Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmpreimacnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmpreimacnlem 32679
Description: Lemma for rhmpreimacn 32680. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmpreimacn.t 𝑇 = (Spec‘𝑅)
rhmpreimacn.u 𝑈 = (Spec‘𝑆)
rhmpreimacn.a 𝐴 = (PrmIdeal‘𝑅)
rhmpreimacn.b 𝐵 = (PrmIdeal‘𝑆)
rhmpreimacn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑇)
rhmpreimacn.k 𝐾 = (TopOpen‘𝑈)
rhmpreimacn.g 𝐺 = (𝑖𝐵 ↦ (𝐹𝑖))
rhmpreimacn.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
rhmpreimacn.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
rhmpreimacn.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
rhmpreimacn.1 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑆))
rhmpreimacnlem.1 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
rhmpreimacnlem.v 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑘𝐴𝑗𝑘})
rhmpreimacnlem.w 𝑊 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑆) ↦ {𝑘𝐵𝑗𝑘})
Assertion
Ref Expression
rhmpreimacnlem (𝜑 → (𝑊‘(𝐹𝐼)) = (𝐺 “ (𝑉𝐼)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,𝑘   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘   𝑘,𝐹,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼,𝑗,𝑘   𝑖,𝐽,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗,𝑘   𝑆,𝑖,𝑗,𝑘   𝑖,𝑉,𝑗   𝑗,𝑊   𝜑,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑇(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑈(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐺(𝑗,𝑘)   𝐽(𝑘)   𝐾(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑖,𝑘)

Proof of Theorem rhmpreimacnlem
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmpreimacn.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑖𝐵 ↦ (𝐹𝑖))
2 imaeq2 6042 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑔 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑔))
3 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐵) → 𝑔𝐵)
4 rhmpreimacn.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
54elexd 3490 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ V)
6 cnvexg 7894 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ V)
7 imaexg 7885 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V → (𝐹𝑔) ∈ V)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑔) ∈ V)
98adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐵) → (𝐹𝑔) ∈ V)
101, 2, 3, 9fvmptd3 7004 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐵) → (𝐺𝑔) = (𝐹𝑔))
1110eleq1d 2817 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐵) → ((𝐺𝑔) ∈ (𝑉𝐼) ↔ (𝐹𝑔) ∈ (𝑉𝐼)))
1211pm5.32da 579 . . 3 (𝜑 → ((𝑔𝐵 ∧ (𝐺𝑔) ∈ (𝑉𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ (𝑉𝐼))))
13 rhmpreimacn.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
1413adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
154adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
16 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐵) → 𝑖𝐵)
17 rhmpreimacn.b . . . . . . . 8 𝐵 = (PrmIdeal‘𝑆)
1816, 17eleqtrdi 2842 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐵) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑆))
19 rhmpreimacn.a . . . . . . . 8 𝐴 = (PrmIdeal‘𝑅)
2019rhmpreimaprmidl 32413 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑆)) → (𝐹𝑖) ∈ 𝐴)
2114, 15, 18, 20syl21anc 836 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐵) → (𝐹𝑖) ∈ 𝐴)
2221, 1fmptd 7095 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
2322ffnd 6702 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
24 elpreima 7041 . . . 4 (𝐺 Fn 𝐵 → (𝑔 ∈ (𝐺 “ (𝑉𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐺𝑔) ∈ (𝑉𝐼))))
2523, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝐺 “ (𝑉𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐺𝑔) ∈ (𝑉𝐼))))
26 rhmpreimacnlem.w . . . . . . . . 9 𝑊 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑆) ↦ {𝑘𝐵𝑗𝑘})
27 sseq1 4000 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝐹𝐼) → (𝑗𝑘 ↔ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘))
2827rabbidv 3437 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝐹𝐼) → {𝑘𝐵𝑗𝑘} = {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘})
29 rhmpreimacn.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑆))
30 rhmpreimacnlem.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
31 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
32 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
33 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (LIdeal‘𝑆) = (LIdeal‘𝑆)
3431, 32, 33rhmimaidl 32395 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = (Base‘𝑆) ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝐹𝐼) ∈ (LIdeal‘𝑆))
354, 29, 30, 34syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐼) ∈ (LIdeal‘𝑆))
3617fvexi 6889 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ V
3736rabex 5322 . . . . . . . . . 10 {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘} ∈ V
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘} ∈ V)
