Theorem dchrf 27214

Description: A Dirichlet character is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dchrf	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐵⟶ℂ)

Proof of Theorem dchrf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrf.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
2		dchrmhm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3		dchrmhm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		dchrf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
6		dchrmhm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7	2, 6	dchrrcl 27212	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9	2, 3, 4, 5, 8, 6	dchrelbas3 27210	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))))
10	1, 9	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))))
11	10	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐵⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11029  0cc0 11031  1c1 11032   · cmul 11036  ℕcn 12150  Basecbs 17141  ._rcmulr 17183  1_rcur 20121  Unitcui 20296  ℤ/nℤczn 21462  DChrcdchr 27204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-addf 11110  ax-mulf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-ec 8640  df-qs 8644  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-fz 13429  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-starv 17197  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-ip 17200  df-tset 17201  df-ple 17202  df-ds 17204  df-unif 17205  df-0g 17366  df-imas 17434  df-qus 17435  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18713  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-sbg 18873  df-subg 19058  df-nsg 19059  df-eqg 19060  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-oppr 20278  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-subrng 20484  df-subrg 20508  df-lmod 20818  df-lss 20888  df-lsp 20928  df-sra 21130  df-rgmod 21131  df-lidl 21168  df-rsp 21169  df-2idl 21210  df-cnfld 21315  df-zring 21407  df-zn 21466  df-dchr 27205

This theorem is referenced by:  dchrzrhcl  27217  dchrmulcl  27221  dchrmullid  27224  dchrinvcl  27225  dchrabl  27226  dchrfi  27227  dchrghm  27228  dchreq  27230  dchrresb  27231  dchrabs  27232  dchrinv  27233  dchr1re  27235  dchrsum2  27240  dchrsum  27241  sumdchr2  27242  dchrhash  27243  dchr2sum  27245  sum2dchr  27246  dchrisumlem1  27461  rpvmasum2  27484  dchrisum0re  27485