Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmpreimacnlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rhmpreimacnlem 33538
Description: Lemma for rhmpreimacn 33539. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmpreimacn.t 𝑇 = (Specβ€˜π‘…)
rhmpreimacn.u π‘ˆ = (Specβ€˜π‘†)
rhmpreimacn.a 𝐴 = (PrmIdealβ€˜π‘…)
rhmpreimacn.b 𝐡 = (PrmIdealβ€˜π‘†)
rhmpreimacn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘‡)
rhmpreimacn.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
rhmpreimacn.g 𝐺 = (𝑖 ∈ 𝐡 ↦ (◑𝐹 β€œ 𝑖))
rhmpreimacn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
rhmpreimacn.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
rhmpreimacn.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
rhmpreimacn.1 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = (Baseβ€˜π‘†))
rhmpreimacnlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
rhmpreimacnlem.v 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝑗 βŠ† π‘˜})
rhmpreimacnlem.w π‘Š = (𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘†) ↦ {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ 𝑗 βŠ† π‘˜})
Assertion
Ref Expression
rhmpreimacnlem (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) = (◑𝐺 β€œ (π‘‰β€˜πΌ)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,π‘˜   𝐡,𝑖,𝑗,π‘˜   π‘˜,𝐹,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼,𝑗,π‘˜   𝑖,𝐽,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗,π‘˜   𝑆,𝑖,𝑗,π‘˜   𝑖,𝑉,𝑗   𝑗,π‘Š   πœ‘,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝑇(𝑖,𝑗,π‘˜)   π‘ˆ(𝑖,𝑗,π‘˜)   𝐺(𝑗,π‘˜)   𝐽(π‘˜)   𝐾(𝑖,𝑗,π‘˜)   𝑉(π‘˜)   π‘Š(𝑖,π‘˜)
Proof of Theorem rhmpreimacnlem
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmpreimacn.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑖 ∈ 𝐡 ↦ (◑𝐹 β€œ 𝑖))
2 imaeq2 6055 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑔 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑖) = (◑𝐹 β€œ 𝑔))
3 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
4 rhmpreimacn.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
54elexd 3485 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
6 cnvexg 7926 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V β†’ ◑𝐹 ∈ V)
7 imaexg 7915 . . . . . . . 8 (◑𝐹 ∈ V β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ V)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ V)
98adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ V)
101, 2, 3, 9fvmptd3 7021 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘”) = (◑𝐹 β€œ 𝑔))
1110eleq1d 2810 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ ((πΊβ€˜π‘”) ∈ (π‘‰β€˜πΌ) ↔ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ (π‘‰β€˜πΌ)))
1211pm5.32da 577 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘”) ∈ (π‘‰β€˜πΌ)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ (π‘‰β€˜πΌ))))
13 rhmpreimacn.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
1413adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
154adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
16 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐡) β†’ 𝑖 ∈ 𝐡)
17 rhmpreimacn.b . . . . . . . 8 𝐡 = (PrmIdealβ€˜π‘†)
1816, 17eleqtrdi 2835 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐡) β†’ 𝑖 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘†))
19 rhmpreimacn.a . . . . . . . 8 𝐴 = (PrmIdealβ€˜π‘…)
2019rhmpreimaprmidl 33212 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘†)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑖) ∈ 𝐴)
2114, 15, 18, 20syl21anc 836 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐡) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑖) ∈ 𝐴)
2221, 1fmptd 7117 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
2322ffnd 6718 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐡)
24 elpreima 7060 . . . 4 (𝐺 Fn 𝐡 β†’ (𝑔 ∈ (◑𝐺 β€œ (π‘‰β€˜πΌ)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘”) ∈ (π‘‰β€˜πΌ))))
2523, 24syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (◑𝐺 β€œ (π‘‰β€˜πΌ)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘”) ∈ (π‘‰β€˜πΌ))))
26 rhmpreimacnlem.w . . . . . . . . 9 π‘Š = (𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘†) ↦ {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ 𝑗 βŠ† π‘˜})
27 sseq1 3999 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝐹 β€œ 𝐼) β†’ (𝑗 βŠ† π‘˜ ↔ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜))
2827rabbidv 3427 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝐹 β€œ 𝐼) β†’ {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ 𝑗 βŠ† π‘˜} = {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜})
29 rhmpreimacn.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = (Baseβ€˜π‘†))
30 rhmpreimacnlem.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
31 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
32 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
33 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (LIdealβ€˜π‘†) = (LIdealβ€˜π‘†)
3431, 32, 33rhmimaidl 33193 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ (𝐹 β€œ 𝐼) ∈ (LIdealβ€˜π‘†))
354, 29, 30, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐼) ∈ (LIdealβ€˜π‘†))
3617fvexi 6904 . . . . . . . . . . 11 𝐡 ∈ V
3736rabex 5330 . . . . . . . . . 10 {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜} ∈ V
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜} ∈ V)
3926, 28, 35, 38fvmptd3 7021 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) = {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜})
4039eleq2d 2811 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜}))
41 sseq2 4000 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑔 β†’ ((𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜ ↔ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝑔))
4241elrab 3676 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜} ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝑔))
4340, 42bitrdi 286 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝑔)))
44 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4544, 31rhmf 20423 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘†))
464, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘†))
4746ffund 6721 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
4844, 32lidlss 21107 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
4930, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
5046fdmd 6727 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = (Baseβ€˜π‘…))
5149, 50sseqtrrd 4015 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† dom 𝐹)
52 funimass3 7056 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐼 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝑔 ↔ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔)))
5347, 51, 52syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝑔 ↔ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔)))
5453anbi2d 628 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝑔) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔))))
5513adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
564adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
573, 17eleqtrdi 2835 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘†))
5819rhmpreimaprmidl 33212 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘†)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ 𝐴)
5955, 56, 57, 58syl21anc 836 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ 𝐴)
6059biantrurd 531 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔) ↔ ((◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔))))
6160pm5.32da 577 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐡 ∧ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ ((◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔)))))
6243, 54, 613bitrd 304 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ ((◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔)))))
63 sseq2 4000 . . . . . . 7 (π‘˜ = (◑𝐹 β€œ 𝑔) β†’ (𝐼 βŠ† π‘˜ ↔ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔)))
6463elrab 3676 . . . . . 6 ((◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜} ↔ ((◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔)))
6564anbi2i 621 . . . . 5 ((𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜}) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ ((◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔))))
6662, 65bitr4di 288 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜})))
67 rhmpreimacnlem.v . . . . . . 7 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝑗 βŠ† π‘˜})
68 sseq1 3999 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐼 β†’ (𝑗 βŠ† π‘˜ ↔ 𝐼 βŠ† π‘˜))
6968rabbidv 3427 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐼 β†’ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝑗 βŠ† π‘˜} = {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜})
7019fvexi 6904 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V
7170rabex 5330 . . . . . . . 8 {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜} ∈ V
7271a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜} ∈ V)
7367, 69, 30, 72fvmptd3 7021 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‰β€˜πΌ) = {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜})
7473eleq2d 2811 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ (π‘‰β€˜πΌ) ↔ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜}))
7574anbi2d 628 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ (π‘‰β€˜πΌ)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜})))
7666, 75bitr4d 281 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ (π‘‰β€˜πΌ))))
7712, 25, 763bitr4rd 311 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ (◑𝐺 β€œ (π‘‰β€˜πΌ))))
7877eqrdv 2723 1 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) = (◑𝐺 β€œ (π‘‰β€˜πΌ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463   βŠ† wss 3941   ↦ cmpt 5227  β—‘ccnv 5672  dom cdm 5673  ran crn 5674   β€œ cima 5676  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  TopOpenctopn 17397  CRingccrg 20173   RingHom crh 20407  LIdealclidl 21101  PrmIdealcprmidl 33196  Speccrspec 33516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-rhm 20410  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-lidl 21103  df-rsp 21104  df-prmidl 33197
This theorem is referenced by:  rhmpreimacn  33539
  Copyright terms: Public domain W3C validator