Theorem rhmpreimacnlem 34020

Description: Lemma for rhmpreimacn 34021. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmpreimacn.t	⊢ 𝑇 = (Spec‘𝑅)
rhmpreimacn.u	⊢ 𝑈 = (Spec‘𝑆)
rhmpreimacn.a	⊢ 𝐴 = (PrmIdeal‘𝑅)
rhmpreimacn.b	⊢ 𝐵 = (PrmIdeal‘𝑆)
rhmpreimacn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑇)
rhmpreimacn.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑈)
rhmpreimacn.g	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (◡𝐹 “ 𝑖))
rhmpreimacn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rhmpreimacn.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
rhmpreimacn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
rhmpreimacn.1	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑆))
rhmpreimacnlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
rhmpreimacnlem.v	⊢ 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘})
rhmpreimacnlem.w	⊢ 𝑊 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑆) ↦ {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘})

Assertion

Ref	Expression
rhmpreimacnlem	⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) = (◡𝐺 “ (𝑉‘𝐼)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑅,𝑘   𝑖,𝑉,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗,𝑘   𝑗,𝑊   𝑖,𝐽,𝑗   𝜑,𝑗   𝑆,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑇(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑈(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐺(𝑗,𝑘)   𝐽(𝑘)   𝐾(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑖,𝑘)

Proof of Theorem rhmpreimacnlem

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmpreimacn.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (◡𝐹 “ 𝑖))
2		imaeq2 6014	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑔 → (◡𝐹 “ 𝑖) = (◡𝐹 “ 𝑔))
3		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ 𝐵)
4		rhmpreimacn.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
5	4	elexd 3463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
6		cnvexg 7866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ V → ◡𝐹 ∈ V)
7		imaexg 7855	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐹 ∈ V → (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ V)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ V)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ V)
10	1, 2, 3, 9	fvmptd3 6964	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑔) = (◡𝐹 “ 𝑔))
11	10	eleq1d 2820	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((𝐺‘𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼) ↔ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼)))
12	11	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼))))
13		rhmpreimacn.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
15	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → 𝑖 ∈ 𝐵)
17		rhmpreimacn.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (PrmIdeal‘𝑆)
18	16, 17	eleqtrdi 2845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑆))
19		rhmpreimacn.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (PrmIdeal‘𝑅)
20	19	rhmpreimaprmidl 33511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑆)) → (◡𝐹 “ 𝑖) ∈ 𝐴)
21	14, 15, 18, 20	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝑖) ∈ 𝐴)
22	21, 1	fmptd 7059	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)
23	22	ffnd 6662	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
24		elpreima 7003	. . . 4 ⊢ (𝐺 Fn 𝐵 → (𝑔 ∈ (◡𝐺 “ (𝑉‘𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼))))
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (◡𝐺 “ (𝑉‘𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼))))
26		rhmpreimacnlem.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑆) ↦ {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘})
27		sseq1 3958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝐹 “ 𝐼) → (𝑗 ⊆ 𝑘 ↔ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘))
28	27	rabbidv 3405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝐹 “ 𝐼) → {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘} = {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘})
29		rhmpreimacn.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑆))
30		rhmpreimacnlem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
31		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
32		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
33		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LIdeal‘𝑆) = (LIdeal‘𝑆)
34	31, 32, 33	rhmimaidl 33492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = (Base‘𝑆) ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝐹 “ 𝐼) ∈ (LIdeal‘𝑆))
35	4, 29, 30, 34	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐼) ∈ (LIdeal‘𝑆))
36	17	fvexi 6847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ V
37	36	rabex 5283	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘} ∈ V
38	37	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘} ∈ V)
39	26, 28, 35, 38	fvmptd3 6964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) = {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘})
40	39	eleq2d 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘}))
41		sseq2 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → ((𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘 ↔ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔))
42	41	elrab 3645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘} ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔))
43	40, 42	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔)))
44		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
45	44, 31	rhmf 20422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
46	4, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
47	46	ffund 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
48	44, 32	lidlss 21169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
49	30, 48	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
50	46	fdmd 6671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝑅))
51	49, 50	sseqtrrd 3970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ dom 𝐹)
52		funimass3 6999	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐼 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔 ↔ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))
53	47, 51, 52	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔 ↔ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))
54	53	anbi2d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔))))
55	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
56	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
57	3, 17	eleqtrdi 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ (PrmIdeal‘𝑆))
58	19	rhmpreimaprmidl 33511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ (PrmIdeal‘𝑆)) → (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴)
59	55, 56, 57, 58	syl21anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴)
60	59	biantrurd 532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔) ↔ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔))))
61	60	pm5.32da 579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))))
62	43, 54, 61	3bitrd 305	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))))
63		sseq2 3959	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (◡𝐹 “ 𝑔) → (𝐼 ⊆ 𝑘 ↔ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))
64	63	elrab 3645	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘} ↔ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))
65	64	anbi2i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘}) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔))))
66	62, 65	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘})))
67		rhmpreimacnlem.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘})
68		sseq1 3958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → (𝑗 ⊆ 𝑘 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑘))
69	68	rabbidv 3405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘} = {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘})
70	19	fvexi 6847	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ V
71	70	rabex 5283	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘} ∈ V
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘} ∈ V)
73	67, 69, 30, 72	fvmptd3 6964	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐼) = {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘})
74	73	eleq2d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼) ↔ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘}))
75	74	anbi2d 631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘})))
76	66, 75	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼))))
77	12, 25, 76	3bitr4rd 312	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ (◡𝐺 “ (𝑉‘𝐼))))
78	77	eqrdv 2733	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) = (◡𝐺 “ (𝑉‘𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3398  Vcvv 3439   ⊆ wss 3900   ↦ cmpt 5178  ^◡ccnv 5622  dom cdm 5623  ran crn 5624   “ cima 5626  Fun wfun 6485   Fn wfn 6486  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  TopOpenctopn 17343  CRingccrg 20171   RingHom crh 20407  LIdealclidl 21163  PrmIdealcprmidl 33495  Speccrspec 33998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-ghm 19144  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-cring 20173  df-rhm 20410  df-subrg 20505  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-lidl 21165  df-rsp 21166  df-prmidl 33496

This theorem is referenced by:  rhmpreimacn  34021