Theorem cdlemk7u-2N 41946

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 5, p. 119 for the sigma₂ case. (Contributed by NM, 5-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk2.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk2.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
cdlemk2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆‘𝐶)
cdlemk2.v	⊢ 𝑉 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑇 (𝑘‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑑)) ∧ ((𝑄‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑑 ∘ ◡𝐶))))))
cdlemk2.z	⊢ 𝑍 = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐶)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐶))))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk7u-2N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑉‘𝐺)‘𝑃) ≤ (((𝑉‘𝑋)‘𝑃) ∨ 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖, ∧   ≤ ,𝑖   ∨ ,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝐶,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑇,𝑓,𝑖   𝑓,𝑊,𝑖   ∧ ,𝑑   ∨ ,𝑑   𝐶,𝑑,𝑘   𝐺,𝑑,𝑘   𝑄,𝑑   𝑃,𝑑   𝑅,𝑑   𝑇,𝑑   𝑊,𝑑   ∧ ,𝑘   ≤ ,𝑘   ∨ ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐻   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑄,𝑘   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑇,𝑘   𝑘,𝑊   𝐹,𝑑   𝑋,𝑑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓, 𝑑)   𝐵(𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑑)   𝑄(𝑓, 𝑖)   𝑆(𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑑)   𝐺(𝑓, 𝑖)   𝐻(𝑓, 𝑑)   𝐾(𝑓, 𝑑)   ≤ (𝑓, 𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑉(𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑑)   𝑋(𝑓, 𝑖)   𝑍(𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑑)

Proof of Theorem cdlemk7u-2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1222	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp12 1223	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
3	1, 2	jca 521	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4		simp211 1330	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
5		simp212 1331	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐶 ∈ 𝑇)
6		simp213 1332	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝑁 ∈ 𝑇)
7		simp22l 1311	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
8		simp23l 1313	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝑋 ∈ 𝑇)
9	6, 7, 8	3jca 1146	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇))
10		simp33 1230	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
11		simp13 1224	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))
12		simp32l 1317	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
13		simp32r 1318	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))
14		simp22r 1312	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
15	12, 13, 14	3jca 1146	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
16		simp23r 1314	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))
17		simp31 1228	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)))
18		cdlemk2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
19		cdlemk2.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
20		cdlemk2.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
21		cdlemk2.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
22		cdlemk2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
23		cdlemk2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
24		cdlemk2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
25		cdlemk2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
26		cdlemk2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
27		cdlemk2.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑆‘𝐶)
28		cdlemk2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑇 (𝑘‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑑)) ∧ ((𝑄‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑑 ∘ ◡𝐶))))))
29		cdlemk2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐶)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐶))))
30	18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29	cdlemk7u 41928	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)))) → ((𝑉‘𝐺)‘𝑃) ≤ (((𝑉‘𝑋)‘𝑃) ∨ 𝑍))
31	3, 4, 5, 9, 10, 11, 15, 16, 17, 30	syl333anc 1429	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑉‘𝐺)‘𝑃) ≤ (((𝑉‘𝑋)‘𝑃) ∨ 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   I cid 5544  ^◡ccnv 5649   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654  ‘cfv 6538  ℩crio 7376  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  lecple 17435  joincjn 18485  meetcmee 18486  Atomscatm 40321  HLchlt 40408  LHypclh 41042  LTrncltrn 41159  trLctrl 41216

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-riotaBAD 40011

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-undef 8290  df-map 8849  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-oposet 40234  df-ol 40236  df-oml 40237  df-covers 40324  df-ats 40325  df-atl 40356  df-cvlat 40380  df-hlat 40409  df-llines 40556  df-lplanes 40557  df-lvols 40558  df-lines 40559  df-psubsp 40561  df-pmap 40562  df-padd 40854  df-lhyp 41046  df-laut 41047  df-ldil 41162  df-ltrn 41163  df-trl 41217

This theorem is used by: (None)