MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmullid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchrmullid 27140
Description: Left identity for the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrmhm.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrmhm.b 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrn0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
dchrn0.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchr1cl.o 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
dchrmullid.t Β· = (+gβ€˜πΊ)
dchrmullid.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchrmullid (πœ‘ β†’ ( 1 Β· 𝑋) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘ˆ,π‘˜   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑋   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘˜)   Β· (π‘˜)   1 (π‘˜)   𝐺(π‘˜)
Proof of Theorem dchrmullid
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . 3 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 dchrmhm.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 dchrmhm.b . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
4 dchrmullid.t . . 3 Β· = (+gβ€˜πΊ)
5 dchrn0.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
6 dchrn0.u . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
7 dchr1cl.o . . . 4 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
8 dchrmullid.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
91, 3dchrrcl 27128 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
108, 9syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
111, 2, 3, 5, 6, 7, 10dchr1cl 27139 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐷)
121, 2, 3, 4, 11, 8dchrmul 27136 . 2 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· 𝑋) = ( 1 ∘f Β· 𝑋))
13 oveq1 7412 . . . . . 6 (1 = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) β†’ (1 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)))
1413eqeq1d 2728 . . . . 5 (1 = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) β†’ ((1 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜π‘˜) ↔ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜π‘˜)))
15 oveq1 7412 . . . . . 6 (0 = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) β†’ (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)))
1615eqeq1d 2728 . . . . 5 (0 = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) β†’ ((0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜π‘˜) ↔ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜π‘˜)))
171, 2, 3, 5, 8dchrf 27130 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
1817ffvelcdmda 7080 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1918adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2019mullidd 11236 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (1 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜π‘˜))
21 0cn 11210 . . . . . . 7 0 ∈ β„‚
2221mul02i 11407 . . . . . 6 (0 Β· 0) = 0
231, 2, 5, 6, 10, 3dchrelbas2 27125 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ))))
248, 23mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ)))
2524simprd 495 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
2625r19.21bi 3242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
2726necon1bd 2952 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = 0))
2827imp 406 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = 0)
2928oveq2d 7421 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (0 Β· 0))
3022, 29, 283eqtr4a 2792 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜π‘˜))
3114, 16, 20, 30ifbothda 4561 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜π‘˜))
3231mpteq2dva 5241 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‹β€˜π‘˜)))
335fvexi 6899 . . . . 5 𝐡 ∈ V
3433a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
35 ax-1cn 11170 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
3635, 21ifcli 4570 . . . . 5 if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) ∈ β„‚
3736a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) ∈ β„‚)
387a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0)))
3917feqmptd 6954 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‹β€˜π‘˜)))
4034, 37, 18, 38, 39offval2 7687 . . 3 (πœ‘ β†’ ( 1 ∘f Β· 𝑋) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜))))
4132, 40, 393eqtr4d 2776 . 2 (πœ‘ β†’ ( 1 ∘f Β· 𝑋) = 𝑋)
4212, 41eqtrd 2766 1 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468  ifcif 4523   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  β„•cn 12216  Basecbs 17153  +gcplusg 17206   MndHom cmhm 18711  mulGrpcmgp 20039  Unitcui 20257  β„‚fldccnfld 21240  β„€/nβ„€czn 21389  DChrcdchr 27120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-eqg 19052  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068  df-2idl 21107  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zn 21393  df-dchr 27121
This theorem is referenced by:  dchrabl  27142  dchr1  27145
  Copyright terms: Public domain W3C validator