Theorem rhmpreimacnlem 34054

Description: Lemma for rhmpreimacn 34055. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmpreimacn.t	⊢ 𝑇 = (Spec‘𝑅)
rhmpreimacn.u	⊢ 𝑈 = (Spec‘𝑆)
rhmpreimacn.a	⊢ 𝐴 = (PrmIdeal‘𝑅)
rhmpreimacn.b	⊢ 𝐵 = (PrmIdeal‘𝑆)
rhmpreimacn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑇)
rhmpreimacn.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑈)
rhmpreimacn.g	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (◡𝐹 “ 𝑖))
rhmpreimacn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rhmpreimacn.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
rhmpreimacn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
rhmpreimacn.1	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑆))
rhmpreimacnlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
rhmpreimacnlem.v	⊢ 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘})
rhmpreimacnlem.w	⊢ 𝑊 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑆) ↦ {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘})

Assertion

Ref	Expression
rhmpreimacnlem	⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) = (◡𝐺 “ (𝑉‘𝐼)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑅,𝑘   𝑖,𝑉,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗,𝑘   𝑗,𝑊   𝑖,𝐽,𝑗   𝜑,𝑗   𝑆,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑇(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑈(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐺(𝑗,𝑘)   𝐽(𝑘)   𝐾(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑖,𝑘)

Proof of Theorem rhmpreimacnlem

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmpreimacn.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (◡𝐹 “ 𝑖))
2		imaeq2 6016	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑔 → (◡𝐹 “ 𝑖) = (◡𝐹 “ 𝑔))
3		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ 𝐵)
4		rhmpreimacn.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
5	4	elexd 3465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
6		cnvexg 7869	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ V → ◡𝐹 ∈ V)
7		imaexg 7858	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐹 ∈ V → (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ V)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ V)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ V)
10	1, 2, 3, 9	fvmptd3 6966	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑔) = (◡𝐹 “ 𝑔))
11	10	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((𝐺‘𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼) ↔ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼)))
12	11	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼))))
13		rhmpreimacn.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
15	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → 𝑖 ∈ 𝐵)
17		rhmpreimacn.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (PrmIdeal‘𝑆)
18	16, 17	eleqtrdi 2847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑆))
19		rhmpreimacn.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (PrmIdeal‘𝑅)
20	19	rhmpreimaprmidl 33536	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑆)) → (◡𝐹 “ 𝑖) ∈ 𝐴)
21	14, 15, 18, 20	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝑖) ∈ 𝐴)
22	21, 1	fmptd 7061	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)
23	22	ffnd 6664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
24		elpreima 7005	. . . 4 ⊢ (𝐺 Fn 𝐵 → (𝑔 ∈ (◡𝐺 “ (𝑉‘𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼))))
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (◡𝐺 “ (𝑉‘𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼))))
26		rhmpreimacnlem.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑆) ↦ {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘})
27		sseq1 3960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝐹 “ 𝐼) → (𝑗 ⊆ 𝑘 ↔ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘))
28	27	rabbidv 3407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝐹 “ 𝐼) → {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘} = {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘})
29		rhmpreimacn.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑆))
30		rhmpreimacnlem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
31		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
32		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
33		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LIdeal‘𝑆) = (LIdeal‘𝑆)
34	31, 32, 33	rhmimaidl 33517	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = (Base‘𝑆) ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝐹 “ 𝐼) ∈ (LIdeal‘𝑆))
35	4, 29, 30, 34	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐼) ∈ (LIdeal‘𝑆))
36	17	fvexi 6849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ V
37	36	rabex 5285	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘} ∈ V
38	37	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘} ∈ V)
39	26, 28, 35, 38	fvmptd3 6966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) = {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘})
40	39	eleq2d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘}))
41		sseq2 3961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → ((𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘 ↔ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔))
42	41	elrab 3647	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘} ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔))
43	40, 42	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔)))
44		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
45	44, 31	rhmf 20425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
46	4, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
47	46	ffund 6667	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
48	44, 32	lidlss 21172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
49	30, 48	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
50	46	fdmd 6673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝑅))
51	49, 50	sseqtrrd 3972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ dom 𝐹)
52		funimass3 7001	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐼 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔 ↔ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))
53	47, 51, 52	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔 ↔ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))
54	53	anbi2d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔))))
55	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
56	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
57	3, 17	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ (PrmIdeal‘𝑆))
58	19	rhmpreimaprmidl 33536	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ (PrmIdeal‘𝑆)) → (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴)
59	55, 56, 57, 58	syl21anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴)
60	59	biantrurd 532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔) ↔ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔))))
61	60	pm5.32da 579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))))
62	43, 54, 61	3bitrd 305	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))))
63		sseq2 3961	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (◡𝐹 “ 𝑔) → (𝐼 ⊆ 𝑘 ↔ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))
64	63	elrab 3647	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘} ↔ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))
65	64	anbi2i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘}) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔))))
66	62, 65	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘})))
67		rhmpreimacnlem.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘})
68		sseq1 3960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → (𝑗 ⊆ 𝑘 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑘))
69	68	rabbidv 3407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘} = {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘})
70	19	fvexi 6849	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ V
71	70	rabex 5285	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘} ∈ V
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘} ∈ V)
73	67, 69, 30, 72	fvmptd3 6966	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐼) = {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘})
74	73	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼) ↔ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘}))
75	74	anbi2d 631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘})))
76	66, 75	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼))))
77	12, 25, 76	3bitr4rd 312	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ (◡𝐺 “ (𝑉‘𝐼))))
78	77	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) = (◡𝐺 “ (𝑉‘𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3400  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5180  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  ran crn 5626   “ cima 5628  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17141  TopOpenctopn 17346  CRingccrg 20174   RingHom crh 20410  LIdealclidl 21166  PrmIdealcprmidl 33520  Speccrspec 34032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-ip 17200  df-0g 17366  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18713  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-sbg 18873  df-subg 19058  df-ghm 19147  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-rhm 20413  df-subrg 20508  df-lmod 20818  df-lss 20888  df-lsp 20928  df-sra 21130  df-rgmod 21131  df-lidl 21168  df-rsp 21169  df-prmidl 33521

This theorem is referenced by:  rhmpreimacn  34055