Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngdvlem4 38165
 Description: Lemma for erngdv 38167. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
erngdv.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.p 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
erngdv.o 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
erngdv.i 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
erngrnglem.m + = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑎𝑏))
edlemk6.j = (join‘𝐾)
edlemk6.m = (meet‘𝐾)
edlemk6.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
edlemk6.p 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
edlemk6.z 𝑍 = ((𝑄 (𝑅𝑏)) ((𝑄) (𝑅‘(𝑏(𝑠)))))
edlemk6.y 𝑌 = ((𝑄 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
edlemk6.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠)) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑄) = 𝑌))
edlemk6.u 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if((𝑠) = , 𝑔, 𝑋))
Assertion
Ref Expression
erngdvlem4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ DivRing)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝐷,𝑠   𝑎,𝑏,𝑠,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏,𝑠   𝑓,𝐻,𝑠   0 ,𝑠   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑠   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓,𝑠   𝑃,𝑠   𝑔,𝑏,𝑧,   ,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏   𝑔,𝑠,𝐵,𝑧   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝑔,𝐾,𝑧   + ,𝑠   𝑃,𝑔,𝑧   𝑄,𝑏,𝑔,𝑧   𝑅,𝑏,𝑔,𝑧   𝑇,𝑔,𝑧   𝑔,𝑊,𝑧   𝑧,𝑌   𝑔,𝑍   𝑓,𝑔,𝑧   ,𝑏,𝑔,𝑠,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(,𝑎)   𝐷(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑓,,𝑎,𝑏)   + (𝑧,𝑓,𝑔,,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑓,,𝑠,𝑎)   𝑅(𝑓,,𝑠,𝑎)   𝑇()   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑧,𝑓,𝑔,)   𝐻(,𝑎)   𝐼(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   (𝑓,,𝑠,𝑎)   𝐾()   (𝑓,,𝑠,𝑎)   𝑊()   𝑋(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   0 (𝑧,𝑓,𝑔,,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑓,,𝑠,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem4
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 erngdv.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 erngdv.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 ernggrp.d . . . . 5 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2821 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
61, 2, 3, 4, 5erngbase 37975 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
76eqcomd 2827 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
87adantr 484 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
9 eqid 2821 . . . . 5 (.r𝐷) = (.r𝐷)
101, 2, 3, 4, 9erngfmul 37979 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (.r𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑎𝑏)))
11 erngrnglem.m . . . 4 + = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑎𝑏))
1210, 11syl6reqr 2875 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → + = (.r𝐷))
1312adantr 484 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → + = (.r𝐷))
14 erngdv.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
15 erngdv.o . . . . . . 7 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
1614, 1, 2, 3, 15tendo0cl 37964 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0𝐸)
1716, 6eleqtrrd 2915 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 ∈ (Base‘𝐷))
18 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (+g𝐷) = (+g𝐷)
191, 2, 3, 4, 18erngfplus 37976 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
20 erngdv.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
2119, 20syl6reqr 2875 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑃 = (+g𝐷))
2221oveqd 7147 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 0 𝑃 0 ) = ( 0 (+g𝐷) 0 ))
2314, 1, 2, 3, 15, 20tendo0pl 37965 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 0𝐸) → ( 0 𝑃 0 ) = 0 )
2416, 23mpdan 686 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 0 𝑃 0 ) = 0 )
2522, 24eqtr3d 2858 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 0 (+g𝐷) 0 ) = 0 )
26 erngdv.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
271, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26erngdvlem1 38162 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
28 eqid 2821 . . . . . . 7 (0g𝐷) = (0g𝐷)
295, 18, 28isgrpid2 18118 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Grp → (( 0 ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( 0 (+g𝐷) 0 ) = 0 ) ↔ (0g𝐷) = 0 ))
3027, 29syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( 0 ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( 0 (+g𝐷) 0 ) = 0 ) ↔ (0g𝐷) = 0 ))
3117, 25, 30mpbi2and 711 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g𝐷) = 0 )
3231eqcomd 2827 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 = (0g𝐷))
3332adantr 484 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 0 = (0g𝐷))
341, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26, 11erngdvlem3 38164 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
351, 2, 3, 4, 34erng1lem 38161 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇))
3635eqcomd 2827 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) = (1r𝐷))
3736adantr 484 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ( I ↾ 𝑇) = (1r𝐷))
3834adantr 484 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ Ring)
