Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmpreimacnlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rhmpreimacnlem 32864
Description: Lemma for rhmpreimacn 32865. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmpreimacn.t 𝑇 = (Specβ€˜π‘…)
rhmpreimacn.u π‘ˆ = (Specβ€˜π‘†)
rhmpreimacn.a 𝐴 = (PrmIdealβ€˜π‘…)
rhmpreimacn.b 𝐡 = (PrmIdealβ€˜π‘†)
rhmpreimacn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘‡)
rhmpreimacn.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
rhmpreimacn.g 𝐺 = (𝑖 ∈ 𝐡 ↦ (◑𝐹 β€œ 𝑖))
rhmpreimacn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
rhmpreimacn.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
rhmpreimacn.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
rhmpreimacn.1 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = (Baseβ€˜π‘†))
rhmpreimacnlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
rhmpreimacnlem.v 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝑗 βŠ† π‘˜})
rhmpreimacnlem.w π‘Š = (𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘†) ↦ {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ 𝑗 βŠ† π‘˜})
Assertion
Ref Expression
rhmpreimacnlem (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) = (◑𝐺 β€œ (π‘‰β€˜πΌ)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,π‘˜   𝐡,𝑖,𝑗,π‘˜   π‘˜,𝐹,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼,𝑗,π‘˜   𝑖,𝐽,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗,π‘˜   𝑆,𝑖,𝑗,π‘˜   𝑖,𝑉,𝑗   𝑗,π‘Š   πœ‘,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝑇(𝑖,𝑗,π‘˜)   π‘ˆ(𝑖,𝑗,π‘˜)   𝐺(𝑗,π‘˜)   𝐽(π‘˜)   𝐾(𝑖,𝑗,π‘˜)   𝑉(π‘˜)   π‘Š(𝑖,π‘˜)
Proof of Theorem rhmpreimacnlem
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmpreimacn.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑖 ∈ 𝐡 ↦ (◑𝐹 β€œ 𝑖))
2 imaeq2 6056 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑔 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑖) = (◑𝐹 β€œ 𝑔))
3 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
4 rhmpreimacn.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
54elexd 3495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
6 cnvexg 7915 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V β†’ ◑𝐹 ∈ V)
7 imaexg 7906 . . . . . . . 8 (◑𝐹 ∈ V β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ V)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ V)
98adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ V)
101, 2, 3, 9fvmptd3 7022 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘”) = (◑𝐹 β€œ 𝑔))
1110eleq1d 2819 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ ((πΊβ€˜π‘”) ∈ (π‘‰β€˜πΌ) ↔ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ (π‘‰β€˜πΌ)))
1211pm5.32da 580 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘”) ∈ (π‘‰β€˜πΌ)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ (π‘‰β€˜πΌ))))
13 rhmpreimacn.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
1413adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
154adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
16 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐡) β†’ 𝑖 ∈ 𝐡)
17 rhmpreimacn.b . . . . . . . 8 𝐡 = (PrmIdealβ€˜π‘†)
1816, 17eleqtrdi 2844 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐡) β†’ 𝑖 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘†))
19 rhmpreimacn.a . . . . . . . 8 𝐴 = (PrmIdealβ€˜π‘…)
2019rhmpreimaprmidl 32570 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘†)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑖) ∈ 𝐴)
2114, 15, 18, 20syl21anc 837 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐡) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑖) ∈ 𝐴)
2221, 1fmptd 7114 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
2322ffnd 6719 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐡)
24 elpreima 7060 . . . 4 (𝐺 Fn 𝐡 β†’ (𝑔 ∈ (◑𝐺 β€œ (π‘‰β€˜πΌ)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘”) ∈ (π‘‰β€˜πΌ))))
2523, 24syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (◑𝐺 β€œ (π‘‰β€˜πΌ)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘”) ∈ (π‘‰β€˜πΌ))))
26 rhmpreimacnlem.w . . . . . . . . 9 π‘Š = (𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘†) ↦ {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ 𝑗 βŠ† π‘˜})
27 sseq1 4008 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝐹 β€œ 𝐼) β†’ (𝑗 βŠ† π‘˜ ↔ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜))
2827rabbidv 3441 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝐹 β€œ 𝐼) β†’ {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ 𝑗 βŠ† π‘˜} = {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜})
29 rhmpreimacn.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = (Baseβ€˜π‘†))
30 rhmpreimacnlem.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
31 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
32 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
33 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (LIdealβ€˜π‘†) = (LIdealβ€˜π‘†)
3431, 32, 33rhmimaidl 32550 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ (𝐹 β€œ 𝐼) ∈ (LIdealβ€˜π‘†))
354, 29, 30, 34syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐼) ∈ (LIdealβ€˜π‘†))
