Theorem erngdvlem4 37012

Description: Lemma for erngdv 37014. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ernggrp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d	⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
erngdv.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.p	⊢ 𝑃 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
erngdv.o	⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
erngdv.i	⊢ 𝐼 = (𝑎 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
erngrnglem.m	⊢ + = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑎 ∘ 𝑏))
edlemk6.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
edlemk6.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
edlemk6.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
edlemk6.p	⊢ 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
edlemk6.z	⊢ 𝑍 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((ℎ‘𝑄) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘ℎ)))))
edlemk6.y	⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
edlemk6.x	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠‘ℎ)) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑄) = 𝑌))
edlemk6.u	⊢ 𝑈 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((𝑠‘ℎ) = ℎ, 𝑔, 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
erngdvlem4	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ DivRing)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝐷,𝑠   𝑎,𝑏,𝑠,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏,𝑠   𝑓,𝐻,𝑠   0 ,𝑠   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑠   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓,𝑠   𝑃,𝑠   𝑔,𝑏,𝑧, ∧   ∨ ,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏   𝑔,𝑠,𝐵,𝑧   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝑔,𝐾,𝑧   + ,𝑠   𝑃,𝑔,𝑧   𝑄,𝑏,𝑔,𝑧   𝑅,𝑏,𝑔,𝑧   𝑇,𝑔,𝑧   𝑔,𝑊,𝑧   𝑧,𝑌   𝑔,𝑍   𝑓,𝑔,𝑧   ℎ,𝑏,𝑔,𝑠,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ,𝑎)   𝐷(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑓,ℎ,𝑎,𝑏)   + (𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑓,ℎ,𝑠,𝑎)   𝑅(𝑓,ℎ,𝑠,𝑎)   𝑇(ℎ)   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ)   𝐻(ℎ,𝑎)   𝐼(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   ∨ (𝑓,ℎ,𝑠,𝑎)   𝐾(ℎ)   ∧ (𝑓,ℎ,𝑠,𝑎)   𝑊(ℎ)   𝑋(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   0 (𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑓,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem4

