Theorem cjreb 15070

Description: A number is real iff it equals its complex conjugate. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjreb	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝐴) = 𝐴))

Proof of Theorem cjreb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 15057	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11242	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
3		ax-icn 11169	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4		imcl 15058	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11242	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		mulcl 11194	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
8	2, 7	negsubd 11577	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
9		mulneg2 11651	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
10	3, 5, 9	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
11	10	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))))
12		remim 15064	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
13	8, 11, 12	3eqtr4rd 2784	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))))
14		replim 15063	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
15	13, 14	eqeq12d 2749	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴) = 𝐴 ↔ ((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
16	5	negcld 11558	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
17		mulcl 11194	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
18	3, 16, 17	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
19	2, 18, 7	addcand 11417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) ↔ (i · -(ℑ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘𝐴))))
20		eqcom 2740	. . . 4 ⊢ (-(ℑ‘𝐴) = (ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
21	5	eqnegd 11935	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) = -(ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
22	20, 21	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(ℑ‘𝐴) = (ℑ‘𝐴) ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
23		ine0 11649	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
24	3, 23	pm3.2i 472	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0))
26		mulcan 11851	. . . 4 ⊢ ((-(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((i · -(ℑ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘𝐴) = (ℑ‘𝐴)))
27	16, 5, 25, 26	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -(ℑ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘𝐴) = (ℑ‘𝐴)))
28		reim0b 15066	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
29	22, 27, 28	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -(ℑ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘𝐴)) ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
30	15, 19, 29	3bitrrd 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝐴) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110  ici 11112   + caddc 11113   · cmul 11115   − cmin 11444  -cneg 11445  ∗ccj 15043  ℜcre 15044  ℑcim 15045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048

This theorem is referenced by:  cjre  15086  cjmulrcl  15091  cjrebi  15121  cjrebd  15149  hire  30347