Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngdvlem4 37012
Description: Lemma for erngdv 37014. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
erngdv.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.p 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
erngdv.o 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
erngdv.i 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
erngrnglem.m + = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑎𝑏))
edlemk6.j = (join‘𝐾)
edlemk6.m = (meet‘𝐾)
edlemk6.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
edlemk6.p 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
edlemk6.z 𝑍 = ((𝑄 (𝑅𝑏)) ((𝑄) (𝑅‘(𝑏(𝑠)))))
edlemk6.y 𝑌 = ((𝑄 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
edlemk6.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠)) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑄) = 𝑌))
edlemk6.u 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if((𝑠) = , 𝑔, 𝑋))
Assertion
Ref Expression
erngdvlem4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ DivRing)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝐷,𝑠   𝑎,𝑏,𝑠,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏,𝑠   𝑓,𝐻,𝑠   0 ,𝑠   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑠   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓,𝑠   𝑃,𝑠   𝑔,𝑏,𝑧,   ,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏   𝑔,𝑠,𝐵,𝑧   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝑔,𝐾,𝑧   + ,𝑠   𝑃,𝑔,𝑧   𝑄,𝑏,𝑔,𝑧   𝑅,𝑏,𝑔,𝑧   𝑇,𝑔,𝑧   𝑔,𝑊,𝑧   𝑧,𝑌   𝑔,𝑍   𝑓,𝑔,𝑧   ,𝑏,𝑔,𝑠,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(,𝑎)   𝐷(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑓,,𝑎,𝑏)   + (𝑧,𝑓,𝑔,,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑓,,𝑠,𝑎)   𝑅(𝑓,,𝑠,𝑎)   𝑇()   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑧,𝑓,𝑔,)   𝐻(,𝑎)   𝐼(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   (𝑓,,𝑠,𝑎)   𝐾()   (𝑓,,𝑠,𝑎)   𝑊()   𝑋(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   0 (𝑧,𝑓,𝑔,,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑓,,𝑠,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem4
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 erngdv.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 erngdv.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 ernggrp.d . . . . 5 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2799 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
61, 2, 3, 4, 5erngbase 36822 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
76eqcomd 2805 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
87adantr 473 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
9 eqid 2799 . . . . 5 (.r𝐷) = (.r𝐷)
101, 2, 3, 4, 9erngfmul 36826 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (.r𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑎𝑏)))
11 erngrnglem.m . . . 4 + = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑎𝑏))
1210, 11syl6reqr 2852 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → + = (.r𝐷))
1312adantr 473 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → + = (.r𝐷))
14 erngdv.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
15 erngdv.o . . . . . . 7 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
1614, 1, 2, 3, 15tendo0cl 36811 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0𝐸)
1716, 6eleqtrrd 2881 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 ∈ (Base‘𝐷))
18 eqid 2799 . . . . . . . . 9 (+g𝐷) = (+g𝐷)
191, 2, 3, 4, 18erngfplus 36823 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
20 erngdv.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
2119, 20syl6reqr 2852 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑃 = (+g𝐷))
2221oveqd 6895 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 0 𝑃 0 ) = ( 0 (+g𝐷) 0 ))
2314, 1, 2, 3, 15, 20tendo0pl 36812 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 0𝐸) → ( 0 𝑃 0 ) = 0 )
2416, 23mpdan 679 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 0 𝑃 0 ) = 0 )
2522, 24eqtr3d 2835 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 0 (+g𝐷) 0 ) = 0 )
26 erngdv.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
271, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26erngdvlem1 37009 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
28 eqid 2799 . . . . . . 7 (0g𝐷) = (0g𝐷)
295, 18, 28isgrpid2 17774 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Grp → (( 0 ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( 0 (+g𝐷) 0 ) = 0 ) ↔ (0g𝐷) = 0 ))
3027, 29syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( 0 ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( 0 (+g𝐷) 0 ) = 0 ) ↔ (0g𝐷) = 0 ))
3117, 25, 30mpbi2and 704 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g𝐷) = 0 )
3231eqcomd 2805 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 = (0g𝐷))
3332adantr 473 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 0 = (0g𝐷))
341, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26, 11erngdvlem3 37011 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
351, 2, 3, 4, 34erng1lem 37008 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇))
3635eqcomd 2805 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) = (1r𝐷))
3736adantr 473 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ( I ↾ 𝑇) = (1r𝐷))
3834adantr 473 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ Ring)