3617fvexi 6906 . . . . . . . . . . 11 𝐡 ∈ V
3736rabex 5333 . . . . . . . . . 10 {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜} ∈ V
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜} ∈ V)
3926, 28, 35, 38fvmptd3 7022 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) = {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜})
4039eleq2d 2820 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜}))
41 sseq2 4009 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑔 β†’ ((𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜ ↔ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝑔))
4241elrab 3684 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ {π‘˜ ∈ 𝐡 ∣ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† π‘˜} ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝑔))
4340, 42bitrdi 287 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝑔)))
44 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4544, 31rhmf 20263 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘†))
464, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘†))
4746ffund 6722 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
4844, 32lidlss 20833 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
4930, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
5046fdmd 6729 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = (Baseβ€˜π‘…))
5149, 50sseqtrrd 4024 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† dom 𝐹)
52 funimass3 7056 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐼 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝑔 ↔ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔)))
5347, 51, 52syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝑔 ↔ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔)))
5453anbi2d 630 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝑔) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔))))
5513adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
564adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
573, 17eleqtrdi 2844 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘†))
5819rhmpreimaprmidl 32570 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘†)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ 𝐴)
5955, 56, 57, 58syl21anc 837 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ 𝐴)
6059biantrurd 534 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔) ↔ ((◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔))))
6160pm5.32da 580 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐡 ∧ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ ((◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔)))))
6243, 54, 613bitrd 305 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ ((◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔)))))
63 sseq2 4009 . . . . . . 7 (π‘˜ = (◑𝐹 β€œ 𝑔) β†’ (𝐼 βŠ† π‘˜ ↔ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔)))
6463elrab 3684 . . . . . 6 ((◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜} ↔ ((◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔)))
6564anbi2i 624 . . . . 5 ((𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜}) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ ((◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑔))))
6662, 65bitr4di 289 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜})))
67 rhmpreimacnlem.v . . . . . . 7 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝑗 βŠ† π‘˜})
68 sseq1 4008 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐼 β†’ (𝑗 βŠ† π‘˜ ↔ 𝐼 βŠ† π‘˜))
6968rabbidv 3441 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐼 β†’ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝑗 βŠ† π‘˜} = {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜})
7019fvexi 6906 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V
7170rabex 5333 . . . . . . . 8 {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜} ∈ V
7271a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜} ∈ V)
7367, 69, 30, 72fvmptd3 7022 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‰β€˜πΌ) = {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜})
7473eleq2d 2820 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ (π‘‰β€˜πΌ) ↔ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜}))
7574anbi2d 630 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ (π‘‰β€˜πΌ)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ {π‘˜ ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 βŠ† π‘˜})))
7666, 75bitr4d 282 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑔) ∈ (π‘‰β€˜πΌ))))
7712, 25, 763bitr4rd 312 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ (◑𝐺 β€œ (π‘‰β€˜πΌ))))
7877eqrdv 2731 1 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜(𝐹 β€œ 𝐼)) = (◑𝐺 β€œ (π‘‰β€˜πΌ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  TopOpenctopn 17367  CRingccrg 20057   RingHom crh 20248  LIdealclidl 20783  PrmIdealcprmidl 32553  Speccrspec 32842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-prmidl 32554
This theorem is referenced by:  rhmpreimacn  32865
  Copyright terms: Public domain W3C validator