Theorem dchrf 27193

Description: A Dirichlet character is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dchrf	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐵⟶ℂ)

Proof of Theorem dchrf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrf.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
2		dchrmhm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3		dchrmhm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		dchrf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
6		dchrmhm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7	2, 6	dchrrcl 27191	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9	2, 3, 4, 5, 8, 6	dchrelbas3 27189	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))))
10	1, 9	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))))
11	10	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐵⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  0cc0 11027  1c1 11028   · cmul 11032  ℕcn 12163  Basecbs 17168  ._rcmulr 17210  1_rcur 20151  Unitcui 20324  ℤ/nℤczn 21471  DChrcdchr 27183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-ec 8634  df-qs 8638  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-sup 9344  df-inf 9345  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-0g 17393  df-imas 17461  df-qus 17462  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-nsg 19089  df-eqg 19090  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-subrng 20512  df-subrg 20536  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lsp 20956  df-sra 21157  df-rgmod 21158  df-lidl 21195  df-rsp 21196  df-2idl 21237  df-cnfld 21342  df-zring 21416  df-zn 21475  df-dchr 27184

This theorem is referenced by:  dchrzrhcl  27196  dchrmulcl  27200  dchrmullid  27203  dchrinvcl  27204  dchrabl  27205  dchrfi  27206  dchrghm  27207  dchreq  27209  dchrresb  27210  dchrabs  27211  dchrinv  27212  dchr1re  27214  dchrsum2  27219  dchrsum  27220  sumdchr2  27221  dchrhash  27222  dchr2sum  27224  sum2dchr  27225  dchrisumlem1  27440  rpvmasum2  27463  dchrisum0re  27464