39 simp1l 1255 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 ) ∧ (𝑡𝐸𝑡0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4012oveqd 6895 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
4139, 40syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 ) ∧ (𝑡𝐸𝑡0 )) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
42 simp2l 1257 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 ) ∧ (𝑡𝐸𝑡0 )) → 𝑠𝐸)
43 simp3l 1259 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 ) ∧ (𝑡𝐸𝑡0 )) → 𝑡𝐸)
441, 2, 3, 4, 9erngmul 36827 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑠𝑡))
4539, 42, 43, 44syl12anc 866 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 ) ∧ (𝑡𝐸𝑡0 )) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑠𝑡))
4641, 45eqtrd 2833 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 ) ∧ (𝑡𝐸𝑡0 )) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠𝑡))
4714, 1, 2, 3, 15tendoconid 36850 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 ) ∧ (𝑡𝐸𝑡0 )) → (𝑠𝑡) ≠ 0 )
48473adant1r 1224 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 ) ∧ (𝑡𝐸𝑡0 )) → (𝑠𝑡) ≠ 0 )
4946, 48eqnetrd 3038 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 ) ∧ (𝑡𝐸𝑡0 )) → (𝑠 + 𝑡) ≠ 0 )
5014, 1, 2, 3, 15tendo1ne0 36849 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 0 )
5150adantr 473 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 0 )
52 simpll 784 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
53 simplrl 796 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → 𝑇)
54 simpr 478 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → (𝑠𝐸𝑠0 ))
55 edlemk6.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
56 edlemk6.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
57 edlemk6.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
58 edlemk6.p . . . . 5 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
59 edlemk6.z . . . . 5 𝑍 = ((𝑄 (𝑅𝑏)) ((𝑄) (𝑅‘(𝑏(𝑠)))))
60 edlemk6.y . . . . 5 𝑌 = ((𝑄 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
61 edlemk6.x . . . . 5 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠)) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑄) = 𝑌))
62 edlemk6.u . . . . 5 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if((𝑠) = , 𝑔, 𝑋))
6314, 55, 56, 1, 2, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 3, 15cdleml6 37002 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇 ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → (𝑈𝐸 ∧ (𝑈‘(𝑠)) = ))
6463simpld 489 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇 ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → 𝑈𝐸)
6552, 53, 54, 64syl3anc 1491 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → 𝑈𝐸)
6614, 55, 56, 1, 2, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 3, 15cdleml9 37005 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → 𝑈0 )
67663expa 1148 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → 𝑈0 )
6812oveqd 6895 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑈 + 𝑠) = (𝑈(.r𝐷)𝑠))
6968ad2antrr 718 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → (𝑈 + 𝑠) = (𝑈(.r𝐷)𝑠))
70 simprl 788 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → 𝑠𝐸)
711, 2, 3, 4, 9erngmul 36827 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑠𝐸)) → (𝑈(.r𝐷)𝑠) = (𝑈𝑠))
7252, 65, 70, 71syl12anc 866 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → (𝑈(.r𝐷)𝑠) = (𝑈𝑠))
7314, 55, 56, 1, 2, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 3, 15cdleml8 37004 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → (𝑈𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
74733expa 1148 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → (𝑈𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
7569, 72, 743eqtrd 2837 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → (𝑈 + 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
768, 13, 33, 37, 38, 49, 51, 65, 67, 75isdrngd 19090 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wral 3089  ifcif 4277  cmpt 4922   I cid 5219  ccnv 5311  cres 5314  ccom 5316  cfv 6101  crio 6838  (class class class)co 6878  cmpt2 6880  Basecbs 16184  +gcplusg 16267  .rcmulr 16268  occoc 16275  0gc0g 16415  joincjn 17259  meetcmee 17260  Grpcgrp 17738  1rcur 18817  Ringcrg 18863  DivRingcdr 19065  HLchlt 35371  LHypclh 36005  LTrncltrn 36122  trLctrl 36179  TEndoctendo 36773  EDRingcedring 36774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-riotaBAD 34974
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-tpos 7590  df-undef 7637  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-0g 16417  df-proset 17243  df-poset 17261  df-plt 17273  df-lub 17289  df-glb 17290  df-join 17291  df-meet 17292  df-p0 17354  df-p1 17355  df-lat 17361  df-clat 17423  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-oppr 18939  df-dvdsr 18957  df-unit 18958  df-invr 18988  df-dvr 18999  df-drng 19067  df-oposet 35197  df-ol 35199  df-oml 35200  df-covers 35287  df-ats 35288  df-atl 35319  df-cvlat 35343  df-hlat 35372  df-llines 35519  df-lplanes 35520  df-lvols 35521  df-lines 35522  df-psubsp 35524  df-pmap 35525  df-padd 35817  df-lhyp 36009  df-laut 36010  df-ldil 36125  df-ltrn 36126  df-trl 36180  df-tendo 36776  df-edring 36778
This theorem is referenced by:  erngdv  37014
  Copyright terms: Public domain W3C validator