Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmpreimacnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmpreimacnlem 31300
 Description: Lemma for rhmpreimacn 31301. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmpreimacn.t 𝑇 = (Spec‘𝑅)
rhmpreimacn.u 𝑈 = (Spec‘𝑆)
rhmpreimacn.a 𝐴 = (PrmIdeal‘𝑅)
rhmpreimacn.b 𝐵 = (PrmIdeal‘𝑆)
rhmpreimacn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑇)
rhmpreimacn.k 𝐾 = (TopOpen‘𝑈)
rhmpreimacn.g 𝐺 = (𝑖𝐵 ↦ (𝐹𝑖))
rhmpreimacn.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
rhmpreimacn.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
rhmpreimacn.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
rhmpreimacn.1 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑆))
rhmpreimacnlem.1 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
rhmpreimacnlem.v 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑘𝐴𝑗𝑘})
rhmpreimacnlem.w 𝑊 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑆) ↦ {𝑘𝐵𝑗𝑘})
Assertion
Ref Expression
rhmpreimacnlem (𝜑 → (𝑊‘(𝐹𝐼)) = (𝐺 “ (𝑉𝐼)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,𝑘   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘   𝑘,𝐹,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼,𝑗,𝑘   𝑖,𝐽,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗,𝑘   𝑆,𝑖,𝑗,𝑘   𝑖,𝑉,𝑗   𝑗,𝑊   𝜑,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑇(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑈(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐺(𝑗,𝑘)   𝐽(𝑘)   𝐾(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑖,𝑘)

Proof of Theorem rhmpreimacnlem
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmpreimacn.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑖𝐵 ↦ (𝐹𝑖))
2 imaeq2 5895 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑔 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑔))
3 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐵) → 𝑔𝐵)
4 rhmpreimacn.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
54elexd 3461 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ V)
6 cnvexg 7621 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ V)
7 imaexg 7612 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V → (𝐹𝑔) ∈ V)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑔) ∈ V)
98adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐵) → (𝐹𝑔) ∈ V)
101, 2, 3, 9fvmptd3 6775 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐵) → (𝐺𝑔) = (𝐹𝑔))
1110eleq1d 2874 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐵) → ((𝐺𝑔) ∈ (𝑉𝐼) ↔ (𝐹𝑔) ∈ (𝑉𝐼)))
1211pm5.32da 582 . . 3 (𝜑 → ((𝑔𝐵 ∧ (𝐺𝑔) ∈ (𝑉𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ (𝑉𝐼))))
13 rhmpreimacn.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
1413adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
154adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
16 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐵) → 𝑖𝐵)
17 rhmpreimacn.b . . . . . . . 8 𝐵 = (PrmIdeal‘𝑆)
1816, 17eleqtrdi 2900 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐵) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑆))
19 rhmpreimacn.a . . . . . . . 8 𝐴 = (PrmIdeal‘𝑅)
2019rhmpreimaprmidl 31093 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑆)) → (𝐹𝑖) ∈ 𝐴)
2114, 15, 18, 20syl21anc 836 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐵) → (𝐹𝑖) ∈ 𝐴)
2221, 1fmptd 6862 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
2322ffnd 6493 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
24 elpreima 6812 . . . 4 (𝐺 Fn 𝐵 → (𝑔 ∈ (𝐺 “ (𝑉𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐺𝑔) ∈ (𝑉𝐼))))
2523, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝐺 “ (𝑉𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐺𝑔) ∈ (𝑉𝐼))))
26 rhmpreimacnlem.w . . . . . . . . 9 𝑊 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑆) ↦ {𝑘𝐵𝑗𝑘})
27 sseq1 3941 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝐹𝐼) → (𝑗𝑘 ↔ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘))
2827rabbidv 3427 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝐹𝐼) → {𝑘𝐵𝑗𝑘} = {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘})
29 rhmpreimacn.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑆))
30 rhmpreimacnlem.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
31 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
32 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
33 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (LIdeal‘𝑆) = (LIdeal‘𝑆)
3431, 32, 33rhmimaidl 31075 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = (Base‘𝑆) ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝐹𝐼) ∈ (LIdeal‘𝑆))
354, 29, 30, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐼) ∈ (LIdeal‘𝑆))
3617fvexi 6666 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ V
3736rabex 5202 . . . . . . . . . 10 {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘} ∈ V
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘} ∈ V)
