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Theorem cdlemk7u-2N 39754
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 5, p. 119 for the sigma2 case. (Contributed by NM, 5-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk2.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk2.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk2.s 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
cdlemk2.q 𝑄 = (π‘†β€˜πΆ)
cdlemk2.v 𝑉 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑇 (π‘˜β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘‘)) ∧ ((π‘„β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑑 ∘ ◑𝐢))))))
cdlemk2.z 𝑍 = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐢)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐢))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk7u-2N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((π‘‰β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ≀ (((π‘‰β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∨ 𝑍))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖, ∧   ≀ ,𝑖   ∨ ,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝐢,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑇,𝑓,𝑖   𝑓,π‘Š,𝑖   ∧ ,𝑑   ∨ ,𝑑   𝐢,𝑑,π‘˜   𝐺,𝑑,π‘˜   𝑄,𝑑   𝑃,𝑑   𝑅,𝑑   𝑇,𝑑   π‘Š,𝑑   ∧ ,π‘˜   ≀ ,π‘˜   ∨ ,π‘˜   𝐴,π‘˜   𝐢,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐻   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝑁   𝑄,π‘˜   𝑃,π‘˜   𝑅,π‘˜   𝑇,π‘˜   π‘˜,π‘Š   𝐹,𝑑   𝑋,𝑑,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑑)   𝐡(𝑓,𝑖,π‘˜,𝑑)   𝑄(𝑓,𝑖)   𝑆(𝑓,𝑖,π‘˜,𝑑)   𝐺(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑓,𝑑)   𝐾(𝑓,𝑑)   ≀ (𝑓,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑉(𝑓,𝑖,π‘˜,𝑑)   𝑋(𝑓,𝑖)   𝑍(𝑓,𝑖,π‘˜,𝑑)
Proof of Theorem cdlemk7u-2N
StepHypRef Expression
1 simp11 1203 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp12 1204 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
31, 2jca 512 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4 simp211 1311 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
5 simp212 1312 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑇)
6 simp213 1313 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑇)
7 simp22l 1292 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
8 simp23l 1294 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑇)
96, 7, 83jca 1128 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇))
10 simp33 1211 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
11 simp13 1205 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
12 simp32l 1298 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
13 simp32r 1299 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
14 simp22r 1293 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
1512, 13, 143jca 1128 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
16 simp23r 1295 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
17 simp31 1209 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)))
18 cdlemk2.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
19 cdlemk2.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
20 cdlemk2.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
21 cdlemk2.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
22 cdlemk2.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
23 cdlemk2.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
24 cdlemk2.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
25 cdlemk2.r . . 3 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
26 cdlemk2.s . . 3 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
27 cdlemk2.q . . 3 𝑄 = (π‘†β€˜πΆ)
28 cdlemk2.v . . 3 𝑉 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑇 (π‘˜β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘‘)) ∧ ((π‘„β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑑 ∘ ◑𝐢))))))
29 cdlemk2.z . . 3 𝑍 = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐢)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐢))))
3018, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29cdlemk7u 39736 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)))) β†’ ((π‘‰β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ≀ (((π‘‰β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∨ 𝑍))
313, 4, 5, 9, 10, 11, 15, 16, 17, 30syl333anc 1402 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((π‘‰β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ≀ (((π‘‰β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∨ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  β„©crio 7363  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  lecple 17203  joincjn 18263  meetcmee 18264  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967  trLctrl 39024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-riotaBAD 37818
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8257  df-map 8821  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025
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