Theorem osumi 31451

Description: If two closed subspaces of a Hilbert space are orthogonal, their subspace sum equals their subspace join. Lemma 3 of [Kalmbach] p. 67. Note that the (countable) Axiom of Choice is used for this proof via pjhth 31202, although "the hard part" of this proof, chscl 31450, requires no choice. (Contributed by NM, 28-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osum.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
osum.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
osumi	⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Proof of Theorem osumi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		osum.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐴 ∈ Cℋ )
3		osum.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ∈ Cℋ )
5	1, 3	chsscon2i 31272	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
6	5	biimpi 215	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
7	2, 4, 6	chscl 31450	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
8	1	chshii 31036	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
9	3	chshii 31036	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
10	8, 9	shjshseli 31302	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
11	7, 10	sylib 217	1 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   C_ℋ cch 30738  ⊥cort 30739   +_ℋ cph 30740   ∨_ℋ chj 30742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218  ax-hilex 30808  ax-hfvadd 30809  ax-hvcom 30810  ax-hvass 30811  ax-hv0cl 30812  ax-hvaddid 30813  ax-hfvmul 30814  ax-hvmulid 30815  ax-hvmulass 30816  ax-hvdistr1 30817  ax-hvdistr2 30818  ax-hvmul0 30819  ax-hfi 30888  ax-his1 30891  ax-his2 30892  ax-his3 30893  ax-his4 30894  ax-hcompl 31011

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-omul 8491  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-lm 23132  df-haus 23218  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cfil 25182  df-cau 25183  df-cmet 25184  df-grpo 30302  df-gid 30303  df-ginv 30304  df-gdiv 30305  df-ablo 30354  df-vc 30368  df-nv 30401  df-va 30404  df-ba 30405  df-sm 30406  df-0v 30407  df-vs 30408  df-nmcv 30409  df-ims 30410  df-dip 30510  df-ssp 30531  df-ph 30622  df-cbn 30672  df-hnorm 30777  df-hba 30778  df-hvsub 30780  df-hlim 30781  df-hcau 30782  df-sh 31016  df-ch 31030  df-oc 31061  df-ch0 31062  df-shs 31117  df-chj 31119  df-pjh 31204

This theorem is referenced by:  osumcori  31452  osumcor2i  31453  osum  31454  spansnji  31455  5oai  31470  3oalem5  31475  pjsumi  31519  pjdsi  31521  pjds3i  31522  pjssumi  31980