3926, 28, 35, 38fvmptd3 6775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊‘(𝐹𝐼)) = {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘})
4039eleq2d 2875 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘}))
41 sseq2 3942 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑔 → ((𝐹𝐼) ⊆ 𝑘 ↔ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑔))
4241elrab 3629 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ {𝑘𝐵 ∣ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑘} ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑔))
4340, 42syl6bb 290 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑔)))
44 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4544, 31rhmf 19492 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
464, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
4746ffund 6496 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐹)
4844, 32lidlss 19994 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
4930, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
5046fdmd 6502 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝑅))
5149, 50sseqtrrd 3957 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ⊆ dom 𝐹)
52 funimass3 6808 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝐼 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐼) ⊆ 𝑔𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))
5347, 51, 52syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐼) ⊆ 𝑔𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))
5453anbi2d 631 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝐼) ⊆ 𝑔) ↔ (𝑔𝐵𝐼 ⊆ (𝐹𝑔))))
5513adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
564adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
573, 17eleqtrdi 2900 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (PrmIdeal‘𝑆))
5819rhmpreimaprmidl 31093 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ (PrmIdeal‘𝑆)) → (𝐹𝑔) ∈ 𝐴)
5955, 56, 57, 58syl21anc 836 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐵) → (𝐹𝑔) ∈ 𝐴)
6059biantrurd 536 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐵) → (𝐼 ⊆ (𝐹𝑔) ↔ ((𝐹𝑔) ∈ 𝐴𝐼 ⊆ (𝐹𝑔))))
6160pm5.32da 582 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑔𝐵𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ ((𝐹𝑔) ∈ 𝐴𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))))
6243, 54, 613bitrd 308 . . . . 5 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ ((𝐹𝑔) ∈ 𝐴𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))))
63 sseq2 3942 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝐹𝑔) → (𝐼𝑘𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))
6463elrab 3629 . . . . . 6 ((𝐹𝑔) ∈ {𝑘𝐴𝐼𝑘} ↔ ((𝐹𝑔) ∈ 𝐴𝐼 ⊆ (𝐹𝑔)))
6564anbi2i 625 . . . . 5 ((𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ {𝑘𝐴𝐼𝑘}) ↔ (𝑔𝐵 ∧ ((𝐹𝑔) ∈ 𝐴𝐼 ⊆ (𝐹𝑔))))
6662, 65bitr4di 292 . . . 4 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ {𝑘𝐴𝐼𝑘})))
67 rhmpreimacnlem.v . . . . . . 7 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑘𝐴𝑗𝑘})
68 sseq1 3941 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐼 → (𝑗𝑘𝐼𝑘))
6968rabbidv 3427 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐼 → {𝑘𝐴𝑗𝑘} = {𝑘𝐴𝐼𝑘})
7019fvexi 6666 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V
7170rabex 5202 . . . . . . . 8 {𝑘𝐴𝐼𝑘} ∈ V
7271a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑘𝐴𝐼𝑘} ∈ V)
7367, 69, 30, 72fvmptd3 6775 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉𝐼) = {𝑘𝐴𝐼𝑘})
7473eleq2d 2875 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝑔) ∈ (𝑉𝐼) ↔ (𝐹𝑔) ∈ {𝑘𝐴𝐼𝑘}))
7574anbi2d 631 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ (𝑉𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ {𝑘𝐴𝐼𝑘})))
7666, 75bitr4d 285 . . 3 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝐹𝑔) ∈ (𝑉𝐼))))
7712, 25, 763bitr4rd 315 . 2 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ (𝐺 “ (𝑉𝐼))))
7877eqrdv 2796 1 (𝜑 → (𝑊‘(𝐹𝐼)) = (𝐺 “ (𝑉𝐼)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110  Vcvv 3441   ⊆ wss 3882   ↦ cmpt 5113  ◡ccnv 5521  dom cdm 5522  ran crn 5523   “ cima 5525  Fun wfun 6323   Fn wfn 6324  ⟶wf 6325  ‘cfv 6329  (class class class)co 7142  Basecbs 16492  TopOpenctopn 16704  CRingccrg 19309   RingHom crh 19478  LIdealclidl 19953  PrmIdealcprmidl 31076  Speccrspec 31278 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7571  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-ndx 16495  df-slot 16496  df-base 16498  df-sets 16499  df-ress 16500  df-plusg 16587  df-mulr 16588  df-sca 16590  df-vsca 16591  df-ip 16592  df-0g 16724  df-mgm 17861  df-sgrp 17910  df-mnd 17921  df-mhm 17965  df-grp 18115  df-minusg 18116  df-sbg 18117  df-subg 18286  df-ghm 18366  df-cmn 18918  df-mgp 19251  df-ur 19263  df-ring 19310  df-cring 19311  df-rnghom 19481  df-subrg 19544  df-lmod 19647  df-lss 19715  df-lsp 19755  df-sra 19955  df-rgmod 19956  df-lidl 19957  df-rsp 19958  df-prmidl 31077 This theorem is referenced by:  rhmpreimacn  31301
 Copyright terms: Public domain W3C validator