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ernggrp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erngdv.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		erngdv.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		ernggrp.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2799	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngbase 36822	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
7	6	eqcomd 2805	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
8	7	adantr 473	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
9		eqid 2799	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
10	1, 2, 3, 4, 9	erngfmul 36826	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (.r‘𝐷) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑎 ∘ 𝑏)))
11		erngrnglem.m	. . . 4 ⊢ + = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑎 ∘ 𝑏))
12	10, 11	syl6reqr 2852	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → + = (.r‘𝐷))
13	12	adantr 473	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → + = (.r‘𝐷))
14		erngdv.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
15		erngdv.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
16	14, 1, 2, 3, 15	tendo0cl 36811	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ 𝐸)
17	16, 6	eleqtrrd 2881	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ (Base‘𝐷))
18		eqid 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
19	1, 2, 3, 4, 18	erngfplus 36823	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐷) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))))
20		erngdv.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
21	19, 20	syl6reqr 2852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑃 = (+g‘𝐷))
22	21	oveqd 6895	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( 0 𝑃 0 ) = ( 0 (+g‘𝐷) 0 ))
23	14, 1, 2, 3, 15, 20	tendo0pl 36812	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 0 ∈ 𝐸) → ( 0 𝑃 0 ) = 0 )
24	16, 23	mpdan 679	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( 0 𝑃 0 ) = 0 )
25	22, 24	eqtr3d 2835	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( 0 (+g‘𝐷) 0 ) = 0 )
26		erngdv.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑎 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
27	1, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26	erngdvlem1 37009	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
28		eqid 2799	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
29	5, 18, 28	isgrpid2 17774	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Grp → (( 0 ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( 0 (+g‘𝐷) 0 ) = 0 ) ↔ (0g‘𝐷) = 0 ))
30	27, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( 0 ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( 0 (+g‘𝐷) 0 ) = 0 ) ↔ (0g‘𝐷) = 0 ))
31	17, 25, 30	mpbi2and 704	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘𝐷) = 0 )
32	31	eqcomd 2805	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = (0g‘𝐷))
33	32	adantr 473	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 0 = (0g‘𝐷))
34	1, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26, 11	erngdvlem3 37011	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
35	1, 2, 3, 4, 34	erng1lem 37008	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇))
36	35	eqcomd 2805	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) = (1r‘𝐷))
37	36	adantr 473	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ( I ↾ 𝑇) = (1r‘𝐷))
38	34	adantr 473	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ Ring)
39		simp1l 1255	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
40	12	oveqd 6895	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑡))
41	39, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 0 )) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑡))
42		simp2l 1257	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 0 )) → 𝑠 ∈ 𝐸)
43		simp3l 1259	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 0 )) → 𝑡 ∈ 𝐸)
44	1, 2, 3, 4, 9	erngmul 36827	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
45	39, 42, 43, 44	syl12anc 866	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 0 )) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
46	41, 45	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 0 )) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
47	14, 1, 2, 3, 15	tendoconid 36850	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 0 )) → (𝑠 ∘ 𝑡) ≠ 0 )
48	47	3adant1r 1224	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 0 )) → (𝑠 ∘ 𝑡) ≠ 0 )
49	46, 48	eqnetrd 3038	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 0 )) → (𝑠 + 𝑡) ≠ 0 )
50	14, 1, 2, 3, 15	tendo1ne0 36849	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 0 )
51	50	adantr 473	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 0 )
52		simpll 784	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
53		simplrl 796	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → ℎ ∈ 𝑇)
54		simpr 478	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ))
55		edlemk6.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
56		edlemk6.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
57		edlemk6.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
58		edlemk6.p	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
59		edlemk6.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((ℎ‘𝑄) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘ℎ)))))
60		edlemk6.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
61		edlemk6.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠‘ℎ)) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑄) = 𝑌))
62		edlemk6.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((𝑠‘ℎ) = ℎ, 𝑔, 𝑋))
63	14, 55, 56, 1, 2, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 3, 15	cdleml6 37002	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘(𝑠‘ℎ)) = ℎ))
64	63	simpld 489	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → 𝑈 ∈ 𝐸)
65	52, 53, 54, 64	syl3anc 1491	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → 𝑈 ∈ 𝐸)
66	14, 55, 56, 1, 2, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 3, 15	cdleml9 37005	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → 𝑈 ≠ 0 )
67	66	3expa 1148	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → 𝑈 ≠ 0 )
68	12	oveqd 6895	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑈 + 𝑠) = (𝑈(.r‘𝐷)𝑠))
69	68	ad2antrr 718	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈 + 𝑠) = (𝑈(.r‘𝐷)𝑠))
70		simprl 788	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → 𝑠 ∈ 𝐸)
71	1, 2, 3, 4, 9	erngmul 36827	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑈(.r‘𝐷)𝑠) = (𝑈 ∘ 𝑠))
72	52, 65, 70, 71	syl12anc 866	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈(.r‘𝐷)𝑠) = (𝑈 ∘ 𝑠))
73	14, 55, 56, 1, 2, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 3, 15	cdleml8 37004	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈 ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
74	73	3expa 1148	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈 ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
75	69, 72, 74	3eqtrd 2837	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈 + 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
76	8, 13, 33, 37, 38, 49, 51, 65, 67, 75	isdrngd 19090	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  ∀wral 3089  ifcif 4277   ↦ cmpt 4922   I cid 5219  ^◡ccnv 5311   ↾ cres 5314   ∘ ccom 5316  ‘cfv 6101  ℩crio 6838  (class class class)co 6878   ↦ cmpt2 6880  Basecbs 16184  +_gcplusg 16267  ._rcmulr 16268  occoc 16275  0_gc0g 16415  joincjn 17259  meetcmee 17260  Grpcgrp 17738  1_rcur 18817  Ringcrg 18863  DivRingcdr 19065  HLchlt 35371  LHypclh 36005  LTrncltrn 36122  trLctrl 36179  TEndoctendo 36773  EDRingcedring 36774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-riotaBAD 34974

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-tpos 7590  df-undef 7637  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-0g 16417  df-proset 17243  df-poset 17261  df-plt 17273  df-lub 17289  df-glb 17290  df-join 17291  df-meet 17292  df-p0 17354  df-p1 17355  df-lat 17361  df-clat 17423  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-oppr 18939  df-dvdsr 18957  df-unit 18958  df-invr 18988  df-dvr 18999  df-drng 19067  df-oposet 35197  df-ol 35199  df-oml 35200  df-covers 35287  df-ats 35288  df-atl 35319  df-cvlat 35343  df-hlat 35372  df-llines 35519  df-lplanes 35520  df-lvols 35521  df-lines 35522  df-psubsp 35524  df-pmap 35525  df-padd 35817  df-lhyp 36009  df-laut 36010  df-ldil 36125  df-ltrn 36126  df-trl 36180  df-tendo 36776  df-edring 36778

This theorem is referenced by:  erngdv  37014