MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1k Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt1k 23056
Description: The composition of a one-arg function with a curried function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmptk1.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
cnmptk1.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
cnmpt1k.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘Š))
cnmpt1k.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
cnmpt1k.b (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ (𝐾 Cn (𝑀 ↑ko 𝐿)))
cnmpt1k.c (𝑧 = 𝐴 β†’ 𝐡 = 𝐢)
Assertion
Ref Expression
cnmpt1k (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢)) ∈ (𝐾 Cn (𝑀 ↑ko 𝐽)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑧,𝑍,𝑦   𝑧,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   𝑧,𝐢   𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐴(π‘₯)   𝐡(𝑦,𝑧)   𝐢(π‘₯,𝑦)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝐿(𝑧)   𝑀(𝑧)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑧)   π‘Œ(𝑧)

Proof of Theorem cnmpt1k
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptk1.j . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 cnmptk1.l . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
3 cnmpt1k.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
4 cnf2 22623 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆπ‘)
51, 2, 3, 4syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆπ‘)
6 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
76fmpt 7062 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝑍 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆπ‘)
85, 7sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝑍)
98adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝑍)
10 eqidd 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
11 eqidd 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))
12 cnmpt1k.c . . . 4 (𝑧 = 𝐴 β†’ 𝐡 = 𝐢)
139, 10, 11, 12fmptcof 7080 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢))
1413mpteq2dva 5209 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢)))
15 cnmptk1.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
16 cnmpt1k.b . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ (𝐾 Cn (𝑀 ↑ko 𝐿)))
17 topontop 22285 . . . . 5 (𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘) β†’ 𝐿 ∈ Top)
182, 17syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ Top)
19 cnmpt1k.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘Š))
20 topontop 22285 . . . . 5 (𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘Š) β†’ 𝑀 ∈ Top)
2119, 20syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Top)
22 eqid 2733 . . . . 5 (𝑀 ↑ko 𝐿) = (𝑀 ↑ko 𝐿)
2322xkotopon 22974 . . . 4 ((𝐿 ∈ Top ∧ 𝑀 ∈ Top) β†’ (𝑀 ↑ko 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝐿 Cn 𝑀)))
2418, 21, 23syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀 ↑ko 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝐿 Cn 𝑀)))
2521, 3xkoco1cn 23031 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (𝐿 Cn 𝑀) ↦ (𝑀 ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))) ∈ ((𝑀 ↑ko 𝐿) Cn (𝑀 ↑ko 𝐽)))
26 coeq1 5817 . . 3 (𝑀 = (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β†’ (𝑀 ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)))
2715, 16, 24, 25, 26cnmpt11 23037 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))) ∈ (𝐾 Cn (𝑀 ↑ko 𝐽)))
2814, 27eqeltrrd 2835 1 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢)) ∈ (𝐾 Cn (𝑀 ↑ko 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   ↦ cmpt 5192   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Topctop 22265  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598   ↑ko cxko 22935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-fin 8893  df-fi 9355  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cn 22601  df-cmp 22761  df-xko 22937
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator