Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmpreimacnlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rhmpreimacnlem 33421
Description: Lemma for rhmpreimacn 33422. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmpreimacn.t 𝑇 = (Specβ€˜π‘…)
rhmpreimacn.u π‘ˆ = (Specβ€˜π‘†)
rhmpreimacn.a 𝐴 = (PrmIdealβ€˜π‘…)
rhmpreimacn.b 𝐡 = (PrmIdealβ€˜π‘†)
rhmpreimacn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘‡)
rhmpreimacn.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
rhmpreimacn.g 𝐺 = (𝑖 ∈ 𝐡 ↦ (◑𝐹 β€œ 𝑖))
rhmpreimacn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
rhmpreimacn.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
rhmpreimacn.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
rhmpreimacn.1 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = (Baseβ€˜π‘†))
rhmpreimacnlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
rhmpreimacnlem.v 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝑗 βŠ† π‘˜})
rhmpreimacnlem.w π‘Š = (𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘†) ↦ {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ 𝑗 βŠ† π‘˜})
Assertion
Ref Expression
rhmpreimacnlem (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) = (◑𝐺 β€œ (π‘‰β€˜πΌ)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,π‘˜   𝐡,𝑖,𝑗,π‘˜   π‘˜,𝐹,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼,𝑗,π‘˜   𝑖,𝐽,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗,π‘˜   𝑆,𝑖,𝑗,π‘˜   𝑖,𝑉,𝑗   𝑗,π‘Š   πœ‘,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝑇(𝑖,𝑗,π‘˜)   π‘ˆ(𝑖,𝑗,π‘˜)   𝐺(𝑗,π‘˜)   𝐽(π‘˜)   𝐾(𝑖,𝑗,π‘˜)   𝑉(π‘˜)   π‘Š(𝑖,π‘˜)
Proof of Theorem rhmpreimacnlem
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmpreimacn.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑖 ∈ 𝐡 ↦ (◑𝐹 β€œ 𝑖))
2 imaeq2 6053 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑔 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑖) = (◑𝐹 β€œ 𝑔))
3 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
4 rhmpreimacn.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
54elexd 3490 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
6 cnvexg 7926 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V β†’ ◑𝐹 ∈ V)
7 imaexg 7915 . . . . . . . 8 (◑𝐹 ∈ V β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ V)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ V)
98adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ V)
101, 2, 3, 9fvmptd3 7022 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘”) = (◑𝐹 β€œ 𝑔))
1110eleq1d 2813 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ ((πΊβ€˜π‘”) ∈ (π‘‰β€˜πΌ) ↔ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ (π‘‰β€˜πΌ)))
1211pm5.32da 578 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘”) ∈ (π‘‰β€˜πΌ)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ (π‘‰β€˜πΌ))))
13 rhmpreimacn.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
154adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
16 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐡) β†’ 𝑖 ∈ 𝐡)
17 rhmpreimacn.b . . . . . . . 8 𝐡 = (PrmIdealβ€˜π‘†)
1816, 17eleqtrdi 2838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐡) β†’ 𝑖 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘†))
19 rhmpreimacn.a . . . . . . . 8 𝐴 = (PrmIdealβ€˜π‘…)
2019rhmpreimaprmidl 33103 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘†)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑖) ∈ 𝐴)
2114, 15, 18, 20syl21anc 837 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐡) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑖) ∈ 𝐴)
2221, 1fmptd 7118 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
2322ffnd 6717 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐡)
24 elpreima 7061 . . . 4 (𝐺 Fn 𝐡 β†’ (𝑔 ∈ (◑𝐺 β€œ (π‘‰β€˜πΌ)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘”) ∈ (π‘‰β€˜πΌ))))
2523, 24syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (◑𝐺 β€œ (π‘‰β€˜πΌ)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘”) ∈ (π‘‰β€˜πΌ))))
26 rhmpreimacnlem.w . . . . . . . . 9 π‘Š = (𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘†) ↦ {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ 𝑗 βŠ† π‘˜})
27 sseq1 4003 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝐹 β€œ 𝐼) β†’ (𝑗 βŠ† π‘˜ ↔ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜))
2827rabbidv 3435 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝐹 β€œ 𝐼) β†’ {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ 𝑗 βŠ† π‘˜} = {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜})
29 rhmpreimacn.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = (Baseβ€˜π‘†))
30 rhmpreimacnlem.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
31 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
32 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
33 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (LIdealβ€˜π‘†) = (LIdealβ€˜π‘†)
3431, 32, 33rhmimaidl 33083 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ (𝐹 β€œ 𝐼) ∈ (LIdealβ€˜π‘†))
354, 29, 30, 34syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐼) ∈ (LIdealβ€˜π‘†))
3617fvexi 6905 . . . . . . . . . . 11 𝐡 ∈ V
