Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmpreimacnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmpreimacnlem 32554
Description: Lemma for rhmpreimacn 32555. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmpreimacn.t 𝑇 = (Spec‘𝑅)
rhmpreimacn.u 𝑈 = (Spec‘𝑆)
rhmpreimacn.a 𝐴 = (PrmIdeal‘𝑅)
rhmpreimacn.b 𝐵 = (PrmIdeal‘𝑆)
rhmpreimacn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑇)
rhmpreimacn.k 𝐾 = (TopOpen‘𝑈)
rhmpreimacn.g 𝐺 = (𝑖𝐵 ↦ (𝐹𝑖))
rhmpreimacn.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
rhmpreimacn.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
rhmpreimacn.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
rhmpreimacn.1 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑆))
rhmpreimacnlem.1 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
rhmpreimacnlem.v 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑘𝐴𝑗𝑘})
rhmpreimacnlem.w 𝑊 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑆) ↦ {𝑘𝐵𝑗𝑘})
Assertion
Ref Expression
rhmpreimacnlem (𝜑 → (𝑊‘(𝐹𝐼)) = (𝐺 “ (𝑉𝐼)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,𝑘   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘   𝑘,𝐹,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼,𝑗,𝑘   𝑖,𝐽,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗,𝑘   𝑆,𝑖,𝑗,𝑘   𝑖,𝑉,𝑗   𝑗,𝑊   𝜑,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑇(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑈(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐺(𝑗,𝑘)   𝐽(𝑘)   𝐾(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑖,𝑘)

Proof of Theorem rhmpreimacnlem
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmpreimacn.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑖𝐵 ↦ (𝐹𝑖))
2 imaeq2 6014 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑔 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑔))
3 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐵) → 𝑔𝐵)
4 rhmpreimacn.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
54elexd 3466 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ V)
6 cnvexg 7866 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ V)
7 imaexg 7857 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V → (𝐹𝑔) ∈ V)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑔) ∈ V)
98adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐵) → (𝐹𝑔) ∈ V)
101, 2, 3, 9fvmptd3 6976 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐵) → (𝐺𝑔) = (𝐹𝑔))
1110eleq1d 2817 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐵) → ((𝐺𝑔) ∈ (𝑉𝐼) ↔ (𝐹𝑔) ∈ (𝑉𝐼)))
1211pm5.32da 579 . . 3 (𝜑 → ((𝑔𝐵 ∧ (𝐺𝑔) ∈ (𝑉𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ (𝑉𝐼))))
13 rhmpreimacn.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
1413adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
154adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
16 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐵) → 𝑖𝐵)
17 rhmpreimacn.b . . . . . . . 8 𝐵 = (PrmIdeal‘𝑆)
1816, 17eleqtrdi 2842 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐵) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑆))
19 rhmpreimacn.a . . . . . . . 8 𝐴 = (PrmIdeal‘𝑅)
2019rhmpreimaprmidl 32300 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑆)) → (𝐹𝑖) ∈ 𝐴)
2114, 15, 18, 20syl21anc 836 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐵) → (𝐹𝑖) ∈ 𝐴)
2221, 1fmptd 7067 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
2322ffnd 6674 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
24 elpreima 7013 . . . 4 (𝐺 Fn 𝐵 → (𝑔 ∈ (𝐺 “ (𝑉𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐺𝑔) ∈ (𝑉𝐼))))
2523, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝐺 “ (𝑉𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐺𝑔) ∈ (𝑉𝐼))))
26 rhmpreimacnlem.w . . . . . . . . 9 𝑊 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑆) ↦ {𝑘𝐵𝑗𝑘})
27 sseq1 3972 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝐹𝐼) → (𝑗𝑘 ↔ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘))
2827rabbidv 3413 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝐹𝐼) → {𝑘𝐵𝑗𝑘} = {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘})
29 rhmpreimacn.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑆))
30 rhmpreimacnlem.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
31 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
32 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
33 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (LIdeal‘𝑆) = (LIdeal‘𝑆)
3431, 32, 33rhmimaidl 32282 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = (Base‘𝑆) ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝐹𝐼) ∈ (LIdeal‘𝑆))
354, 29, 30, 34syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐼) ∈ (LIdeal‘𝑆))
3617fvexi 6861 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ V
3736rabex 5294 . . . . . . . . . 10 {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘} ∈ V
