MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmullid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrmullid 27311
Description: Left identity for the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrn0.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrn0.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchr1cl.o 1 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))
dchrmullid.t · = (+g𝐺)
dchrmullid.x (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchrmullid (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   · (𝑘)   1 (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem dchrmullid
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrmhm.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrmhm.b . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 dchrmullid.t . . 3 · = (+g𝐺)
5 dchrn0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑍)
6 dchrn0.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑍)
7 dchr1cl.o . . . 4 1 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))
8 dchrmullid.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
91, 3dchrrcl 27299 . . . . 5 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
111, 2, 3, 5, 6, 7, 10dchr1cl 27310 . . 3 (𝜑1𝐷)
121, 2, 3, 4, 11, 8dchrmul 27307 . 2 (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = ( 1f · 𝑋))
13 oveq1 7438 . . . . . 6 (1 = if(𝑘𝑈, 1, 0) → (1 · (𝑋𝑘)) = (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘)))
1413eqeq1d 2737 . . . . 5 (1 = if(𝑘𝑈, 1, 0) → ((1 · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘) ↔ (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘)))
15 oveq1 7438 . . . . . 6 (0 = if(𝑘𝑈, 1, 0) → (0 · (𝑋𝑘)) = (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘)))
1615eqeq1d 2737 . . . . 5 (0 = if(𝑘𝑈, 1, 0) → ((0 · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘) ↔ (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘)))
171, 2, 3, 5, 8dchrf 27301 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:𝐵⟶ℂ)
1817ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
1918adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
2019mullidd 11277 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝑈) → (1 · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘))
21 0cn 11251 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
2221mul02i 11448 . . . . . 6 (0 · 0) = 0
231, 2, 5, 6, 10, 3dchrelbas2 27296 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑘𝐵 ((𝑋𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈))))
248, 23mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑘𝐵 ((𝑋𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈)))
2524simprd 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 ((𝑋𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈))
2625r19.21bi 3249 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → ((𝑋𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑈))
2726necon1bd 2956 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → (¬ 𝑘𝑈 → (𝑋𝑘) = 0))
2827imp 406 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) = 0)
2928oveq2d 7447 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝑈) → (0 · (𝑋𝑘)) = (0 · 0))
3022, 29, 283eqtr4a 2801 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝑈) → (0 · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘))
3114, 16, 20, 30ifbothda 4569 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘)) = (𝑋𝑘))
3231mpteq2dva 5248 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐵 ↦ (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘))) = (𝑘𝐵 ↦ (𝑋𝑘)))
335fvexi 6921 . . . . 5 𝐵 ∈ V
3433a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
35 ax-1cn 11211 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
3635, 21ifcli 4578 . . . . 5 if(𝑘𝑈, 1, 0) ∈ ℂ
3736a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝑈, 1, 0) ∈ ℂ)
387a1i 11 . . . 4 (𝜑1 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0)))
3917feqmptd 6977 . . . 4 (𝜑𝑋 = (𝑘𝐵 ↦ (𝑋𝑘)))
4034, 37, 18, 38, 39offval2 7717 . . 3 (𝜑 → ( 1f · 𝑋) = (𝑘𝐵 ↦ (if(𝑘𝑈, 1, 0) · (𝑋𝑘))))
4132, 40, 393eqtr4d 2785 . 2 (𝜑 → ( 1f · 𝑋) = 𝑋)
4212, 41eqtrd 2775 1 (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  Vcvv 3478  ifcif 4531  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  cn 12264  Basecbs 17245  +gcplusg 17298   MndHom cmhm 18807  mulGrpcmgp 20152  Unitcui 20372  fldccnfld 21382  ℤ/nczn 21531  DChrcdchr 27291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zn 21535  df-dchr 27292
This theorem is referenced by:  dchrabl  27313  dchr1  27316
  Copyright terms: Public domain W3C validator