39 simp1l 1194 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 ) ∧ (𝑡𝐸𝑡0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4012oveqd 7147 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
4139, 40syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 ) ∧ (𝑡𝐸𝑡0 )) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
42 simp2l 1196 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 ) ∧ (𝑡𝐸𝑡0 )) → 𝑠𝐸)
43 simp3l 1198 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 ) ∧ (𝑡𝐸𝑡0 )) → 𝑡𝐸)
441, 2, 3, 4, 9erngmul 37980 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑠𝑡))
4539, 42, 43, 44syl12anc 835 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 ) ∧ (𝑡𝐸𝑡0 )) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑠𝑡))
4641, 45eqtrd 2856 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 ) ∧ (𝑡𝐸𝑡0 )) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠𝑡))
4714, 1, 2, 3, 15tendoconid 38003 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 ) ∧ (𝑡𝐸𝑡0 )) → (𝑠𝑡) ≠ 0 )
48473adant1r 1174 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 ) ∧ (𝑡𝐸𝑡0 )) → (𝑠𝑡) ≠ 0 )
4946, 48eqnetrd 3074 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 ) ∧ (𝑡𝐸𝑡0 )) → (𝑠 + 𝑡) ≠ 0 )
5014, 1, 2, 3, 15tendo1ne0 38002 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 0 )
5150adantr 484 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 0 )
52 simpll 766 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
53 simplrl 776 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → 𝑇)
54 simpr 488 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → (𝑠𝐸𝑠0 ))
55 edlemk6.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
56 edlemk6.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
57 edlemk6.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
58 edlemk6.p . . . . 5 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
59 edlemk6.z . . . . 5 𝑍 = ((𝑄 (𝑅𝑏)) ((𝑄) (𝑅‘(𝑏(𝑠)))))
60 edlemk6.y . . . . 5 𝑌 = ((𝑄 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
61 edlemk6.x . . . . 5 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠)) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑄) = 𝑌))
62 edlemk6.u . . . . 5 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if((𝑠) = , 𝑔, 𝑋))
6314, 55, 56, 1, 2, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 3, 15cdleml6 38155 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇 ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → (𝑈𝐸 ∧ (𝑈‘(𝑠)) = ))
6463simpld 498 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇 ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → 𝑈𝐸)
6552, 53, 54, 64syl3anc 1368 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → 𝑈𝐸)
6614, 55, 56, 1, 2, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 3, 15cdleml9 38158 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → 𝑈0 )
67663expa 1115 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → 𝑈0 )
6812oveqd 7147 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑈 + 𝑠) = (𝑈(.r𝐷)𝑠))
6968ad2antrr 725 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → (𝑈 + 𝑠) = (𝑈(.r𝐷)𝑠))
70 simprl 770 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → 𝑠𝐸)
711, 2, 3, 4, 9erngmul 37980 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑠𝐸)) → (𝑈(.r𝐷)𝑠) = (𝑈𝑠))
7252, 65, 70, 71syl12anc 835 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → (𝑈(.r𝐷)𝑠) = (𝑈𝑠))
7314, 55, 56, 1, 2, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 3, 15cdleml8 38157 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → (𝑈𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
74733expa 1115 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → (𝑈𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
7569, 72, 743eqtrd 2860 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → (𝑈 + 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
768, 13, 33, 37, 38, 49, 51, 65, 67, 75isdrngd 19502 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ DivRing)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  ∀wral 3126  ifcif 4440   ↦ cmpt 5119   I cid 5432  ◡ccnv 5527   ↾ cres 5530   ∘ ccom 5532  ‘cfv 6328  ℩crio 7087  (class class class)co 7130   ∈ cmpo 7132  Basecbs 16461  +gcplusg 16543  .rcmulr 16544  occoc 16551  0gc0g 16691  joincjn 17532  meetcmee 17533  Grpcgrp 18081  1rcur 19229  Ringcrg 19275  DivRingcdr 19477  HLchlt 36524  LHypclh 37158  LTrncltrn 37275  trLctrl 37332  TEndoctendo 37926  EDRingcedring 37927 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-riotaBAD 36127 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-undef 7914  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-0g 16693  df-proset 17516  df-poset 17534  df-plt 17546  df-lub 17562  df-glb 17563  df-join 17564  df-meet 17565  df-p0 17627  df-p1 17628  df-lat 17634  df-clat 17696  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-oppr 19351  df-dvdsr 19369  df-unit 19370  df-invr 19400  df-dvr 19411  df-drng 19479  df-oposet 36350  df-ol 36352  df-oml 36353  df-covers 36440  df-ats 36441  df-atl 36472  df-cvlat 36496  df-hlat 36525  df-llines 36672  df-lplanes 36673  df-lvols 36674  df-lines 36675  df-psubsp 36677  df-pmap 36678  df-padd 36970  df-lhyp 37162  df-laut 37163  df-ldil 37278  df-ltrn 37279  df-trl 37333  df-tendo 37929  df-edring 37931 This theorem is referenced by:  erngdv  38167
 Copyright terms: Public domain W3C validator