Theorem cjreb 15150

Description: A number is real iff it equals its complex conjugate. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjreb	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝐴) = 𝐴))

Proof of Theorem cjreb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 15137	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11210	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
3		ax-icn 11132	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4		imcl 15138	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11210	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		mulcl 11157	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	sylancr 596	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
8	2, 7	negsubd 11548	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
9		mulneg2 11624	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
10	3, 5, 9	sylancr 596	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
11	10	oveq2d 7412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))))
12		remim 15144	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
13	8, 11, 12	3eqtr4rd 2808	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))))
14		replim 15143	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
15	13, 14	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴) = 𝐴 ↔ ((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
16	5	negcld 11529	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
17		mulcl 11157	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
18	3, 16, 17	sylancr 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
19	2, 18, 7	addcand 11386	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) ↔ (i · -(ℑ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘𝐴))))
20		eqcom 2769	. . . 4 ⊢ (-(ℑ‘𝐴) = (ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
21	5	eqnegd 11912	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) = -(ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
22	20, 21	bitrid 285	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(ℑ‘𝐴) = (ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
23		ine0 11622	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
24	3, 23	pm3.2i 474	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0))
26		mulcan 11824	. . . 4 ⊢ ((-(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((i · -(ℑ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘𝐴) = (ℑ‘𝐴)))
27	16, 5, 25, 26	syl3anc 1390	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -(ℑ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘𝐴) = (ℑ‘𝐴)))
28		reim0b 15146	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
29	22, 27, 28	3bitr4d 313	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -(ℑ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘𝐴)) ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
30	15, 19, 29	3bitrrd 308	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝐴) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  ici 11075   + caddc 11076   · cmul 11078   − cmin 11414  -cneg 11415  ∗ccj 15123  ℜcre 15124  ℑcim 15125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128

This theorem is referenced by:  cjre  15166  cjmulrcl  15171  cjrebi  15201  cjrebd  15229  hire  31297  constrrtll  34028