Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk7u-2N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemk7u-2N 40285
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 5, p. 119 for the sigma2 case. (Contributed by NM, 5-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk2.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk2.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk2.s 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
cdlemk2.q 𝑄 = (π‘†β€˜πΆ)
cdlemk2.v 𝑉 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑇 (π‘˜β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘‘)) ∧ ((π‘„β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑑 ∘ ◑𝐢))))))
cdlemk2.z 𝑍 = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐢)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐢))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk7u-2N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((π‘‰β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ≀ (((π‘‰β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∨ 𝑍))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖, ∧   ≀ ,𝑖   ∨ ,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝐢,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑇,𝑓,𝑖   𝑓,π‘Š,𝑖   ∧ ,𝑑   ∨ ,𝑑   𝐢,𝑑,π‘˜   𝐺,𝑑,π‘˜   𝑄,𝑑   𝑃,𝑑   𝑅,𝑑   𝑇,𝑑   π‘Š,𝑑   ∧ ,π‘˜   ≀ ,π‘˜   ∨ ,π‘˜   𝐴,π‘˜   𝐢,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐻   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝑁   𝑄,π‘˜   𝑃,π‘˜   𝑅,π‘˜   𝑇,π‘˜   π‘˜,π‘Š   𝐹,𝑑   𝑋,𝑑,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑑)   𝐡(𝑓,𝑖,π‘˜,𝑑)   𝑄(𝑓,𝑖)   𝑆(𝑓,𝑖,π‘˜,𝑑)   𝐺(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑓,𝑑)   𝐾(𝑓,𝑑)   ≀ (𝑓,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑉(𝑓,𝑖,π‘˜,𝑑)   𝑋(𝑓,𝑖)   𝑍(𝑓,𝑖,π‘˜,𝑑)
Proof of Theorem cdlemk7u-2N
StepHypRef Expression
1 simp11 1201 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp12 1202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
31, 2jca 511 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4 simp211 1309 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
5 simp212 1310 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑇)
6 simp213 1311 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑇)
7 simp22l 1290 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
8 simp23l 1292 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑇)
96, 7, 83jca 1126 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇))
10 simp33 1209 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
11 simp13 1203 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
12 simp32l 1296 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
13 simp32r 1297 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
14 simp22r 1291 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
1512, 13, 143jca 1126 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
16 simp23r 1293 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
17 simp31 1207 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)))
18 cdlemk2.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
19 cdlemk2.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
20 cdlemk2.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
21 cdlemk2.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
22 cdlemk2.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
23 cdlemk2.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
24 cdlemk2.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
25 cdlemk2.r . . 3 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
26 cdlemk2.s . . 3 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
27 cdlemk2.q . . 3 𝑄 = (π‘†β€˜πΆ)
28 cdlemk2.v . . 3 𝑉 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑇 (π‘˜β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘‘)) ∧ ((π‘„β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑑 ∘ ◑𝐢))))))
29 cdlemk2.z . . 3 𝑍 = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐢)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐢))))
3018, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29cdlemk7u 40267 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)))) β†’ ((π‘‰β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ≀ (((π‘‰β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∨ 𝑍))
313, 4, 5, 9, 10, 11, 15, 16, 17, 30syl333anc 1400 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘‹) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((π‘‰β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ≀ (((π‘‰β€˜π‘‹)β€˜π‘ƒ) ∨ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   I cid 5569  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6542  β„©crio 7369  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  lecple 17225  joincjn 18288  meetcmee 18289  Atomscatm 38659  HLchlt 38746  LHypclh 39381  LTrncltrn 39498  trLctrl 39555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-riotaBAD 38349
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-undef 8270  df-map 8836  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-llines 38895  df-lplanes 38896  df-lvols 38897  df-lines 38898  df-psubsp 38900  df-pmap 38901  df-padd 39193  df-lhyp 39385  df-laut 39386  df-ldil 39501  df-ltrn 39502  df-trl 39556
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator