Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmpreimacnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmpreimacnlem 32802
Description: Lemma for rhmpreimacn 32803. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmpreimacn.t 𝑇 = (Spec‘𝑅)
rhmpreimacn.u 𝑈 = (Spec‘𝑆)
rhmpreimacn.a 𝐴 = (PrmIdeal‘𝑅)
rhmpreimacn.b 𝐵 = (PrmIdeal‘𝑆)
rhmpreimacn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑇)
rhmpreimacn.k 𝐾 = (TopOpen‘𝑈)
rhmpreimacn.g 𝐺 = (𝑖𝐵 ↦ (𝐹𝑖))
rhmpreimacn.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
rhmpreimacn.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
rhmpreimacn.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
rhmpreimacn.1 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑆))
rhmpreimacnlem.1 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
rhmpreimacnlem.v 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑘𝐴𝑗𝑘})
rhmpreimacnlem.w 𝑊 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑆) ↦ {𝑘𝐵𝑗𝑘})
Assertion
Ref Expression
rhmpreimacnlem (𝜑 → (𝑊‘(𝐹𝐼)) = (𝐺 “ (𝑉𝐼)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,𝑘   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘   𝑘,𝐹,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼,𝑗,𝑘   𝑖,𝐽,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗,𝑘   𝑆,𝑖,𝑗,𝑘   𝑖,𝑉,𝑗   𝑗,𝑊   𝜑,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑇(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑈(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐺(𝑗,𝑘)   𝐽(𝑘)   𝐾(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑖,𝑘)

Proof of Theorem rhmpreimacnlem
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmpreimacn.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑖𝐵 ↦ (𝐹𝑖))
2 imaeq2 6053 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑔 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑔))
3 simpr 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐵) → 𝑔𝐵)
4 rhmpreimacn.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
54elexd 3495 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ V)
6 cnvexg 7910 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ V)
7 imaexg 7901 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V → (𝐹𝑔) ∈ V)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑔) ∈ V)
98adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐵) → (𝐹𝑔) ∈ V)
101, 2, 3, 9fvmptd3 7017 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐵) → (𝐺𝑔) = (𝐹𝑔))
1110eleq1d 2819 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐵) → ((𝐺𝑔) ∈ (𝑉𝐼) ↔ (𝐹𝑔) ∈ (𝑉𝐼)))
1211pm5.32da 580 . . 3 (𝜑 → ((𝑔𝐵 ∧ (𝐺𝑔) ∈ (𝑉𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ (𝑉𝐼))))
13 rhmpreimacn.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
1413adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
154adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
16 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐵) → 𝑖𝐵)
17 rhmpreimacn.b . . . . . . . 8 𝐵 = (PrmIdeal‘𝑆)
1816, 17eleqtrdi 2844 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐵) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑆))
19 rhmpreimacn.a . . . . . . . 8 𝐴 = (PrmIdeal‘𝑅)
2019rhmpreimaprmidl 32528 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑆)) → (𝐹𝑖) ∈ 𝐴)
2114, 15, 18, 20syl21anc 837 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐵) → (𝐹𝑖) ∈ 𝐴)
2221, 1fmptd 7109 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
2322ffnd 6715 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
24 elpreima 7055 . . . 4 (𝐺 Fn 𝐵 → (𝑔 ∈ (𝐺 “ (𝑉𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐺𝑔) ∈ (𝑉𝐼))))
2523, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝐺 “ (𝑉𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐺𝑔) ∈ (𝑉𝐼))))
26 rhmpreimacnlem.w . . . . . . . . 9 𝑊 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑆) ↦ {𝑘𝐵𝑗𝑘})
27 sseq1 4006 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝐹𝐼) → (𝑗𝑘 ↔ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘))
2827rabbidv 3441 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝐹𝐼) → {𝑘𝐵𝑗𝑘} = {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘})
29 rhmpreimacn.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑆))
30 rhmpreimacnlem.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
31 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
32 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
33 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (LIdeal‘𝑆) = (LIdeal‘𝑆)
3431, 32, 33rhmimaidl 32508 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = (Base‘𝑆) ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝐹𝐼) ∈ (LIdeal‘𝑆))
354, 29, 30, 34syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐼) ∈ (LIdeal‘𝑆))
3617fvexi 6902 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ V
