Theorem rhmpreimacnlem 34449

Description: Lemma for rhmpreimacn 34450. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmpreimacn.t	⊢ 𝑇 = (Spec‘𝑅)
rhmpreimacn.u	⊢ 𝑈 = (Spec‘𝑆)
rhmpreimacn.a	⊢ 𝐴 = (PrmIdeal‘𝑅)
rhmpreimacn.b	⊢ 𝐵 = (PrmIdeal‘𝑆)
rhmpreimacn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑇)
rhmpreimacn.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑈)
rhmpreimacn.g	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (◡𝐹 “ 𝑖))
rhmpreimacn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rhmpreimacn.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
rhmpreimacn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
rhmpreimacn.1	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑆))
rhmpreimacnlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
rhmpreimacnlem.v	⊢ 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘})
rhmpreimacnlem.w	⊢ 𝑊 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑆) ↦ {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘})

Assertion

Ref	Expression
rhmpreimacnlem	⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) = (◡𝐺 “ (𝑉‘𝐼)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑅,𝑘   𝑖,𝑉,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗,𝑘   𝑗,𝑊   𝑖,𝐽,𝑗   𝜑,𝑗   𝑆,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑇(𝑖, 𝑗, 𝑘)   𝑈(𝑖, 𝑗, 𝑘)   𝐺(𝑗, 𝑘)   𝐽(𝑘)   𝐾(𝑖, 𝑗, 𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑖, 𝑘)

Proof of Theorem rhmpreimacnlem

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmpreimacn.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (◡𝐹 “ 𝑖))
2		imaeq2 6046	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑔 → (◡𝐹 “ 𝑖) = (◡𝐹 “ 𝑔))
3		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ 𝐵)
4		rhmpreimacn.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
5	4	elexd 3473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
6		cnvexg 7919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ V → ◡𝐹 ∈ V)
7		imaexg 7908	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐹 ∈ V → (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ V)
8	5, 6, 7	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ V)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ V)
10	1, 2, 3, 9	fvmptd3 7005	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑔) = (◡𝐹 “ 𝑔))
11	10	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((𝐺‘𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼) ↔ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼)))
12	11	pm5.32da 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼))))
13		rhmpreimacn.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
14	13	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
15	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
16		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → 𝑖 ∈ 𝐵)
17		rhmpreimacn.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (PrmIdeal‘𝑆)
18	16, 17	eleqtrdi 2870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑆))
19		rhmpreimacn.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (PrmIdeal‘𝑅)
20	19	rhmpreimaprmidl 21596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑆)) → (◡𝐹 “ 𝑖) ∈ 𝐴)
21	14, 15, 18, 20	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝑖) ∈ 𝐴)
22	21, 1	fmptd 7102	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)
23	22	ffnd 6698	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
24		elpreima 7045	. . . 4 ⊢ (𝐺 Fn 𝐵 → (𝑔 ∈ (◡𝐺 “ (𝑉‘𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼))))
25	23, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (◡𝐺 “ (𝑉‘𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼))))
26		rhmpreimacnlem.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑆) ↦ {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘})
27		sseq1 3955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝐹 “ 𝐼) → (𝑗 ⊆ 𝑘 ↔ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘))
28	27	rabbidv 3419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝐹 “ 𝐼) → {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘} = {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘})
29		rhmpreimacn.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑆))
30		rhmpreimacnlem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
31		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
32		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
33		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LIdeal‘𝑆) = (LIdeal‘𝑆)
34	31, 32, 33	rhmimaidl 33915	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = (Base‘𝑆) ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝐹 “ 𝐼) ∈ (LIdeal‘𝑆))
35	4, 29, 30, 34	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐼) ∈ (LIdeal‘𝑆))
36	17	fvexi 6887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ V
37	36	rabex 5299	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘} ∈ V
38	37	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘} ∈ V)
39	26, 28, 35, 38	fvmptd3 7005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) = {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘})
40	39	eleq2d 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘}))
41		sseq2 3956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → ((𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘 ↔ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔))
42	41	elrab 3644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘} ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔))
43	40, 42	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔)))
44		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
45	44, 31	rhmf 20676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
46	4, 45	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
47	46	ffund 6702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
48	44, 32	lidlss 21451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
49	30, 48	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
50	46	fdmd 6708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝑅))
51	49, 50	sseqtrrd 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ dom 𝐹)
52		funimass3 7041	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐼 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔 ↔ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))
53	47, 51, 52	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔 ↔ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))
54	53	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔))))
55	13	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
56	4	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
57	3, 17	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ (PrmIdeal‘𝑆))
58	19	rhmpreimaprmidl 21596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ (PrmIdeal‘𝑆)) → (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴)
59	55, 56, 57, 58	syl21anc 851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴)
60	59	biantrurd 542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔) ↔ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔))))
61	60	pm5.32da 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))))
62	43, 54, 61	3bitrd 308	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))))
63		sseq2 3956	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (◡𝐹 “ 𝑔) → (𝐼 ⊆ 𝑘 ↔ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))
64	63	elrab 3644	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘} ↔ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))
65	64	anbi2i 635	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘}) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔))))
66	62, 65	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘})))
67		rhmpreimacnlem.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘})
68		sseq1 3955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → (𝑗 ⊆ 𝑘 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑘))
69	68	rabbidv 3419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘} = {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘})
70	19	fvexi 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ V
71	70	rabex 5299	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘} ∈ V
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘} ∈ V)
73	67, 69, 30, 72	fvmptd3 7005	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐼) = {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘})
74	73	eleq2d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼) ↔ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘}))
75	74	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘})))
76	66, 75	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼))))
77	12, 25, 76	3bitr4rd 315	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ (◡𝐺 “ (𝑉‘𝐼))))
78	77	eqrdv 2758	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) = (◡𝐺 “ (𝑉‘𝐼)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3898   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5646  dom cdm 5647  ran crn 5648   “ cima 5650  Fun wfun 6521   Fn wfn 6522  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  TopOpenctopn 17553  CRingccrg 20421   RingHom crh 20660  LIdealclidl 21445  PrmIdealcprmidl 21577  Speccrspec 34427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-subg 19294  df-ghm 19389  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-cring 20423  df-rhm 20663  df-subrg 20783  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-lsp 21208  df-sra 21409  df-rgmod 21410  df-lidl 21447  df-rsp 21448  df-prmidl 21578

This theorem is used by:  rhmpreimacn  34450