Theorem rhmpreimacnlem 34125

Description: Lemma for rhmpreimacn 34126. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmpreimacn.t	⊢ 𝑇 = (Spec‘𝑅)
rhmpreimacn.u	⊢ 𝑈 = (Spec‘𝑆)
rhmpreimacn.a	⊢ 𝐴 = (PrmIdeal‘𝑅)
rhmpreimacn.b	⊢ 𝐵 = (PrmIdeal‘𝑆)
rhmpreimacn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑇)
rhmpreimacn.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑈)
rhmpreimacn.g	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (◡𝐹 “ 𝑖))
rhmpreimacn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rhmpreimacn.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
rhmpreimacn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
rhmpreimacn.1	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑆))
rhmpreimacnlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
rhmpreimacnlem.v	⊢ 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘})
rhmpreimacnlem.w	⊢ 𝑊 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑆) ↦ {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘})

Assertion

Ref	Expression
rhmpreimacnlem	⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) = (◡𝐺 “ (𝑉‘𝐼)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑅,𝑘   𝑖,𝑉,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗,𝑘   𝑗,𝑊   𝑖,𝐽,𝑗   𝜑,𝑗   𝑆,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑇(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑈(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐺(𝑗,𝑘)   𝐽(𝑘)   𝐾(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑖,𝑘)

Proof of Theorem rhmpreimacnlem

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmpreimacn.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (◡𝐹 “ 𝑖))
2		imaeq2 6031	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑔 → (◡𝐹 “ 𝑖) = (◡𝐹 “ 𝑔))
3		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ 𝐵)
4		rhmpreimacn.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
5	4	elexd 3467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
6		cnvexg 7890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ V → ◡𝐹 ∈ V)
7		imaexg 7879	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐹 ∈ V → (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ V)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ V)
9	8	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ V)
10	1, 2, 3, 9	fvmptd3 6984	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑔) = (◡𝐹 “ 𝑔))
11	10	eleq1d 2837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((𝐺‘𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼) ↔ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼)))
12	11	pm5.32da 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼))))
13		rhmpreimacn.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
14	13	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
15	4	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
16		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → 𝑖 ∈ 𝐵)
17		rhmpreimacn.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (PrmIdeal‘𝑆)
18	16, 17	eleqtrdi 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑆))
19		rhmpreimacn.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (PrmIdeal‘𝑅)
20	19	rhmpreimaprmidl 33583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑆)) → (◡𝐹 “ 𝑖) ∈ 𝐴)
21	14, 15, 18, 20	syl21anc 846	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝑖) ∈ 𝐴)
22	21, 1	fmptd 7080	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)
23	22	ffnd 6677	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
24		elpreima 7024	. . . 4 ⊢ (𝐺 Fn 𝐵 → (𝑔 ∈ (◡𝐺 “ (𝑉‘𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼))))
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (◡𝐺 “ (𝑉‘𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼))))
26		rhmpreimacnlem.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑆) ↦ {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘})
27		sseq1 3952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝐹 “ 𝐼) → (𝑗 ⊆ 𝑘 ↔ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘))
28	27	rabbidv 3411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝐹 “ 𝐼) → {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘} = {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘})
29		rhmpreimacn.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑆))
30		rhmpreimacnlem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
31		eqid 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
32		eqid 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
33		eqid 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LIdeal‘𝑆) = (LIdeal‘𝑆)
34	31, 32, 33	rhmimaidl 33564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = (Base‘𝑆) ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝐹 “ 𝐼) ∈ (LIdeal‘𝑆))
35	4, 29, 30, 34	syl3anc 1382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐼) ∈ (LIdeal‘𝑆))
36	17	fvexi 6866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ V
37	36	rabex 5285	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘} ∈ V
38	37	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘} ∈ V)
39	26, 28, 35, 38	fvmptd3 6984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) = {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘})
40	39	eleq2d 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘}))
41		sseq2 3953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → ((𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘 ↔ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔))
42	41	elrab 3641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑘 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑘} ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔))
43	40, 42	bitrdi 289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔)))
44		eqid 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
45	44, 31	rhmf 20501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
46	4, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
47	46	ffund 6681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
48	44, 32	lidlss 21251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
49	30, 48	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
50	46	fdmd 6687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝑅))
51	49, 50	sseqtrrd 3964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ dom 𝐹)
52		funimass3 7020	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐼 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔 ↔ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))
53	47, 51, 52	syl2anc 592	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔 ↔ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))
54	53	anbi2d 638	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 “ 𝐼) ⊆ 𝑔) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔))))
55	13	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
56	4	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
57	3, 17	eleqtrdi 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ (PrmIdeal‘𝑆))
58	19	rhmpreimaprmidl 33583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ 𝑔 ∈ (PrmIdeal‘𝑆)) → (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴)
59	55, 56, 57, 58	syl21anc 846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴)
60	59	biantrurd 539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔) ↔ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔))))
61	60	pm5.32da 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))))
62	43, 54, 61	3bitrd 307	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))))
63		sseq2 3953	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (◡𝐹 “ 𝑔) → (𝐼 ⊆ 𝑘 ↔ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))
64	63	elrab 3641	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘} ↔ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔)))
65	64	anbi2i 631	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘}) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ⊆ (◡𝐹 “ 𝑔))))
66	62, 65	bitr4di 291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘})))
67		rhmpreimacnlem.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘})
68		sseq1 3952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → (𝑗 ⊆ 𝑘 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑘))
69	68	rabbidv 3411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝑗 ⊆ 𝑘} = {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘})
70	19	fvexi 6866	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ V
71	70	rabex 5285	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘} ∈ V
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘} ∈ V)
73	67, 69, 30, 72	fvmptd3 6984	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐼) = {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘})
74	73	eleq2d 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹 “ 𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼) ↔ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘}))
75	74	anbi2d 638	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐼 ⊆ 𝑘})))
76	66, 75	bitr4d 284	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹 “ 𝑔) ∈ (𝑉‘𝐼))))
77	12, 25, 76	3bitr4rd 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ 𝑔 ∈ (◡𝐺 “ (𝑉‘𝐼))))
78	77	eqrdv 2750	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐹 “ 𝐼)) = (◡𝐺 “ (𝑉‘𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  {crab 3404  Vcvv 3444   ⊆ wss 3895   ↦ cmpt 5171  ^◡ccnv 5635  dom cdm 5636  ran crn 5637   “ cima 5639  Fun wfun 6500   Fn wfn 6501  ⟶wf 6502  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  Basecbs 17217  TopOpenctopn 17422  CRingccrg 20252   RingHom crh 20486  LIdealclidl 21245  PrmIdealcprmidl 33567  Speccrspec 34103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-0g 17442  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-mhm 18789  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-subg 19137  df-ghm 19226  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrg 20588  df-lmod 20898  df-lss 20968  df-lsp 21008  df-sra 21209  df-rgmod 21210  df-lidl 21247  df-rsp 21248  df-prmidl 33568

This theorem is referenced by:  rhmpreimacn  34126