MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmullid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchrmullid 27203
Description: Left identity for the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrmhm.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrmhm.b 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrn0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
dchrn0.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchr1cl.o 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
dchrmullid.t Β· = (+gβ€˜πΊ)
dchrmullid.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchrmullid (πœ‘ β†’ ( 1 Β· 𝑋) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘ˆ,π‘˜   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑋   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘˜)   Β· (π‘˜)   1 (π‘˜)   𝐺(π‘˜)
Proof of Theorem dchrmullid
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . 3 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 dchrmhm.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 dchrmhm.b . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
4 dchrmullid.t . . 3 Β· = (+gβ€˜πΊ)
5 dchrn0.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
6 dchrn0.u . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
7 dchr1cl.o . . . 4 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
8 dchrmullid.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
91, 3dchrrcl 27191 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
108, 9syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
111, 2, 3, 5, 6, 7, 10dchr1cl 27202 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐷)
121, 2, 3, 4, 11, 8dchrmul 27199 . 2 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· 𝑋) = ( 1 ∘f Β· 𝑋))
13 oveq1 7423 . . . . . 6 (1 = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) β†’ (1 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)))
1413eqeq1d 2727 . . . . 5 (1 = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) β†’ ((1 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜π‘˜) ↔ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜π‘˜)))
15 oveq1 7423 . . . . . 6 (0 = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) β†’ (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)))
1615eqeq1d 2727 . . . . 5 (0 = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) β†’ ((0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜π‘˜) ↔ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜π‘˜)))
171, 2, 3, 5, 8dchrf 27193 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
1817ffvelcdmda 7089 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1918adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2019mullidd 11262 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (1 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜π‘˜))
21 0cn 11236 . . . . . . 7 0 ∈ β„‚
2221mul02i 11433 . . . . . 6 (0 Β· 0) = 0
231, 2, 5, 6, 10, 3dchrelbas2 27188 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ))))
248, 23mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ)))
2524simprd 494 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
2625r19.21bi 3239 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
2726necon1bd 2948 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = 0))
2827imp 405 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = 0)
2928oveq2d 7432 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (0 Β· 0))
3022, 29, 283eqtr4a 2791 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜π‘˜))
3114, 16, 20, 30ifbothda 4562 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜π‘˜))
3231mpteq2dva 5243 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‹β€˜π‘˜)))
335fvexi 6906 . . . . 5 𝐡 ∈ V
3433a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
35 ax-1cn 11196 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
3635, 21ifcli 4571 . . . . 5 if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) ∈ β„‚
3736a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) ∈ β„‚)
387a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0)))
3917feqmptd 6962 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‹β€˜π‘˜)))
4034, 37, 18, 38, 39offval2 7702 . . 3 (πœ‘ β†’ ( 1 ∘f Β· 𝑋) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜))))
4132, 40, 393eqtr4d 2775 . 2 (πœ‘ β†’ ( 1 ∘f Β· 𝑋) = 𝑋)
4212, 41eqtrd 2765 1 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463  ifcif 4524   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∘f cof 7680  β„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   Β· cmul 11143  β„•cn 12242  Basecbs 17179  +gcplusg 17232   MndHom cmhm 18737  mulGrpcmgp 20078  Unitcui 20298  β„‚fldccnfld 21283  β„€/nβ„€czn 21432  DChrcdchr 27183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-ec 8725  df-qs 8729  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-imas 17489  df-qus 17490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-nsg 19083  df-eqg 19084  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-rsp 21109  df-2idl 21148  df-cnfld 21284  df-zring 21377  df-zn 21436  df-dchr 27184
This theorem is referenced by:  dchrabl  27205  dchr1  27208
  Copyright terms: Public domain W3C validator