MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjreb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjreb 15015
Description: A number is real iff it equals its complex conjugate. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjreb (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (โˆ—โ€˜๐ด) = ๐ด))

Proof of Theorem cjreb
StepHypRef Expression
1 recl 15002 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
21recnd 11190 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
3 ax-icn 11117 . . . . . 6 i โˆˆ โ„‚
4 imcl 15003 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
54recnd 11190 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
6 mulcl 11142 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
73, 5, 6sylancr 588 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
82, 7negsubd 11525 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) + -(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
9 mulneg2 11599 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท -(โ„‘โ€˜๐ด)) = -(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))
103, 5, 9sylancr 588 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท -(โ„‘โ€˜๐ด)) = -(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))
1110oveq2d 7378 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท -(โ„‘โ€˜๐ด))) = ((โ„œโ€˜๐ด) + -(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
12 remim 15009 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
138, 11, 123eqtr4rd 2788 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท -(โ„‘โ€˜๐ด))))
14 replim 15008 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
1513, 14eqeq12d 2753 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) = ๐ด โ†” ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท -(โ„‘โ€˜๐ด))) = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
165negcld 11506 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
17 mulcl 11142 . . . 4 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง -(โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท -(โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
183, 16, 17sylancr 588 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท -(โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
192, 18, 7addcand 11365 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท -(โ„‘โ€˜๐ด))) = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ†” (i ยท -(โ„‘โ€˜๐ด)) = (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
20 eqcom 2744 . . . 4 (-(โ„‘โ€˜๐ด) = (โ„‘โ€˜๐ด) โ†” (โ„‘โ€˜๐ด) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
215eqnegd 11883 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) = -(โ„‘โ€˜๐ด) โ†” (โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
2220, 21bitrid 283 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(โ„‘โ€˜๐ด) = (โ„‘โ€˜๐ด) โ†” (โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
23 ine0 11597 . . . . . 6 i โ‰  0
243, 23pm3.2i 472 . . . . 5 (i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0)
2524a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0))
26 mulcan 11799 . . . 4 ((-(โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0)) โ†’ ((i ยท -(โ„‘โ€˜๐ด)) = (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†” -(โ„‘โ€˜๐ด) = (โ„‘โ€˜๐ด)))
2716, 5, 25, 26syl3anc 1372 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท -(โ„‘โ€˜๐ด)) = (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†” -(โ„‘โ€˜๐ด) = (โ„‘โ€˜๐ด)))
28 reim0b 15011 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
2922, 27, 283bitr4d 311 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท -(โ„‘โ€˜๐ด)) = (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†” ๐ด โˆˆ โ„))
3015, 19, 293bitrrd 306 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (โˆ—โ€˜๐ด) = ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  โˆ—ccj 14988  โ„œcre 14989  โ„‘cim 14990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-2 12223  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993
This theorem is referenced by:  cjre  15031  cjmulrcl  15036  cjrebi  15066  cjrebd  15094  hire  30078
  Copyright terms: Public domain W3C validator