Theorem osumi 32251

Description: If two closed subspaces of a Hilbert space are orthogonal, their subspace sum equals their subspace join. Lemma 3 of [Kalmbach] p. 67. Note that the (countable) Axiom of Choice is used for this proof via pjhth 32002, although "the hard part" of this proof, chscl 32250, requires no choice. (Contributed by NM, 28-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osum.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
osum.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
osumi	⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Proof of Theorem osumi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		osum.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐴 ∈ Cℋ )
3		osum.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ∈ Cℋ )
5	1, 3	chsscon2i 32072	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
6	5	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
7	2, 4, 6	chscl 32250	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
8	1	chshii 31836	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
9	3	chshii 31836	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
10	8, 9	shjshseli 32102	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ↔ (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
11	7, 10	sylib 221	1 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422   C_ℋ cch 31538  ⊥cort 31539   +_ℋ cph 31540   ∨_ℋ chj 31542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cc 10518  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283  ax-addf 11284  ax-mulf 11285  ax-hilex 31608  ax-hfvadd 31609  ax-hvcom 31610  ax-hvass 31611  ax-hv0cl 31612  ax-hvaddid 31613  ax-hfvmul 31614  ax-hvmulid 31615  ax-hvmulass 31616  ax-hvdistr1 31617  ax-hvdistr2 31618  ax-hvmul0 31619  ax-hfi 31688  ax-his1 31691  ax-his2 31692  ax-his3 31693  ax-his4 31694  ax-hcompl 31811

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-of 7695  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-omul 8486  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9359  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9509  df-card 10025  df-acn 10028  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-q 13081  df-rp 13126  df-xneg 13246  df-xadd 13247  df-xmul 13248  df-ioo 13485  df-ico 13487  df-icc 13488  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-fl 13937  df-seq 14150  df-exp 14210  df-hash 14480  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-clim 15662  df-rlim 15663  df-sum 15861  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-starv 17450  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-unif 17458  df-hom 17459  df-cco 17460  df-rest 17600  df-topn 17601  df-0g 17619  df-gsum 17620  df-topgen 17621  df-pt 17622  df-prds 17625  df-xrs 17681  df-qtop 17686  df-imas 17687  df-xps 17689  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-acs 17766  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-submnd 18986  df-mulg 19285  df-cntz 19538  df-cmn 20003  df-psmet 21677  df-xmet 21678  df-met 21679  df-bl 21680  df-mopn 21681  df-fbas 21682  df-fg 21683  df-cnfld 21686  df-top 23219  df-topon 23236  df-topsp 23258  df-bases 23271  df-cld 23344  df-ntr 23345  df-cls 23346  df-nei 23423  df-cn 23552  df-cnp 23553  df-lm 23554  df-haus 23640  df-tx 23888  df-hmeo 24081  df-fil 24172  df-fm 24264  df-flim 24265  df-flf 24266  df-xms 24646  df-ms 24647  df-tms 24648  df-cfil 25583  df-cau 25584  df-cmet 25585  df-grpo 31102  df-gid 31103  df-ginv 31104  df-gdiv 31105  df-ablo 31154  df-vc 31168  df-nv 31201  df-va 31204  df-ba 31205  df-sm 31206  df-0v 31207  df-vs 31208  df-nmcv 31209  df-ims 31210  df-dip 31310  df-ssp 31331  df-ph 31422  df-cbn 31472  df-hnorm 31577  df-hba 31578  df-hvsub 31580  df-hlim 31581  df-hcau 31582  df-sh 31816  df-ch 31830  df-oc 31861  df-ch0 31862  df-shs 31917  df-chj 31919  df-pjh 32004

This theorem is used by:  osumcori  32252  osumcor2i  32253  osum  32254  spansnji  32255  5oai  32270  3oalem5  32275  pjsumi  32319  pjdsi  32321  pjds3i  32322  pjssumi  32780