | jca 513 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (πΊ β πΌ) β ( I βΎ π΅))) β (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅))) |
13 | | simp2 1138 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (πΊ β πΌ) β ( I βΎ π΅))) β (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) |
14 | | simp13r 1290 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (πΊ β πΌ) β ( I βΎ π΅))) β πΊ β ( I βΎ π΅)) |
15 | | simp33 1212 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (πΊ β πΌ) β ( I βΎ π΅))) β (πΊ β πΌ) β ( I βΎ π΅)) |
16 | 7, 15 | eqnetrd 3008 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (πΊ β πΌ) β ( I βΎ π΅))) β (πΌ β πΊ) β ( I βΎ π΅)) |
17 | | cdlemk5.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
18 | | cdlemk5.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
19 | | cdlemk5.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
20 | | cdlemk5.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
21 | | cdlemk5.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
22 | | cdlemk5.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
23 | | cdlemk5.z |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |
24 | | cdlemk5.y |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (π β¨ (π
β(π β β‘π)))) |
25 | | cdlemk5.x |
. . . 4
β’ π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π)) |
26 | 17, 18, 19, 20, 21, 4, 5, 22, 23, 24, 25 | cdlemk45 39456 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (πΌ β πΊ) β ( I βΎ π΅))) β (β¦(πΌ β πΊ) / πβ¦πβπ) β€ ((β¦πΊ / πβ¦πβπ) β¨ (π
βπΌ))) |
27 | 1, 10, 12, 13, 3, 14, 16, 26 | syl313anc 1395 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (πΊ β πΌ) β ( I βΎ π΅))) β (β¦(πΌ β πΊ) / πβ¦πβπ) β€ ((β¦πΊ / πβ¦πβπ) β¨ (π
βπΌ))) |
28 | 9, 27 | eqbrtrrd 5130 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΌ β π β§ πΌ β ( I βΎ π΅) β§ (πΊ β πΌ) β ( I βΎ π΅))) β (β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦πβπ) β€ ((β¦πΊ / πβ¦πβπ) β¨ (π
βπΌ))) |