MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmullid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchrmullid 26752
Description: Left identity for the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrmhm.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrmhm.b 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrn0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
dchrn0.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchr1cl.o 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
dchrmullid.t Β· = (+gβ€˜πΊ)
dchrmullid.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchrmullid (πœ‘ β†’ ( 1 Β· 𝑋) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘ˆ,π‘˜   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑋   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘˜)   Β· (π‘˜)   1 (π‘˜)   𝐺(π‘˜)
Proof of Theorem dchrmullid
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . 3 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 dchrmhm.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 dchrmhm.b . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
4 dchrmullid.t . . 3 Β· = (+gβ€˜πΊ)
5 dchrn0.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
6 dchrn0.u . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
7 dchr1cl.o . . . 4 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
8 dchrmullid.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
91, 3dchrrcl 26740 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
108, 9syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
111, 2, 3, 5, 6, 7, 10dchr1cl 26751 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐷)
121, 2, 3, 4, 11, 8dchrmul 26748 . 2 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· 𝑋) = ( 1 ∘f Β· 𝑋))
13 oveq1 7415 . . . . . 6 (1 = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) β†’ (1 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)))
1413eqeq1d 2734 . . . . 5 (1 = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) β†’ ((1 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜π‘˜) ↔ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜π‘˜)))
15 oveq1 7415 . . . . . 6 (0 = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) β†’ (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)))
1615eqeq1d 2734 . . . . 5 (0 = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) β†’ ((0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜π‘˜) ↔ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜π‘˜)))
171, 2, 3, 5, 8dchrf 26742 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
1817ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1918adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2019mullidd 11231 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (1 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜π‘˜))
21 0cn 11205 . . . . . . 7 0 ∈ β„‚
2221mul02i 11402 . . . . . 6 (0 Β· 0) = 0
231, 2, 5, 6, 10, 3dchrelbas2 26737 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ))))
248, 23mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ)))
2524simprd 496 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
2625r19.21bi 3248 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
2726necon1bd 2958 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = 0))
2827imp 407 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = 0)
2928oveq2d 7424 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (0 Β· 0))
3022, 29, 283eqtr4a 2798 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜π‘˜))
3114, 16, 20, 30ifbothda 4566 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜π‘˜))
3231mpteq2dva 5248 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‹β€˜π‘˜)))
335fvexi 6905 . . . . 5 𝐡 ∈ V
3433a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
35 ax-1cn 11167 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
3635, 21ifcli 4575 . . . . 5 if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) ∈ β„‚
3736a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) ∈ β„‚)
387a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0)))
3917feqmptd 6960 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‹β€˜π‘˜)))
4034, 37, 18, 38, 39offval2 7689 . . 3 (πœ‘ β†’ ( 1 ∘f Β· 𝑋) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜))))
4132, 40, 393eqtr4d 2782 . 2 (πœ‘ β†’ ( 1 ∘f Β· 𝑋) = 𝑋)
4212, 41eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474  ifcif 4528   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114  β„•cn 12211  Basecbs 17143  +gcplusg 17196   MndHom cmhm 18668  mulGrpcmgp 19986  Unitcui 20168  β„‚fldccnfld 20943  β„€/nβ„€czn 21051  DChrcdchr 26732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-imas 17453  df-qus 17454  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-rsp 20787  df-2idl 20856  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zn 21055  df-dchr 26733
This theorem is referenced by:  dchrabl  26754  dchr1  26757
  Copyright terms: Public domain W3C validator