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘} ∈ V)
3926, 28, 35, 38fvmptd3 6976 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊‘(𝐹𝐼)) = {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘})
4039eleq2d 2818 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘}))
41 sseq2 3973 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑔 → ((𝐹𝐼) ⊆ 𝑘 ↔ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑔))
4241elrab 3648 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘} ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑔))
4340, 42bitrdi 286 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑔)))
44 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4544, 31rhmf 20174 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
464, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
4746ffund 6677 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐹)
4844, 32lidlss 20739 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
4930, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
5046fdmd 6684 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝑅))
5149, 50sseqtrrd 3988 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ⊆ dom 𝐹)
52 funimass3 7009 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝐼 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐼) ⊆ 𝑔𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))
5347, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐼) ⊆ 𝑔𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))
5453anbi2d 629 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑔) ↔ (𝑔𝐵𝐼 ⊆ (𝐹𝑔))))
5513adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
564adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
573, 17eleqtrdi 2842 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (PrmIdeal‘𝑆))
5819rhmpreimaprmidl 32300 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ (PrmIdeal‘𝑆)) → (𝐹𝑔) ∈ 𝐴)
5955, 56, 57, 58syl21anc 836 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐵) → (𝐹𝑔) ∈ 𝐴)
6059biantrurd 533 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐵) → (𝐼 ⊆ (𝐹𝑔) ↔ ((𝐹𝑔) ∈ 𝐴𝐼 ⊆ (𝐹𝑔))))
6160pm5.32da 579 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑔𝐵𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ ((𝐹𝑔) ∈ 𝐴𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))))
6243, 54, 613bitrd 304 . . . . 5 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ ((𝐹𝑔) ∈ 𝐴𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))))
63 sseq2 3973 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝐹𝑔) → (𝐼𝑘𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))
6463elrab 3648 . . . . . 6 ((𝐹𝑔) ∈ {𝑘𝐴𝐼𝑘} ↔ ((𝐹𝑔) ∈ 𝐴𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))
6564anbi2i 623 . . . . 5 ((𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ {𝑘𝐴𝐼𝑘}) ↔ (𝑔𝐵 ∧ ((𝐹𝑔) ∈ 𝐴𝐼 ⊆ (𝐹𝑔))))
6662, 65bitr4di 288 . . . 4 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ {𝑘𝐴𝐼𝑘})))
67 rhmpreimacnlem.v . . . . . . 7 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑘𝐴𝑗𝑘})
68 sseq1 3972 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐼 → (𝑗𝑘𝐼𝑘))
6968rabbidv 3413 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐼 → {𝑘𝐴𝑗𝑘} = {𝑘𝐴𝐼𝑘})
7019fvexi 6861 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V
7170rabex 5294 . . . . . . . 8 {𝑘𝐴𝐼𝑘} ∈ V
7271a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑘𝐴𝐼𝑘} ∈ V)
7367, 69, 30, 72fvmptd3 6976 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉𝐼) = {𝑘𝐴𝐼𝑘})
7473eleq2d 2818 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝑔) ∈ (𝑉𝐼) ↔ (𝐹𝑔) ∈ {𝑘𝐴𝐼𝑘}))
7574anbi2d 629 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ (𝑉𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ {𝑘𝐴𝐼𝑘})))
7666, 75bitr4d 281 . . 3 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ (𝑉𝐼))))
7712, 25, 763bitr4rd 311 . 2 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ (𝐺 “ (𝑉𝐼))))
7877eqrdv 2729 1 (𝜑 → (𝑊‘(𝐹𝐼)) = (𝐺 “ (𝑉𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3405  Vcvv 3446  wss 3913  cmpt 5193  ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639  cima 5641  Fun wfun 6495   Fn wfn 6496  wf 6497  cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17094  TopOpenctopn 17317  CRingccrg 19979   RingHom crh 20159  LIdealclidl 20690  PrmIdealcprmidl 32283  Speccrspec 32532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-0g 17337  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-mhm 18615  df-grp 18765  df-minusg 18766  df-sbg 18767  df-subg 18939  df-ghm 19020  df-cmn 19578  df-mgp 19911  df-ur 19928  df-ring 19980  df-cring 19981  df-rnghom 20162  df-subrg 20268  df-lmod 20380  df-lss 20450  df-lsp 20490  df-sra 20692  df-rgmod 20693  df-lidl 20694  df-rsp 20695  df-prmidl 32284
This theorem is referenced by:  rhmpreimacn  32555
  Copyright terms: Public domain W3C validator