3926, 28, 35, 38fvmptd3 7004 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊‘(𝐹𝐼)) = {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘})
4039eleq2d 2818 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘}))
41 sseq2 4001 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑔 → ((𝐹𝐼) ⊆ 𝑘 ↔ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑔))
4241elrab 3676 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘} ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑔))
4340, 42bitrdi 286 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑔)))
44 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4544, 31rhmf 20210 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
464, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
4746ffund 6705 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐹)
4844, 32lidlss 20776 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
4930, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
5046fdmd 6712 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝑅))
5149, 50sseqtrrd 4016 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ⊆ dom 𝐹)
52 funimass3 7037 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝐼 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐼) ⊆ 𝑔𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))
5347, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐼) ⊆ 𝑔𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))
5453anbi2d 629 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑔) ↔ (𝑔𝐵𝐼 ⊆ (𝐹𝑔))))
5513adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
564adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
573, 17eleqtrdi 2842 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (PrmIdeal‘𝑆))
5819rhmpreimaprmidl 32413 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ (PrmIdeal‘𝑆)) → (𝐹𝑔) ∈ 𝐴)
5955, 56, 57, 58syl21anc 836 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐵) → (𝐹𝑔) ∈ 𝐴)
6059biantrurd 533 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐵) → (𝐼 ⊆ (𝐹𝑔) ↔ ((𝐹𝑔) ∈ 𝐴𝐼 ⊆ (𝐹𝑔))))
6160pm5.32da 579 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑔𝐵𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ ((𝐹𝑔) ∈ 𝐴𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))))
6243, 54, 613bitrd 304 . . . . 5 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ ((𝐹𝑔) ∈ 𝐴𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))))
63 sseq2 4001 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝐹𝑔) → (𝐼𝑘𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))
6463elrab 3676 . . . . . 6 ((𝐹𝑔) ∈ {𝑘𝐴𝐼𝑘} ↔ ((𝐹𝑔) ∈ 𝐴𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))
6564anbi2i 623 . . . . 5 ((𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ {𝑘𝐴𝐼𝑘}) ↔ (𝑔𝐵 ∧ ((𝐹𝑔) ∈ 𝐴𝐼 ⊆ (𝐹𝑔))))
6662, 65bitr4di 288 . . . 4 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ {𝑘𝐴𝐼𝑘})))
67 rhmpreimacnlem.v . . . . . . 7 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑘𝐴𝑗𝑘})
68 sseq1 4000 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐼 → (𝑗𝑘𝐼𝑘))
6968rabbidv 3437 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐼 → {𝑘𝐴𝑗𝑘} = {𝑘𝐴𝐼𝑘})
7019fvexi 6889 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V
7170rabex 5322 . . . . . . . 8 {𝑘𝐴𝐼𝑘} ∈ V
7271a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑘𝐴𝐼𝑘} ∈ V)
7367, 69, 30, 72fvmptd3 7004 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉𝐼) = {𝑘𝐴𝐼𝑘})
7473eleq2d 2818 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝑔) ∈ (𝑉𝐼) ↔ (𝐹𝑔) ∈ {𝑘𝐴𝐼𝑘}))
7574anbi2d 629 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ (𝑉𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ {𝑘𝐴𝐼𝑘})))
7666, 75bitr4d 281 . . 3 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ (𝑉𝐼))))
7712, 25, 763bitr4rd 311 . 2 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ (𝐺 “ (𝑉𝐼))))
7877eqrdv 2729 1 (𝜑 → (𝑊‘(𝐹𝐼)) = (𝐺 “ (𝑉𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3429  Vcvv 3470  wss 3941  cmpt 5221  ccnv 5665  dom cdm 5666  ran crn 5667  cima 5669  Fun wfun 6523   Fn wfn 6524  wf 6525  cfv 6529  (class class class)co 7390  Basecbs 17123  TopOpenctopn 17346  CRingccrg 20012   RingHom crh 20195  LIdealclidl 20727  PrmIdealcprmidl 32396  Speccrspec 32657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-er 8683  df-map 8802  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12192  df-2 12254  df-3 12255  df-4 12256  df-5 12257  df-6 12258  df-7 12259  df-8 12260  df-sets 17076  df-slot 17094  df-ndx 17106  df-base 17124  df-ress 17153  df-plusg 17189  df-mulr 17190  df-sca 17192  df-vsca 17193  df-ip 17194  df-0g 17366  df-mgm 18540  df-sgrp 18589  df-mnd 18600  df-mhm 18644  df-grp 18794  df-minusg 18795  df-sbg 18796  df-subg 18972  df-ghm 19053  df-cmn 19611  df-mgp 19944  df-ur 19961  df-ring 20013  df-cring 20014  df-rnghom 20198  df-subrg 20305  df-lmod 20417  df-lss 20487  df-lsp 20527  df-sra 20729  df-rgmod 20730  df-lidl 20731  df-rsp 20732  df-prmidl 32397
This theorem is referenced by:  rhmpreimacn  32680
  Copyright terms: Public domain W3C validator