3736rabex 5328 . . . . . . . . . 10 {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜} ∈ V
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜} ∈ V)
3926, 28, 35, 38fvmptd3 7022 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) = {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜})
4039eleq2d 2814 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜}))
41 sseq2 4004 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑔 β†’ ((𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜ ↔ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝑔))
4241elrab 3680 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜} ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝑔))
4340, 42bitrdi 287 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝑔)))
44 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4544, 31rhmf 20413 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘†))
464, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘†))
4746ffund 6720 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
4844, 32lidlss 21097 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
4930, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
5046fdmd 6727 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = (Baseβ€˜π‘…))
5149, 50sseqtrrd 4019 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† dom 𝐹)
52 funimass3 7057 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐼 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝑔 ↔ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔)))
5347, 51, 52syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝑔 ↔ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔)))
5453anbi2d 628 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝑔) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔))))
5513adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
564adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
573, 17eleqtrdi 2838 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘†))
5819rhmpreimaprmidl 33103 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘†)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ 𝐴)
5955, 56, 57, 58syl21anc 837 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ 𝐴)
6059biantrurd 532 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔) ↔ ((◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔))))
6160pm5.32da 578 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐡 ∧ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ ((◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔)))))
6243, 54, 613bitrd 305 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ ((◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔)))))
63 sseq2 4004 . . . . . . 7 (π‘˜ = (◑𝐹 β€œ 𝑔) β†’ (𝐼 βŠ† π‘˜ ↔ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔)))
6463elrab 3680 . . . . . 6 ((◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜} ↔ ((◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔)))
6564anbi2i 622 . . . . 5 ((𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜}) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ ((◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔))))
6662, 65bitr4di 289 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜})))
67 rhmpreimacnlem.v . . . . . . 7 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝑗 βŠ† π‘˜})
68 sseq1 4003 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐼 β†’ (𝑗 βŠ† π‘˜ ↔ 𝐼 βŠ† π‘˜))
6968rabbidv 3435 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐼 β†’ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝑗 βŠ† π‘˜} = {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜})
7019fvexi 6905 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V
7170rabex 5328 . . . . . . . 8 {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜} ∈ V
7271a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜} ∈ V)
7367, 69, 30, 72fvmptd3 7022 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‰β€˜πΌ) = {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜})
7473eleq2d 2814 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ (π‘‰β€˜πΌ) ↔ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜}))
7574anbi2d 628 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ (π‘‰β€˜πΌ)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜})))
7666, 75bitr4d 282 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ (π‘‰β€˜πΌ))))
7712, 25, 763bitr4rd 312 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ (◑𝐺 β€œ (π‘‰β€˜πΌ))))
7877eqrdv 2725 1 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) = (◑𝐺 β€œ (π‘‰β€˜πΌ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944   ↦ cmpt 5225  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672  ran crn 5673   β€œ cima 5675  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  TopOpenctopn 17394  CRingccrg 20165   RingHom crh 20397  LIdealclidl 21091  PrmIdealcprmidl 33086  Speccrspec 33399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-rhm 20400  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-rsp 21094  df-prmidl 33087
This theorem is referenced by:  rhmpreimacn  33422
  Copyright terms: Public domain W3C validator