3736rabex 5331 . . . . . . . . . 10 {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘} ∈ V
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘} ∈ V)
3926, 28, 35, 38fvmptd3 7017 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊‘(𝐹𝐼)) = {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘})
4039eleq2d 2820 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘}))
41 sseq2 4007 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑔 → ((𝐹𝐼) ⊆ 𝑘 ↔ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑔))
4241elrab 3682 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘} ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑔))
4340, 42bitrdi 287 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑔)))
44 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4544, 31rhmf 20252 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
464, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
4746ffund 6718 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐹)
4844, 32lidlss 20820 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
4930, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
5046fdmd 6725 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝑅))
5149, 50sseqtrrd 4022 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ⊆ dom 𝐹)
52 funimass3 7051 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝐼 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐼) ⊆ 𝑔𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))
5347, 51, 52syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐼) ⊆ 𝑔𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))
5453anbi2d 630 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑔) ↔ (𝑔𝐵𝐼 ⊆ (𝐹𝑔))))
5513adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
564adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
573, 17eleqtrdi 2844 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (PrmIdeal‘𝑆))
5819rhmpreimaprmidl 32528 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ (PrmIdeal‘𝑆)) → (𝐹𝑔) ∈ 𝐴)
5955, 56, 57, 58syl21anc 837 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐵) → (𝐹𝑔) ∈ 𝐴)
6059biantrurd 534 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐵) → (𝐼 ⊆ (𝐹𝑔) ↔ ((𝐹𝑔) ∈ 𝐴𝐼 ⊆ (𝐹𝑔))))
6160pm5.32da 580 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑔𝐵𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ ((𝐹𝑔) ∈ 𝐴𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))))
6243, 54, 613bitrd 305 . . . . 5 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ ((𝐹𝑔) ∈ 𝐴𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))))
63 sseq2 4007 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝐹𝑔) → (𝐼𝑘𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))
6463elrab 3682 . . . . . 6 ((𝐹𝑔) ∈ {𝑘𝐴𝐼𝑘} ↔ ((𝐹𝑔) ∈ 𝐴𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))
6564anbi2i 624 . . . . 5 ((𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ {𝑘𝐴𝐼𝑘}) ↔ (𝑔𝐵 ∧ ((𝐹𝑔) ∈ 𝐴𝐼 ⊆ (𝐹𝑔))))
6662, 65bitr4di 289 . . . 4 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ {𝑘𝐴𝐼𝑘})))
67 rhmpreimacnlem.v . . . . . . 7 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑘𝐴𝑗𝑘})
68 sseq1 4006 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐼 → (𝑗𝑘𝐼𝑘))
6968rabbidv 3441 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐼 → {𝑘𝐴𝑗𝑘} = {𝑘𝐴𝐼𝑘})
7019fvexi 6902 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V
7170rabex 5331 . . . . . . . 8 {𝑘𝐴𝐼𝑘} ∈ V
7271a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑘𝐴𝐼𝑘} ∈ V)
7367, 69, 30, 72fvmptd3 7017 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉𝐼) = {𝑘𝐴𝐼𝑘})
7473eleq2d 2820 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝑔) ∈ (𝑉𝐼) ↔ (𝐹𝑔) ∈ {𝑘𝐴𝐼𝑘}))
7574anbi2d 630 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ (𝑉𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ {𝑘𝐴𝐼𝑘})))
7666, 75bitr4d 282 . . 3 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ (𝑉𝐼))))
7712, 25, 763bitr4rd 312 . 2 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ (𝐺 “ (𝑉𝐼))))
7877eqrdv 2731 1 (𝜑 → (𝑊‘(𝐹𝐼)) = (𝐺 “ (𝑉𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475  wss 3947  cmpt 5230  ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676  cima 5678  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  TopOpenctopn 17363  CRingccrg 20048   RingHom crh 20237  LIdealclidl 20771  PrmIdealcprmidl 32511  Speccrspec 32780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cmn 19643  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-cring 20050  df-rnghom 20240  df-subrg 20349  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-lsp 20571  df-sra 20773  df-rgmod 20774  df-lidl 20775  df-rsp 20776  df-prmidl 32512
This theorem is referenced by:  rhmpreimacn  32803
  Copyright terms: Public domain W3C validator